概率論教學(xué)中如何提高學(xué)生的思維能力

李年華

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

摘要：本文主要針對(duì)概率論教學(xué)中的一些問(wèn)題（如學(xué)生覺得枯燥難懂、知識(shí)零散，無(wú)法提高自己的數(shù)學(xué)能力）結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，研究如何增強(qiáng)學(xué)生在的思維能力，特別是思維的邏輯性、系統(tǒng)性、靈活性。

關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)實(shí)踐；數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）49-0214-02

一、背景

目前一般本科院校許多專業(yè)都開設(shè)有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程，主要是因?yàn)檫@門課程應(yīng)用很廣，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求也低（一般只要求學(xué)過(guò)基本的微積分即可）。由于本人所帶學(xué)生大多為文科生，本文選用的教材主要是針對(duì)文科生的[1]而不是經(jīng)典教材[2]。這里主要研究課程的概率論部分，主要例子為古典概型的概率和數(shù)學(xué)期望。通過(guò)這2部分內(nèi)容說(shuō)明如何培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力，增加他們學(xué)習(xí)的興趣[3，4]。

我們知道很多文科生由于種種原因?qū)?shù)學(xué)很排斥，他們理解的數(shù)學(xué)就是復(fù)雜計(jì)算，毫無(wú)實(shí)際應(yīng)用，因此教學(xué)中我們通過(guò)自己的一些實(shí)用方法和技巧以及生活中的例子鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和應(yīng)用能力，使他們?cè)谝院蟮墓ぷ鲗W(xué)習(xí)中受益，這些都對(duì)對(duì)理論教學(xué)提出了很高的要求。

二、如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

（一）增加學(xué)生的興趣

興趣是最好的老師，所以第一堂課我們可以舉出一些很好的故事和例子把學(xué)生引進(jìn)到這門課中，而不引起他們的反感。這里我選取概率論這門學(xué)科起源的一個(gè)十分有趣的故事：“1651年，法國(guó)一位貴族梅累向法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的‘分賭注問(wèn)題。這兩個(gè)賭徒說(shuō)，他倆下賭金之后，約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么這個(gè)錢應(yīng)該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因?yàn)樽钤缯f(shuō)的是滿5局，而誰(shuí)也沒(méi)達(dá)到，所以就一人分一半呢？這兩種分法都不對(duì)。正確的答案是：贏了4局的拿這個(gè)錢的3/4，贏了3局的拿這個(gè)錢的1/4。為什么呢？假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏滿了5局，錢應(yīng)該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個(gè)錢應(yīng)該對(duì)半分。現(xiàn)在，A贏、輸?shù)目赡苄远际?/2，所以，他拿的錢應(yīng)該是1/2×1+1/2×1/2=3/4，當(dāng)然，B就應(yīng)該得1/4。”這個(gè)問(wèn)題引入了概率論中的一個(gè)十分重要的概念—數(shù)學(xué)期望。

（二）從簡(jiǎn)單基礎(chǔ)出發(fā)，為學(xué)生學(xué)習(xí)做好鋪墊

很多開始學(xué)習(xí)概率論的學(xué)生主要是大一大二學(xué)生，數(shù)學(xué)知識(shí)有限，我們需要在正式開始課程之前介紹些相關(guān)知識(shí)如排列組合。很多新時(shí)代的文科生對(duì)排列組合的知識(shí)知之甚少，第一堂課除了講解概率論起源的這個(gè)故事外我們還通過(guò)一些實(shí)用的例子說(shuō)明排列組合的主要原理。這樣做的好處是學(xué)生在學(xué)習(xí)第一章中的古典概型時(shí)不會(huì)那么吃力，而且這些例子都很有趣難度適中適合鍛煉學(xué)生清晰的思路。

（三）提出問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)不好的主要原因是思維僵化，比如他們對(duì)數(shù)學(xué)的印象就是算算算！其實(shí)數(shù)學(xué)的含義博大精深，算只是其中極少的一部分。為了培養(yǎng)思維的靈活性，我以三角函數(shù)sinx的值域?yàn)槔谌魏慰赡艿亩x域內(nèi)，sinx的值域最大是多少？幾乎所有的學(xué)生都說(shuō)是[-1，1]，而且他們深信不疑。然而我們知道顯然值域不止[-1，1]。此外還可以介紹lni等一些他們?nèi)菀仔纬伤季S定式的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣不僅可以解放學(xué)生思維還可以極大提高他們的興趣改變他們思維習(xí)慣。

1.通過(guò)典型知識(shí)點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和系統(tǒng)思維能力。

（1）培養(yǎng)邏輯思維能力最好的知識(shí)點(diǎn)在第一章中的求解古典概型的概率。古典概型（等可能概型）為具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)：

①試驗(yàn)的樣本空間只含有有限個(gè)元素。

②試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。

例：這里我們以一個(gè)例子說(shuō)明問(wèn)題。4支球隊(duì)隨機(jī)被抽入4個(gè)小組，X表示沒(méi)有球隊(duì)的小組數(shù)，求P{X=1}。

依題意事件{X=1}為一個(gè)小組沒(méi)有球隊(duì)，其他3小組都有球隊(duì)，顯然這3個(gè)小組至少都有一支球隊(duì)，因此必然有一個(gè)小組有2個(gè)球隊(duì)，其他小組只有一個(gè)球隊(duì)。我們將問(wèn)題的求解分成2步。第一步確定球隊(duì)的組合即那2個(gè)在一組，其余各自一組。第二步將組合的球隊(duì)分到四個(gè)小組去。很多同學(xué)在這里理解不清，因?yàn)樗麄內(nèi)狈壿嬎季S能力，容易多算或少算，我們可以仔細(xì)講解這個(gè)例子使他們體會(huì)邏輯思維的重要性。

（2）我們知道求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對(duì)應(yīng)不同變量有很多公式，如果不加理解很難記憶，下面我們說(shuō)明如何系統(tǒng)的理解這些公式。

一維情形：

①離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：②連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：③隨機(jī)變量函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望：

二維情形：此時(shí)我們有E（X，Y）=（EX，EY）。

這么多的公式如何理解和記憶呢？其實(shí)只需要記住一句話：數(shù)學(xué)期望就是某點(diǎn)數(shù)值乘某點(diǎn)概率的全部和，這個(gè)和對(duì)于離散顯然我們理解為一般求和，對(duì)于連續(xù)對(duì)應(yīng)積分。這樣上述離散情形的數(shù)學(xué)期望公式顯然立即可以得到。對(duì)于連續(xù)情形，這時(shí)候某點(diǎn)概率為0，所以求和時(shí)我們考慮無(wú)窮小區(qū)間，以一維連續(xù)型變量數(shù)學(xué)期望為例。此時(shí)我們?nèi)∪我恻c(diǎn)x所在區(qū)間為[x，x+Δx]，此區(qū)間的概率為f（x）Δx，此時(shí)我們得此區(qū)間上期望為如下形式的和xf（x）Δx然后求得即得積分運(yùn)算。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）[M].高等教育出版社，2009.

[2]盛聚.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].高等教育出版社，2008.

[3]丁正軍.在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[J].數(shù)學(xué)之友，2011，（4）.

[4]李順華，范玉妹.概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[J].北京科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，（S1）.