綜合法與向量法在立體幾何教學中的對比研究

詹曉燕

【摘要】在立體幾何教學中，會運用綜合法和向量法.兩種方法并無好壞之分，只有合理進行方法的運用才能夠更好地完成立體幾何知識的學習.基于這種認識，本文對兩種方法的運用問題展開對比研究，以便更好地理解和運用這兩種方法.

【關鍵詞】綜合法；向量法；立體幾何教學；對比

在高中數學教學中，立體幾何通常被劃分為兩個部分教學.在學習的過程中，學生將掌握綜合法和向量法.運用這兩種方法，可以加強學生空間想象力和論證推理能力.但在解題的過程中，還應靈活進行解題方法的選擇，才能夠確保立體幾何問題得到順利解決.

一、綜合法與向量法在立體幾何教學中的運用目的

在解答高考題時，立體幾何試題的設計往往可以運用綜合法和向量法這兩種方法進行解答.立體幾何教學是為了培養學生的空間想象力、圖形語言能力、論證推理能力.就目前來看，由于使用向量法可以完成程序化操作，無須進行過多思考，很多學生更傾向于使用向量法解答立體幾何問題.然而，偏重使用向量法解題，并不利于學生推理論證和空間想象等能力的培養.

二、綜合法與向量法在立體幾何教學中的運用方法對比

（一）綜合法的運用

使用綜合法解立體幾何題目，要求學生擁有一定的空間構造能力，可以排除點、線、面之間的相互干擾，從而發現題目的隱含條件，并進行問題的求解.為研究綜合法的運用方法，可以一道試題為例，對其解題過程展開研究.

例1如右圖所示，P為圓錐頂點，O為圓錐底面圓心，圓錐底面與母線夾角為22.5°，底面圓上有兩條平行線AB和CD，軸OP與平面PCD夾角為60°.需證明：平面PCD與平面PAB的交線與地面平行.

在求解該例題時，通過分析可以發現，問題考查的是學生對空間直線與平面的位置關系的理解，需要學生擁有計算直線與平面和直線與直線夾角的知識和技能.而這種類型的幾何模型通常如果利用空間直角坐標系求解，不容易完成三垂直關系的查找，也不好計算點的坐標.所以，如果使用向量法求解，將使問題更加復雜.使用綜合法求解，則可以通過畫輔助線求解，從而使問題得到簡化.具體來講，就是設平面PAB與PCD的交線為l，然后作圖，并使l與AB平行.根據線面平行的判定定理和性質定理以及公理1，就可以證明l與底面平行.

在實際做輔助線時，不少學生難以找到二面角的平面角.而使用三垂線定理，則能夠幫助學生提高解題效率.在計算角時，則要將其放在三角形中，然后利用三角形知識進行角的求解.

（二）向量法的運用

使用向量法解答立體幾何，可以直接幫助空間想象力稍差的學生擺脫點、線、面關系的困擾，也無須進行輔助線的添加，只需計算坐標就能夠得知角度、距離和位置等關系.但是，使用向量法需要完成合適的空間坐標系的建立，才能夠順利完成問題的求解.在具體建立空間坐標系時，可以利用線面垂直關系、面面垂直關系、正棱錐中心與高所在直線或共頂點相互垂直的三條棱完成空間直角坐標系的構建.為研究向量法的運用方法，可以下面的試題為例，對其解題過程展開研究.

例2四邊形ABCD為矩形，滿足AB=2BC=2.平面ABCD⊥平面PCD，△PAB為正三角形，O為CD中點，且BO⊥PA，求二面角B-PA-D的余弦值.

分析例題可以發現，根據已知條件，可以D為坐標原點進行空間直角坐標系的構建.坐標系的X軸為DC所在射線，Y軸則為DC右側與DC垂直的射線，Z軸為DA所在射線.該坐標系為右手系，由于△ADP≌△BCP，所以CP與DP相等，OP垂直于CD，所以PO平行與Y軸.經過計算，可以得出OP=2.由此，就可以得到A、P、O、B各點坐標.在對二面角B-PA-D的平面角進行求解時，可以將其轉化為兩個平面法向量間夾角或補角，然后寫出各向量坐標，并運用向量法完成各向量坐標求解.在此基礎上，完成向量間夾角的計算，就可以完成二面角的余弦值求解.

在實際解題時，一些學生會認為建坐標系比較困難.針對這一問題，教師需要指導學生學會利用已知點和已知直線建系，并且完成兩兩垂直的三直線的查找.考慮到教科書中建立的空間直角坐標系都是右手系，學生還應該盡量建立右手系，以免對教師評分產生影響.在選取二面角時，還要根據法向量的選取方向進行二面角的選取.為避免學生在看圖上出現誤差，教師可以補充案例說明二面角的判斷方法.在法向量方向都指向二面角外部或內部的情況下，法向量與二面角的夾角是互補關系.反之，則法向量與二面角的夾角相等.

（三）方法的對比分析

對比綜合法和向量法的運用過程可以發現，向量法的思路更為簡單，但是需要學生擁有一定的計算功底.學生在計算向量坐標時，需要確保點的坐標完全正確，才能避免后續計算不會完全徒勞.所以，向量法是利用空間向量和立體幾何間的聯系進行立體幾何的解釋，從而通過運算空間向量得到立體幾何結論.而綜合法則能夠更好地體現立體幾何課程的開設意圖，可以引導學生思考立體空間中點、線、面的關系，有利于培養學生的空間想象能力.但是對于空間想象力較差的學生來講，想要利用綜合法解決立體幾何問題需要花費一定的時間思考.因此，在立體幾何教學中，向量法和綜合法各具一定的優缺點.