一道課本習題的深入探究

☉江蘇省如皋市第一中學 孫海建

一道課本習題的深入探究

☉江蘇省如皋市第一中學 孫海建

課堂教學除完成教學計劃及傳授知識以外，筆者認為開展數(shù)學教學最重要的目的就是拓展學生的思維，提升他們的思維活躍度和學習積極性，這有這樣，才可以提高教學課堂的有效性，提升學生的學習能力.為了提升學生對課堂及知識的關(guān)注度，無論耗費多少精力和時間，都是值得的.因此，教師在實際教學中一定要提升對增強學生思維能力的重視程度.

在上高三數(shù)學一節(jié)復(fù)習課時，本著重視教材，重視基礎(chǔ)的角度，筆者選擇了課本中的一道習題及該題的兩個變式題，希望學生通過訓(xùn)練，熟練掌握此類題型的一般解法.結(jié)果學生在解題過程中卻意外地用不太常規(guī)的方法探究出了此類問題的一般結(jié)論！下面筆者將這節(jié)課的進行過程展現(xiàn)給讀者.

一、試題再現(xiàn)

題目（高中數(shù)學課本人教A版的選修2-1第80頁的復(fù)習參考題的A組第11題）在拋物線y2=4x上求一點P，使得點P到直線y=x+3的距離最短.

筆者當初的課堂設(shè)計是想要求學生掌握如下的一般解法：

解法一：設(shè)點P的坐標是（x0，y0），因為點P在拋物線上，所以y2=4x，點P到直線y=x+3的距離為

00將代入，整理得所以y0=2時，d有最小值算得x0=1，故點P（1，2）到直線y=x+3的距離最短.

以上解法是利用點到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.筆者的教學目的也是想通過學生對此類題型的反復(fù)練習，能熟練用此方法解決此類問題.

班上大多數(shù)同學按照以上方法解答此題，但有個別基礎(chǔ)較好的同學由于在前不久復(fù)習了簡單線性規(guī)劃的相關(guān)知識，見過類似求最值的題型.他們采用了下面方法解答此題，在后面的文中筆者稱之為方法二.

解法二：記直線l：y=x+3，和直線l平行的直線記為l′，l′和拋物線的公共點到直線l的距離就是直線l和直線l′的距離.易知當直線l′和拋物線相切時，直線l和直線l′的距離最小，即直線l′和拋物線的切點就是要求的P點.設(shè)直線l′：y=x+b，代入拋物線方程y2=4x，整理得x2+（2b-4）x+ b2=0（※），由Δ=0可得（2b-4）2-4b2=0，化簡得b=1，代入方程（※）中可計算得x=1，進而求得y=1+b=2，故所求P點坐標為（1，2）.

點評：實際上直線y=x+3在拋物線y2=4x的左側(cè)，當把直線向右側(cè)平行移動時，平行直線和原直線的距離逐漸增大，當直線平行移動到和拋物線恰好相切時，切點到原直線y=x+3的距離最短.因此筆者肯定了同學們的這種解題方法，稱贊了他們能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運用所學知識解決數(shù)學問題.接下來就有了更多的同學運用此方法解答下面兩個變式題，從而引發(fā)了一類最值問題的探究.

二、探究過程

變式題1：已知直線l：y=2x-4交拋物線y2=4x于A，B兩點，在A，B兩點之間的拋物線上求一點P，使得△APB的面積最大，并求出最大面積.

分析：由弦長公式不難求出線段AB的長度，所以只要在A，B兩點之間的拋物線上求一點P，使得點P到直線l的距離最大，則△APB的面積最大.此問題是和課本習題相關(guān)的一個變式題.下面是部分學生用方法二解答此題的過程：

解：聯(lián)立直線方程y=2x-4和拋物線方程y2=4x，得x2-5x+4=0，算得x1=1，x2=4，所以y1=-2，y2=4，不妨設(shè)A（1， -2），B（4，4），所以把和直線l平行的直線記為l′，l′和A，B兩點之間的拋物線的公共點到直線l的距離就是直線l和直線l′的距離.當直線l′和拋物線相切時直線l和直線l′的距離最大，即切點到直線l的距離最大.設(shè)直線l′：y=2x+b，代入拋物線方程y2=4x，整理得4x2+（4b-4）x+b2=0（※），由Δ=0得（4b-4）2-16b2=0，算得b=代入方程（※）中可計算得進而求得b=1，故所求切點P的坐標為此時P點到直線l：y=2x-4的距離為所以△APB面積的最大值為故所求點P的坐標為最大面積為

變式題2：已知直線l：y=x-1和拋物線y=x2-4x+3交于A，B兩點（A在B的左邊），在A，B兩點之間的拋物線上求一點P，使得△APB的面積最大，并求出最大面積.

讀者不難看出此題和上題為同類題型，只是改變了拋物線的頂點位置和開口方向，增加計算難度而已.下面筆者將學生的方法二的解法簡述如下：

解析：聯(lián)立直線方程y=x-1和拋物線方程y=x2-4x+3，可得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4，所以y1=0，y2=3，所以A（1，0），B（4，3），所以把和直線l平行的直線記為l′，l′和A，B兩點之間的拋物線的公共點到直線l的距離就是直線l和直線l′的距離.當直線l′和拋物線相切時直線l和直線l′的距離最大，即切點到直線l的距離最大.設(shè)直線l′：y=x+b，代入拋物線方程y=x2-4x+3，整理得x2-5x+3-b=0（※），由Δ=0算得代入方程（※）中可計算得進而求得故所求切點即P點的坐標為P點到直線l：y=x-1的距離為d=所以△APB面積的最大值為

到此筆者本以為這節(jié)課的教學目的已經(jīng)達到，剩下的時間讓學生將兩種解題方法做個小結(jié)，把以上幾個題的結(jié)果整理一下，準備到時間下課.這時筆者發(fā)現(xiàn)有個小組的幾個學生好像在下面討論著什么，筆者正準備詢問，該組的小組長舉手發(fā)言了：“老師我們小組在用方法二解這兩個變式題時，發(fā)現(xiàn)所求P點的坐標和A，B兩點的坐標有一定關(guān)系.變式題1中P點的縱坐標為A，B兩點縱坐標和的一半；變式題2中P點的橫坐標為A，B兩點橫坐標和的一半.這里面是否存在某種規(guī)律？”經(jīng)他這一說，其他小組的同學發(fā)現(xiàn)確實如此！在變式題1中為P點的縱坐標；在變式題2中是P點的橫坐標.是否有規(guī)律？同學們期待的目光望著筆者.筆者事先還真沒有研究過，靈機一動，反問該組組長：“你們是怎樣注意到這個情況的？”該組的其他學生有人搶著發(fā)言說：“我們作出簡圖后，在把直線平行移動到和拋物線相切時，發(fā)現(xiàn)切點和AB弦的中點有某種位置關(guān)系.由于我們作的圖是簡圖，因此我們也不敢肯定，但之后的計算結(jié)果卻支持了我們的想法……老師這里面應(yīng)該有規(guī)律吧？”一堂原本平穩(wěn)的復(fù)習課變成了一堂探究課.直覺告訴筆者：學生的想法可能是正確的.一看時間還有，于是筆者要求各組選定不同的開口方向和頂點位置的拋物線，用幾何畫板在拋物線上任取兩點A，B，記AB中點為M，作出AB的一組平行線，觀察當平行線和拋物線相切時，切點P和M的位置關(guān)系.結(jié)果各組通過幾何畫板作圖，得到一致結(jié)論：P，M兩點連線恰好和拋物線對稱軸平行.通過幾何畫板畫出的結(jié)果更精確，更直觀！于是筆者對學生提出要求：能否給出證明？

學生1說：“各種情況分類太多，不好證明.”學生2說：“我們只要證明其中一種情況，根據(jù)問題的結(jié)論，其他情況可以由圖形的平移和旋轉(zhuǎn)得到，因為平移和旋轉(zhuǎn)不會改變圖形中M點和P點的相對位置關(guān)系.”筆者對學生2的說法給予了肯定，并建議學生對頂點在原點、開口向上的拋物線的情況給出證明.

設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），A，B為拋物線上已知兩點，點P為A，B之間拋物線上任意一點，求證：當點P的橫坐標為A，B兩點橫坐標的一半時，P點到直線AB的距離最遠，即此時△PAB的面積最大.

在同學們的共同探究和筆者的指導(dǎo)下，不久就有基礎(chǔ)較好的學生給出了答案.筆者讓其中一個學生在黑板上展示了他的答案.筆者將其證明過程進行了點評，最后整理如下：

證明：如圖1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），作直線AB的平行線l，l和A，B之間的拋物線的公共點到直線AB的距離就是直線l和直線AB的距離.當l和拋物線相切時，直線l和直線AB的距離最遠，即切點P（x0，y0）為所求.因為直線AB的斜率由x2=2py知求導(dǎo)可得所以過切點P（x0，y0）的切線l的斜率由條件知k0=k，所以故結(jié)論得證

圖1

若設(shè)AB的中點為M，則此時P，M兩點的連線平行于拋物線的對稱軸，考慮到將整個圖像在直角坐標系進行平移或旋轉(zhuǎn)不會改變P和M的相對位置，并注意到A，B兩點的特殊位置情況，可以得到如下推論：

推論：設(shè)A，B是拋物線上的任意兩點，M為線段AB的中點，在A，B兩點之間的拋物線上到直線AB距離最遠的點記為點P，則直線PM平行于拋物線的對稱軸或者與對稱軸重合（此時AB垂直于對稱軸）.

得到這個推論后學生都感到非常興奮，有些同學說：“以后遇到類似題型，我們只要找到弦AB的中點M，過M點作拋物線對稱軸的平行線，該平行線和拋物線的交點就是要求的點P.”另外有學生補充到：“當AB垂直于對稱軸時，P點就是拋物線的頂點.”筆者也感到非常高興，說到：“以后你們做此類選擇題和填空題時可直接使用這個結(jié)論.”一堂常規(guī)復(fù)習課變成了一堂探究課，而且得到了精彩的結(jié)論，真是意外的收獲！

假如在教學中教師沒有能夠充分認識試題的內(nèi)涵意義，這不但無法找到問題的另一種解決方式，至于問題的延伸及變式就更無從談起.這對教師和學生來說損失都是非常大的.有鑒于此，本文著重研究了數(shù)學教學過程中提升學生思維能力的重要性，旨在提升數(shù)學教學的有效性.