例談均值不等式的運用

☉江蘇省啟東市匯龍中學 樊 勇

例談均值不等式的運用

☉江蘇省啟東市匯龍中學 樊 勇

不等式內容是高中數學的一個重點，也是難點.教學中，我們跟學生一再強調利用均值不等式求最值必須滿足三個條件“一正二定三相等”，但教學效果欠佳.究其原因，“用均值不等式求最值”，是“均值不等式”和“最值”兩個內容的交匯點，對學生的綜合能力要求較高.學生首先要有這兩個內容的儲備，才可以自然過渡.事實上，很多學生沒這種認識，他們大多簡單地把“用均值不等式求最值”看成一個知識點.很多學生不理解用均值不等式求最值三個條件中的“定值”，他們解題一般都是嚴格按照“一正二定三相等”的步驟.下面通過幾例說明均值不等式的運用及注意事項.

一、解題時常用結論

（5）對兩個正數a，b，若它們的和是定值S，當且僅當a=b時，積P=ab有最大值；若它們的積P=ab為定值，當且僅當a=b時它們的和S取得最小值

二、題型分析

題型一：a＞0，b＞0，a+b≥2直接使用

例1已知x＞0，y＞0，2x+y=1，則xy的最大值為____________.解析：因為當且僅當2x=y時等號成立，即，解得當且僅當x=時等號成立.

題型二：兩次使用不等式

例2已知a＞b＞0，求的最小值.

解析：，當且僅當b=a-b，即a=2b時，等號成立.

評注：兩次使用重要不等式時，注意兩次的等號能否同時取得到，若取不到，則本題不能2次使用不等式.

題型三：“添項”構造使用不等式的條件

例3當x＞2時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是________.

解析：因為x＞2，所以x-2＞0，所以，所以當且僅當即x=3時，等號成立.

題型四：“乘項”構造使用不等式的條件

例4已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值.

誤解：所以xy≥36，當且僅當即y=9x時，等號成立.

誤解原因：兩次等號成立的條件不能同時成立，故結果有誤.

正解：因為當且僅當即y=3x時，等號成立，所以x+y的最小值為16，此時x=4，y=12.

三、均值不等式失效時處理策略

例5已知x+y=-1，且x＜0，y＜0，求的最小值.

策略一：令xy=t，則0＜t＜1，又因為x+y=-1，所以y=-1-x，代入xy=t得x2+x+t=0.

策略二：因為x+y=-1，且x＜0，y＜0，所以設，即，再令為此等價構造新函數，求它的最小值.以下同策略一.

策略三：由x+y=-1得y=-1-x，又因為y＜0，即-1-x＜0，得-1＜x＜0，所以為此等價構造新函數求其最小值.h′（x）=-1-得或x=（舍），故時，函數h（x）取得最小值否則無最小值），即的最小值為

當均值不等式失效時，一般情況下，可以化為對勾函數，利用其單調性解決，也可考慮通過換元，把已知與結論聯系起來，等價轉化為一個新函數，利用導數求解它.

反思高一新課教學或高三復習，老師要想學生學會用均值不等式求最值，首先要讓學生回顧最值的定義，讓學生知道題目求最值究竟是要得到什么，從而有意識地利用條件往需要的方向整理，否則學生只是生搬硬套“一正二定三相等”.高中數學大部分都是概念教學，先下定義，學生再用定義去辦事.從上面的例子看到，其實學生到最后都不是按定義辦事，而是按口訣辦事，口訣重在形式，到最后學生都學糊涂了.原因可能是我們強調定義的次數遠遠少于強調口訣的次數.要改變這一現狀，我們要做到兩點，不能只看重學生的成績，更要教會學生思考.定義有時很抽象，但高中三年，如果我們一直強調，學生還是會慢慢地理解的.還有，強調口訣的前提請再提一下定義.“形式”方便記憶，但要在數學上走得更遠，必須要理解“本質”.