基于諧波平衡法的擺線鋼球行星傳動等速輸出機構非線性動態特性研究

楊榮剛, 安子軍

(燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004)

基于諧波平衡法的擺線鋼球行星傳動等速輸出機構非線性動態特性研究

楊榮剛, 安子軍

(燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004)

為揭示擺線鋼球行星傳動等速輸出機構的非線性動力學行為，建立考慮機構鋼球數目、輸入激勵、嚙合副嚙合狀態及嚙合剛度的純扭轉強非線性動力學模型。將嚙合副預緊函數表現為多項式的形式，將嚙合副間隙函數表達為描述函數的形式，通過諧波平衡法將微分方程組轉化為非線性代數方程組，利用MATLAB進行求解，得到系統的基頻穩態響應。通過改變鋼球數、軸向壓縮量與嚙合剛度，分析參數變化對系統非線性特性的影響。結果表明，預緊系統只有兩階頻率激發共振，系統非線性程度隨鋼球數、嚙合剛度和預緊量的增加而減弱，預緊量是影響系統非線性程度的主要因素；間隙系統激發共振頻率的階數與鋼球數目有關，幅頻響應曲線出現典型非線性特征，出現單邊沖擊與雙邊沖擊現象。基于多項式函數的諧波平衡法為深入研究擺線鋼球行星傳動系統的動態特性提供了一種有效方法。

擺線鋼球行星傳動；等速輸出機構；諧波平衡法；幅頻特性；軸向預緊；非線性振動

擺線鋼球行星傳動與擺線針輪等活齒傳動相比，能夠實現嚙合副的實時無隙嚙合，從而實現精密傳動；與齒輪系統相比，除精密傳動外，還具有嚙合效率高、噪聲低、結構緊湊易于微型化等突出特性。因此，在高精密傳動應用領域有著重要價值和發展前景[1-2]。

文獻[3-4]建立了擺線鋼球行星傳動嚙合副兩點接觸狀態下的平移-扭轉耦合動力學模型。文獻[3]揭示了系統的固有特性，并分析擺線鋼球行星傳動的主要結構參數對固有頻率的影響；文獻[4]運用多尺度法對系統進行動力穩定性分析，并利用攝動法計算出系統的穩態響應。以上文獻尚未對鋼球數目變化、軸向預緊與嚙合狀態對機構非線性振動的影響進行研究，以及多尺度法與攝動法適用于弱非線性系統。因此，在不同鋼球數、軸向壓縮量、剛度系數及嚙合狀態下建立擺線鋼球行星傳動等速輸出機構非線性動力學模型，并采用合適的非線性分析方法進行研究，有一定的研究價值。

諧波平衡法是求解非線性振動常用的一種近似解析法，不僅限于弱非線性系統，且該種方法的求解過程歸結為代數方程組的求解，不需要求解微分方程組或積分-微分方程組，采用諧波平衡法對等速輸出機構的非線性動態特性進行分析，結果更為準確。文獻[5]根據齒輪間隙函數,將相平面劃分為三個區域并建立相對應的Poincaré映射,結合諧波平衡法及序列二次規劃方法求得區域內的解,并分析不同因素對齒輪沖擊響應的影響。文獻[6]應用HBM與離散傅里葉變換分析了含有齒側間隙的兩級定軸齒輪傳動系統，以及行星齒輪傳動系統的非線性動態特性。文獻[7]在剛度波動的情況下，推導了行星齒輪系統微分方程組的解析諧波平衡法的計算公式，利用基于描述函數的HBM法研究動態特性,并分析時變嚙合剛度、誤差和齒側間隙對系統非線性動力學特性的影響。文獻[8]將齒側間隙非線性函數表達為描述函數的形式，運用諧波平衡法得到系統的基頻穩態響應，通過改變時變嚙合剛度、齒側間隙與綜合嚙合誤差，分析參數變化對系統非線性動態特性的影響。

本文以嚙合副處于不同嚙合狀態的系統為研究對象，建立考慮鋼球數、嚙合剛度、輸入轉矩與軸向預緊量的純扭轉非線性動力學模型。通過諧波平衡法將微分方程組轉化為非線性方程組，運用MATLAB進行求解，得到系統的基頻穩態響應，分析鋼球數目、嚙合剛度與軸向預緊量對系統非線性動態特性的影響。

1 動力學模型建立

等速輸出機構由行星盤、等速鋼球、輸出軸等組成，如圖1所示。O1、O3分別為行星盤、輸出軸回轉中心。運轉時行星盤做行星運動，行星盤環形槽推動鋼球滾動，鋼球推動輸出軸定軸轉動，實現轉速輸出。

行星盤與輸出軸做定軸轉動時，傳動簡圖如圖1(b)所示。為實現機構的實時無隙精密傳動，環形槽均采用雙圓弧結構(使用兩把不同銑刀分別加工環形槽內外側，使環形槽縱切面內、外側曲率半徑不同)，如圖1(c)所示。在偏心距一定情況下，通過改變內(外)側環形槽曲率半徑，獲得不同的嚙合剛度，可實現內、外側嚙合剛度變化。

(a) 等速嚙合副結構圖

(b) 等速嚙合副傳動原理圖 (c) 環形槽結構圖圖1 等速嚙合副圖Fig.1 Constant velocity engagement pair

1.1 動力學模型

等速輸出機構各構件減掉輸入軸轉速ωr，使得各構件轉化為定軸轉動，行星盤繞O3旋轉，各鋼球均繞O2旋轉，輸出軸繞O1旋轉。此時，考慮行星盤、輸出軸、鋼球的旋轉自由度，建立如圖2所示的等速輸出機構非線性純扭轉動力學模型。腳標3、4j、5分別指行星盤、第j個鋼球、輸出軸。u3、u5、u4j為行星盤、輸出軸、第j個鋼球的角位移，φj=ωt+2π/Z4第j個鋼球轉過角度，Z4鋼球數，ω角速度，Rw鋼球回轉半徑。

圖2 等速嚙合副動力學模型Fig.2 Constant velocity engagement pair dynamic model

1.2 嚙合點相對位移

在間隙調節機構作用下，輸出軸軸向移動實現嚙合副預緊。輸出軸相對行星盤軸向移動量為δz，嚙合點法向壓縮量為δ=δzsinβ/2(β對應取值β1或β2，β1、β2分別指外、內側嚙合點法線與盤平面夾角)，將其折合成角位移為u=δ/(Rwcosβ)。將δz=0定義為A、B、C、D四點均嚙合且法向力為零，δz<0嚙合副存在間隙，δz>0嚙合副存在預緊(壓縮)量。擺線鋼球行星傳動存在間隙調節機構，該機構輸出軸向位移且足以抵消嚙合副產生的磨損量時，嚙合副處于預緊狀態，δ>0；輸出軸向位移為負，或者軸向位移量不足以抵消嚙合副產生的磨損量時，嚙合副處于間隙狀態，δ<0。

定義構件間相對位移在運動方向上的投影為

1.3 量綱一化微分方程組

系統的非線性動力學微分方程組為

(1)

式中f(um,u)為預緊或間隙非線性函數(m=1j,2j);Ji為構件繞回轉中心的轉動慣量(i=3,4j,5);Ti為構建中傳遞的轉矩(i=m,s,c)。

扭轉剛度非線性函數為

預緊非線性函數統一形式為

式中uy為嚙合副預緊量轉化角位移一半;u為相對角位移u1j與u2j。

間隙非線性函數統一形式為

式中ux為嚙合副齒側間隙轉化角位移一半。

對式(1)進行坐標變換可得

(2)

引入特征頻率ωn

進一步定義

量綱一化式(2)，得到如下微分方程組

(3)

量綱一化預緊非線性函數統一形式為

根據文獻[9]中用多項式替代嚙合剛度分段函數，及文獻[10]與文獻[11]將間隙非線性函數用多項式函數替換，將預緊非線性函數用多項式函數替換得

量綱一化間隙非線性函數統一形式為[12]

(5)

2 諧波平衡法求解

在多數情況下，系統的基頻穩態響應往往占據主導地位，最關注系統的基頻穩態響應。對于系統的一次諧波穩態響應，其近似表達式為

(6)

速度與加速度分別為

將式(5)用Fourier級數展開為

(7)

將式(4)與式(6)代入式(3)，或者將式(7)代入式(3)，令兩邊常數項、cosΩτ項、sinΩτ項分別相等，均可得到如下形式的方程組

(8)

通過諧波平衡法將微分方程組轉化為非線性方程組，式(8)所示，然后運用MATLAB中fsolve命令，通過對Ω設定步長逐個描點求解該非線性方程組。

3 頻域動態特性

將嚙合副處于預緊狀態的等速輸出機構簡稱為預緊系統，將嚙合副處于間隙狀態的等速輸出機構簡稱為間隙系統。U341是指行星盤與第一個鋼球的量綱一位移響應幅值，U451是指第一個鋼球與輸出軸的量綱一位移響應幅值。線性系統、預緊系統與間隙系統幅頻響應曲線如圖3所示。由圖可知在低頻范圍內，線性系統與預緊系統兩階頻率激發共振，間隙系統六階頻率激發共振。軸向預緊量δz=100 μm時，預緊系統激發共振頻率與線性系統固有頻率存在偏差，兩階頻率均向高頻方向移動，幅頻響應曲線會出現多值的非線性特征，存在無沖擊與單邊沖擊現象。間隙系統較多低階頻率激發共振，幅頻響應曲線出現幅值跳躍、多值解及亞諧共振的典型非線性特征，存在無沖擊、單邊沖擊與雙邊沖擊現象。對比可知，間隙系統非線性程度明顯強于預緊系統。由于通過設定步長對Ω逐個描點求解式(7)，圖中會出現不連續點或散點，表明在該處存在幅值跳躍或多值解，反映出系統的非線性動態特性。非線性因素的引入，使得非線性系統非線性特性明顯區別于線性系統。

表1 系統參數值

圖3 幅頻響應曲線Fig.3 Amplitude frequency response curve

4 系統參數對動態特性的影響

4.1 鋼球數目的影響

圖4 鋼球數對幅頻響應影響Fig.4 The influence of ball number on the amplitude frequency response

兩鋼球預緊系統(預緊系統只有兩個鋼球)兩階頻率激發共振，幅頻響應曲線存在較多散點，主要在區間(0.884,0.916)、(1.166,1.198)與(1.241,1.272)內發生單邊沖擊，約在1.225處發生幅值跳躍；三鋼球預緊系統兩階頻率激發共振，單邊沖擊主要發生在區間(1.375,1.393)中，其余區間存在較多不連續點及少量散點；四鋼球預緊系統幅頻響應曲線出現較多不連續點，存在單邊沖擊現象。兩鋼球間隙系統三階頻率激發共振，存在較少不連續點，在區間(1.317,1.485)內發生單邊沖擊，在區間(1.485,1.497)與(1.511,1.596)內發生雙邊沖擊；三鋼球間隙系統六階頻率激發共振，在Ω=0.673處發生較為明顯的亞諧共振，在區間(1.02,1.73)內幅頻響應曲線變化較為復雜，存在單邊沖擊與雙邊沖擊；四鋼球間隙系統激發出較多亞諧共振，沖擊特性較三鋼球系統復雜。不同數目鋼球預緊(間隙)系統，頻響曲線中均會出現多值解，表明鋼球數目變化不會影響等速輸出機構的沖擊特性。預緊系統中，隨著鋼球數目的增加，系統振動的最大幅值減小，激發共振的各階頻率向高頻方向移動，三球與四球系統激發共振的各階頻率相差較小，兩鋼球系統幅頻響應曲線相對較復雜，表現出相對較強的非線性特征；三球與四球間隙系統激發共振的各階頻率相差較小，出現幅值跳躍與多值解的典型非線性特征，且存在亞諧共振，沖擊特性較復雜，非線性程度均強于兩球間隙系統。由以上分析可知，輸出機構為獲得較小振動與噪聲，需保證間隙調節機構實時消除齒側間隙。

4.2 預緊量的影響

軸向預緊量為δz=10 μm時，幅頻響應曲線存在較多散點，非線性程度較強；δz=40 μm時，頻響曲線存在少量散點與較多不連續點，沖擊特性表現出一定的規律性；δz=70 μm時，幅頻響應曲線有較強的變化規律，單邊沖擊主要發生在區間(1.102,1.134)、(1.172,1.211)、(1.332,1.374)與(1.421,1.466)內，在共振頻率附近出現少量不連續點；δz=100 μm時，單邊沖擊對應激勵頻率區間減小，主要分布在區間(1.105,1.133)與(1.401,1.423)內，非線性程度變弱。隨著軸向預緊量逐漸增加，振動幅值逐漸減小，散點減少，出現沖擊現象的激勵頻率范圍減小，非線性程度逐漸減弱。

圖5 軸向預緊對幅頻響應影響Fig.5 The influence of axial preload on the amplitude-frequency response

4.3 嚙合剛度的影響

三鋼球預緊系統中，軸向預緊為50 μm，步長設為ΔΩ=0.000 4，嚙合剛度變化時，頻響曲線如圖6所示。

圖6 嚙合剛度對幅頻響應影響Fig.6 The influence of mesh stiffness on amplitude frequency response

5 結 論

根據對本文建立的等速輸出機構非線性純扭轉動力學模型進行的研究，得到如下結論：

(1)等速輸出機構嚙合副嚙合狀態不同(間隙或預緊)，系統均出現復雜的沖擊現象。預緊系統幅頻特性曲線出現多值解與單邊沖擊非線性特征，間隙系統幅頻特性曲線出現多值解、單邊沖擊、雙邊沖擊的典型非線性特征，兩系統非線性特征存在明顯區別。

(2)預緊系統在低頻范圍內只有兩階頻率激發共振，該兩階頻率除隨鋼球數目增加向高頻方向移動之外不隨其它參數的改變而發生變化；間隙系統激發共振的頻率階數隨鋼球數目變化而發生變化，三鋼球與四鋼球間隙系統均會產生亞諧共振。

(3)預緊系統中，軸向壓縮量、嚙合剛度與鋼球數增加，會使系統振動幅值減小、非線性現象表現程度減弱，軸向預緊量變化對系統的動態特性影響最大。鋼球數目增加，間隙系統振動幅值減小，非線性現象表現程度增強。

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Nonlinear dynamic characteristics of the equal speed output mechanism of cycloid ball planetary transmission based on harmonic balance method

YANG Ronggang, AN Zijun

(College of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

In order to reveal the nonlinear dynamics behavior of the equal speed output mechanism of cycloid ball planetary transmission, a pure torsion strongly nonlinear dynamics model was established in consideration of different number of balls, input excitation, different stiffness and different engagement state. Expressing the vice engagement preload function in a polynomial form and the vice engagement gap function in a describing function form, the harmonic balance method was used to convert the differential equations into nonlinear algebraic equations, which were solved by MATLAB, and the steady-state response of the system at foundamental frequency was obtained. The nonlinear dynamic characteristics were analyzed by changing the influential parameters such as the number of balls, axial compression and mesh stiffness. The results show that only two frequency orders of resonances of the preload system are stimulated. The nonlinear degree of the system decreases with the increase of the number of steel balls, the mesh stiffness and the preload. Preload is the most prominent factor affecting the degree of nonlinearity. The number of resonant frequencies of the gap system is related to the number of steel balls. The amplitude-frequency response curve shows the typical non-linear characteristics, and also shows the appearance of unilateral and bilateral impacts. The harmonic balance method based on polynomial function provides an effective method for the further study of the dynamic characteristics of cycloid ball planetary drives.

cycloid ball planetary transmission; equal speed output mechanism; harmonic balance method; amplitude-frequency characteristics; axial preload; nonlinear vibration

國家自然科學基金資助項目(51275440)；河北省自然科學基金資助項目(E2013203085)

2015-09-28 修改稿收到日期：2015-11-26

楊榮剛 男，博士生，1988年8月生

安子軍 男，博士，教授，博士生導師，1960年2月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.025