“好玩”的素數和雙對定律

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

“好玩”的素數和雙對定律

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

素數問題一直是數論所研究的熱點之一。以任何相鄰的兩個自然數為源頭活水，從而揭示所存在的素數概率，并且具有可玩的趣味性，對提高情商有一定的作用。本文推出了三個雙對定律和一個素數定律。

素數；概率；修正值；情商

一、關于素數概率

素數（質數）的定義是小學數學課本所講的知識。然而，素數問題一直是數論這一數學分支所研究的熱點之一。

數學大師陳省身說“數學好玩”。數學是宇宙的語言，當然也是其包括社會情況在內的解讀。比如，當前二胎政策放開之后，一對夫妻生育子女一般會出現以下三種情況：（1）生兩個孩子。（2）只生一個孩子。（3）不生孩子。這樣的社會情況，在數學當中也類似地存在著。

中國古典學說認為：奇數屬陽，偶數屬陰。對于任何相鄰的兩個自然數來說，必定一個是屬陽的奇數，另一個是屬陰的偶數，從而奇數偶數互相配合便構成了無窮無盡的自然數。

【素數概率】任何相鄰的兩個自然數相乘之積加上（或者減去）該兩個自然數相加之和，這樣所得的兩個結果數其素數概率存在三種情況：（1）有兩個素數；（2）有一個素數；（3）沒有素數，但通過修正值解決。

例1 3×4+（3+4）=12+7=19，3×4－（3+4）=12－7=5；4×5+（4+5）=20+9=29，4×5－（4+5）=20－9=11。如此這般，“3×4”的兩個結果數有兩個素數：19和5；“4×5”的兩個結果數也有兩個素數：29和11。

例 2 8×9+（8+9）=72+17=89，8×9－（8+9）=55；18×19+（18+19）=342+37=379，18×19 －（18+19）=342－37=305。如此這般，“8×9”的兩個結果數有一個素數：89；“18×19”的兩個結果數也有一個素數：379。

例 3 13×14+（13+14）=182+27=209，13×14－（13+14）=182 － 27=155；68×69+（68+69）=4692+137=4829，68×69－（68+69）=4692－137=4555。如此這般，“13×14”和“68×69”的兩個結果數均沒有素數。

如例3所示，盡管“兩個結果數均沒有素數”，然而可以通過“修正值”來解決。前面說過夫妻二人第三種情況“沒有孩子”，然而這種情況只是當時那樣，說不定兩個月之后就會有孩子出生了呀！應當用發展的眼光看待事物。如此這般，解決例3沒有素數的問題，就是對結果數進行加上或減去修正值2：209+2=211，155+2=157，4829+2=4831，從而解決了沒有素數的問題。修正值是數學計算的一種處理措施，同時顯示數學奧妙。

如例題所示，可一人獨自玩，也可多人通過事前競猜所約定的兩個相鄰自然數經過運算所能產生的三種情況，誰猜對了誰為贏者。如此這般，可事先準備好一份現成的《素數表》作為依據，或者運用計算機之類的計算器具檢驗所得的結果數是不是素數。

如上所述，兩個相鄰自然數所產生的三種情況具有多樣性，不是非此即彼的兩面性，從而增加了玩的趣味性和挑戰性。所謂素質教育，就是不僅要提高學生的智商，還要提高學生的情商啊！有益的數學游戲就是提高情商的好方法啊！

二、關于雙對定律

有一首歌唱道：樹上的鳥兒成雙對。既然數學是宇宙的語言，數學理應對此類自然現象予以解讀啊！

【雙對定律】任何公差為2的三項等差數列（當然包括連續的三個奇數或偶數在內）a1、a2、a3，則a1×a2+（a1+a2）=b，a2×a3－（a2+a3）=b，從而兩個b成雙對。

例1 公差為2的三項等差數列－2.5、－0.5、1.5，則：（－2.5）×（－0.5）+ ［（－2.5）+（－0.5）］=－1.75，（－0.5）×1.5－［（－0.5）+1.5］=－1.75，從而兩個－1.75成雙對。

例2 公差為2的三項等差數列，即連續的三個偶數8、10、12，則8×10+（8+10）=98，10×12－（10+12）=98，從而兩個98成雙對。

例3 公差為2的三項等差數列，即連續的三個奇數9、11、13，則9×11+（9+11）=119，11×13－（11+13）=119，從而兩個119成雙對。

【雙對定律2】任何三項的等比數列a1、a2、a3，則a1×（a2+a3）=b，a2×（a1+a2）=b，從而兩個b成雙對。

例1 三項的等比數列0.5、2、8（公比為4），則0.5×（2+8）=5，2×（0.5+2）=5，從而兩個5成雙對。

例2 3、15、75這樣三項的等比數列（公比為5），則3×（15+75）=270，15×（3+15）=270，從而兩個270成雙對。

【雙對定律3】任何四項的連續自然數a1、a2、a3、a4，則a1×a2+（a1+a2）＝b，a3×a4－（a3+a4）＝b，從而兩個b成雙對。

例 1 8、9、10、11，則 8×9+（8+9）=72+17=89，10×11 －（10+11）=110－21=89，從而兩個89成雙對。

例 2 28、29、30、31，則 28×29+（28+29）=869，30×31 －（30+31）=869，從而兩個869成雙對。

如上所述，數學本來就不缺少好玩，而是缺少發現數學好玩的心靈。敢問好玩何在？就在數學！

三、下面再介紹“好玩”的素數定律

【素數連加之和定律】在無窮的素數系統之中，任何從小到大連續二十項的素數 a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9、a10、a11、a12、a13、a14、a15、a16、a17、a18、a19、a20， 重 新 排 列 成 為 a1、a12、a3、a14、a5、a16、a7、a18、a9、a20、a11、a2、a13、a4、a15、a6、a17、a8、a19、a10，如此這般，前十項各項相加之和與后十項各項相加之和這樣的兩個和數相差無幾，也就是差不多相等，較小和數大于較大和數的百分之九十七。

例1 從小到大連續二十項的素數2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71，重 新 排 列 成 為 2、37、5、43、11、53、17、61、23、71、31、3、41、7、47、13、59、19、67、29，前十項各項相加之和：2+37+5+43+11+53+17+61+23+71=323，后十項各項相加之和：31+3+41+7+47+13+59+19+67+29=316，從而323和316相差無幾，差不多相等，316大于323的百分之九十七。

例2 從小到大連續二十項的素數5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79，重新排列 成 為 5、43、11、53、17、61、23、71、31、79、41、7、47、13、59、19、67、29、73、37，前十項各項相加之和：5+43+11+53+17+61+23+71+31+79=394，后十項各項相加之和：41+7+47+13+59+19+67+29+73+37=392，394和392相差無幾，差不多相等，只相差2。

如例題所示，素數連加之和定律揭示了素數的一般規律。在無窮的素數系統之中進行別開生面的排列組合，使得貌似雜亂無章的所有素數也有規律可循了，并且有趣好玩，從而彰顯組合數學的生命力。隨著時代的進步，組合數學這一數學分支越來越顯示出獨到的作用。