感悟方法探索規(guī)律

王鵠

人教版《數(shù)學》五年級下冊《探索圖形》是在認識長方體和正方體后，安排的一節(jié)綜合與實踐活動。目的是讓學生運用學過的正方體的特征等知識，探索由小正方體拼成的大正方體表面涂色再分開后，每個小正方體表面涂色的可能性及每種可能的數(shù)量和位置特征，培養(yǎng)學生的空間想象能力和推理能力，體會分類計數(shù)、數(shù)形結合、歸納、推理、模型等數(shù)學思想。

一、化繁為簡，明確探究方向

教師出示四階魔方，讓學生認真觀察，并用數(shù)學語言描述魔方。學生有的指出它是正方體，有的指出它有6個面、8個頂點、12條棱，還有的發(fā)現(xiàn)它是由64個小正方體拼成的。教師繼續(xù)設問，64個小正方體拼成的大正方體，它的6個面都涂上了顏色，請想象一下，64個小正方體會有幾個面被涂上顏色？如果根據(jù)涂色的情況給這64個小正方體分類，你想怎樣分？學生指出按照涂色的面數(shù)可以分為三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有涂色。每一類小正方體分別有多少個呢？學生一時還算不出來。

教師先引導學生思考：最少用幾個小正方體可以拼成一個稍大的正方體？學生思考后發(fā)現(xiàn)至少需要8個小正方體才能拼成一個大正方體。教師用課件出示①號圖形，用8個棱長1cm的小正方體拼成棱長為2cm的大正方體后，把它的表面涂上顏色，請想象一下，這些小正方體會有幾個面被涂上顏色？學生指出3個面后，教師引導學生把要研究的問題及觀察的數(shù)據(jù)記錄下來并以表格的形式呈現(xiàn)（表格如下）。

接著繼續(xù)追問，如果將這個大正方體拼得再大一點，需要多少個小正方體？學生發(fā)現(xiàn)需要27個小正方體，也就是用棱長1cm的小正方體拼成棱長為3cm的的大正方體。運用類推的思考方式，接下來是要繼續(xù)探究棱長為4cm、5cm、6cm的大正方體中各小正方體表面的涂色規(guī)律。

二、分類計數(shù)，收集探究材料

教師用棱長1cm的小正方體拼成棱長為3cm的大正方體，把它們的表面分別涂上顏色后問學生：其中三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個？還有一個正方體是哪一種？學生討論交流后發(fā)現(xiàn)，還有一種是六個面都沒有涂色的。在學生填表的過程中，教師追問：三面、兩面、一面和沒有涂色的小正方體分別在正方體的哪個位置？如果拼成棱長為4cm的大正方體后，需要多少個小正方體？其中三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個？學生借助直觀圖，發(fā)現(xiàn)三面涂色的小正方體共8個，在原來大正方體的8個頂點的位置；兩面涂色的共有24個，分別是每一條棱上的中間兩個（此處有學生是數(shù)出來的，有學生是用2×12算出來的）；一面涂色的共24個，分別是每個面的正中間的4個；沒有涂色的塊數(shù)是8個（64-8-24-24=8）。

三、數(shù)形結合，推理概括規(guī)律

通過前幾次的探究，學生結合圖形發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律：三面涂色的小正方體都在大正方體的頂點的位置。不論棱長是幾，分割后三面涂色的小正方體的個數(shù)都是8個。兩面涂色的小正方體都在大正方體的棱的位置，只要用每條棱中間兩面涂色的小正方體的個數(shù)乘12，就得出兩面涂色的小正方體的總個數(shù)。一面涂色的小正方體都在大正方體的面的位置，只要用每個面上一面涂色的小正方體的個數(shù)乘6，就得出一面涂色的小正方體的總個數(shù)。沒有涂色的個數(shù)=總塊數(shù)-三面涂色的塊數(shù)-兩面涂色的塊數(shù)-一面涂色的塊數(shù)。據(jù)此，筆者引導學生探討棱長是5cm、6cm時的涂色規(guī)律，學生合作探究后將所得結果填寫在表格中再次驗證了上述發(fā)現(xiàn)。如果拓展到一般規(guī)律：把棱長為n的大正方體涂色切割，三面涂色、兩面涂色、一面涂色及沒有涂色的塊數(shù)的小正方體各有多少個？師生共同歸納得出：三面涂色的在正方體頂點的位置，因為正方體有8個頂點，所以都有8個；兩面涂色的在正方體棱上除去兩端的位置，因為正方體有12條棱，所以有（n-2）×12個；一面涂色的在正方體每個面除去周邊一圈的位置，因為正方體有6個面，所以有（n-2）2×6個；沒有涂色的在正方體里面除去表面一層的位置，所以有（n-2）3個，或者，用總塊數(shù)-三面涂色的塊數(shù)-兩面涂色的塊數(shù)-一面涂色的塊數(shù)。

教學中，教師采用小組活動與全班集體活動相結合的形式，放手讓學生用小正方體擺一擺，拿魔方看一看，讓每一個學生都有活動的空間和時間，使學生在數(shù)學實踐活動中學會求知、學會合作、學會交流，在活動中獲得了成功的快樂。學生通過探索圖形涂色規(guī)律的活動，深化了對正方體特征的認識，不斷拓寬了獲取數(shù)學知識的渠道，感受了數(shù)學思考的魅力。在探索規(guī)律的過程中，教師引導學生初步體會了建立數(shù)學模型的過程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，鼓勵學生用數(shù)學語言和模型正確地表達發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

整節(jié)課，充分體現(xiàn)了讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并加以解釋與運用的過程，在讓學生根據(jù)直觀立體圖形進行推理想象進而歸納出不同涂色面數(shù)的小正方體的數(shù)量的過程中，提高了學生的空間想象能力。

（作者單位：襄陽市襄州區(qū)教研室）