基于HPM理論的課堂教學實踐與思考

王蓉

[摘 要] 本文以《等差數列的前n項和》課堂教學中三個教學片段引入數學史的教學實錄為例，闡述引入數學史的設計意圖及數學史的作用.

[關鍵詞] HPM理論；數學史；等差數列的前n項和

1972年，在第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱“HPM”），標志著數學史與數學教育關系作為一個學術研究領域而出現. 通常我們也把這一研究領域本身稱作HPM. 1995年，美國數學協會在國家科學基金資助下成立了數學史及其在教學中的應用研究所（Institute on the History of Mathematics and Its Use in Teaching）專門致力于研究如何將數學的歷史運用于課堂教學. 筆者基于數學史設計執教的研討課例《等差數列的前n項和》在近日“寧波市特級教師協會學術基地支教活動”中得到了與會教師的一致好評，也引發了關于數學史融入數學課堂教學的熱烈探討.

下面是這節課的三個教學片段實錄（學生來自于區內二類學校生源相對較好的班級）.

片段1：情境創設，古跡名人激發數學學習興趣

師：（播放印度泰姬陵圖片）大家認識這個建筑及背后的故事嗎？

生：印度泰姬陵，是皇帝為紀念愛妃所建.

師：沒錯. 印度泰姬陵坐落于印度古都阿格拉市，是17世紀莫臥兒帝國皇帝沙賈汗為紀念愛妃所建. 它宏偉壯觀，是印度古代建筑史上的經典之作，是世界七大建筑奇跡之一. 這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風格，是印度伊斯蘭教文化的象征.陵墓主體由純白大理石砌建而成，陵寢內部以寶石鑲嵌. 傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（如圖1），非常奢華. 你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？

師：把這個情境抽象出數學問題即問題1：1+2+…100=？

生（不假思索）：5050.

師：怎么算？

生：高斯算法.

師（投影高斯圖片）：高斯為什么這么算？你是怎么想的？

生1：1+100=2+99=3+98=…=55+56=101. 兩兩配對，一共50對. 所以101×50=5050.

師：非常好. 大家想過為什么這樣兩兩配對嗎？

生2：首尾配對后就變成相同的數，把100個不同數的和變成為50組相同數的和.

師：（PPT上投字“不同數的求和問題→相同數的求和問題”）對，這樣處理的關鍵是把一般（不同數的求和）化歸為特殊（相同數的求和）.

師：高斯10歲的時候，解決了這個問題. 高斯是德國的數學家、物理學家和天文學家. 他和牛頓、阿基米德被譽為有史以來的三大數學家，有“數學王子”之稱. 高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、復變函數和微分幾何等方面都做出了開創性的貢獻. 他的榮耀有以他名字命名的物理學上磁場的計量單位，月球上的坑洞、小行星1001號的名字. 現在有很多人會的尺規作圖的方法，也得益于高斯做出的貢獻. 雖然正十七邊形的做法只需一頁篇幅就能完成，但其中所需要的努力和付出是巨大的. 高斯曾說：“你們看到我書上某些地方只有那么幾行，但是我卻花了幾年的時間才完成的. ”就算是高斯如此有天賦之人，要想取得很大的成就，也必須不斷地堅持和付出. 他62歲開始學習俄文，并達到能用俄文寫作的程度. 高斯的故事激勵我們做任何事任何時候開始都不晚，但是一定要堅持不懈地努力.

設計意圖：（1）泰姬陵的引入是將文化氛圍濃重的“古跡”融入課堂教學中，使原本枯燥、抽象的數學知識變得生動形象，饒有趣味. 筆者執教的是陌生學校的學生，這樣的引入一下子拉近了師生之間的距離，減少了陌生感，使得學生對下面的學習有所期待，后續課堂互動非常融洽. 另外，等邊三角形的圖案也是整堂課中從“形”的角度來突破“倒序相加”這個難點的一個工具，貫穿整堂課.

（2）教師在課堂上介紹數學家的趣聞軼事、數學概念的起源、古今數學方法的簡單對比等，都能起到激發興趣的作用. 美國數學史家瓊斯（P. S. Jones）指出：希臘著名問題，阿基米德、卡丹、伽羅瓦、高斯等人的故事，費馬最后定理等都是精彩有趣的歷史話題，能激發學生的興趣，因為學生對于人物、原因和最佳結果等有著天生的好奇心. 高斯的故事告訴學生即便天賦異稟如高斯，也需要付出巨大的努力才能取得如此的成就，對學生的人格成長產生了積極的啟發作用.

片段2：公式探求，古今對比拓寬視野欣賞文化

師：我們把剛才的問題拓展一下，來研究下面這個數式的和. 問題2：1+2+3+…+n =？

生：.

師：很棒，完全正確，大家是怎么得到答案的？

生3：1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=…，一共有組.

師：同學們覺得對嗎？

有些學生說對，有些學生有點疑惑，有些學生說不對.

生4：如果n是偶數，就對. 如果n是奇數，就除不盡了，就不對了.

師：很好. 這位同學非常嚴謹. 現在大家兩兩一組，來探求一下這個和是怎么得到的. 有沒有簡潔明了的好辦法？

學生先自己推導，然后相互交流. 筆者在巡視課堂中，得到如下三種解法：

師：（投影圖2）

生5：當n是奇數時，我把中間一項留下，其他首尾配對，一共有對，化簡后得到結果.

師：非常準確. 該同學用到了分類討論的思想. 當n是奇數時，是否只能留下中間項？

生6：可以留下最后一項.

生7：可以前面補一項0.

生8：可以留下第一項.

師：大家思路都非常開闊，我們這么做的目的是——

生9：配湊成相同數的和，而且能計算對數.

師：對，剛才在計算1+2+…+100時也是這么處理的，只是現在要分奇偶討論. 有沒有更簡便的方法？（出示圖3）

生10：我把1+2+3+…+n倒個序，變成n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，分別記成S，再把兩個式子加起來，除以2，就得到1+2+3+…+n的和.

師：非常好，為什么要倒個序？

生10：可以一組組配對，變成相同數n+1的和.

師：比剛才的解法優越在哪里？

生10：避免了分類討論.

師：倒個序，再把兩個式子相加就得到所要的結果. 我們應該給這么好的方法起個名字，叫什么呢？

生：倒序相加法.

師：好，我們再請這位同學來解釋一下他的解法. （出示圖4）

生11：我把1+2+3+…+n求和看成是一個三角形，和剛才的寶石圖案一樣，第一層1顆，最后一層n顆，共有n層. 倒置一個同樣的三角形，拼成一個平行四邊形. 平行四邊形的寶石數就是n（n+1），除以2就是.

師：非常棒. 剛才兩位同學分別從數式和幾何的角度來推導了這個和. 數式上稱為“倒序相加”，幾何上稱為“倒置拼補”，其實本質是一樣的. 都是分組配對，轉化為相同數的和來處理.

師：（投影畢達哥拉斯圖片）早在公元前500多年時，希臘哲學家畢達哥拉斯就研究過這個問題. 畢達哥拉斯本人發現任何多個始于1的連續自然數之和構成一個三角形數. 在三角形數旁補一個倒立的三角形數，即可得1+2+3+…+n=.

我們對畢達哥拉斯比較了解的是“畢達哥拉斯定理”，也就是我們的勾股定理. 畢達哥拉斯學派是對形數研究最早的例子. 歷史上稱為“圖說一體”. 美國數學協會出版的《數學雜志》自1975年來一直設有“不用文字的證明”一欄，刊登有關數學公式、不等式等的幾何證明. 用一個幾何圖形進行某種數學方法的論說，數學命題的證明或數學公式的推導，是一件多么簡潔美妙的事. 你們看，我們同學已經做出如此大膽的嘗試了.

我們追尋歷史的足跡，體驗著數學家的思想，學習他們銳意進取的精神，并且能夠堅持不懈地付出努力，也許某天你就會超越他們，創造歷史.

設計意圖：（1）本節課的難點是用“倒序相加法”求等差數列前n項和的思路的獲得. 因而在課前，對于如何突破這個難點的設計是想用幾何的“倒置拼補”來類比得到“倒序相加”. 事實上，在課堂生成時，學生能夠想到倒序相加，而且把倒置拼補作為一種解法提出. “倒序相加”和“倒置拼補”的本質是一樣的，只是一個體現在數式，一個體現在圖形，他們都是手段和技巧，轉化為相同數的求和才是解決問題的思想. 因而，在一般等差數列求和公式的推倒中，就將兩者置于等同的位置，分別從數的角度和形的角度來解釋等差數列求和的方法. 同時從形的角度類比梯形面積公式的“割”“補”兩法來推導、記憶等差數列前n和的兩個公式，課堂效果非常理想. 課堂上求1+2+3+…+n的和的過程中花了大量時間來探究，這個比一般等差數列求和的探究更容易. 這個探究過程中解決了“為什么分組配對”，“為什么要倒序相加”，在一般等差數列求和中，只要解決“為什么倒序相加能轉化為相同數求和”（因為等差數列的性質）這個問題鏈，其實就解決了推導等差數列求和公式的思想精髓：“不相同數的求和”（一般）化歸為“相同數的求和”（特殊）. 而且這種思想還將在以后的求和問題中反復體現.

（2）高斯是從數式的角度首尾配對，從而引出“倒序相加”，而畢達哥拉斯是從形的角度得出“倒置拼補”. 不同時空，源于相同的思想精髓“不同轉化為相同”. 不同時空數學思想的對比有利于拓寬學生的視野，培養學生全方位的認知能力和思考彈性. 擁有數學教材中有關概念、定理、思想方法產生和發展的歷史知識，無疑會大大拓寬我們的視野，進而豐富和提升我們的課堂教學. 另外，畢達哥拉斯學派的數形理論是高中數學學習重要的思想方法，了解了理論的源頭，在學習過程中才能得以更好地應用. 歷史告訴我們：數學是全人類共同的遺產，不同文化背景下的數學思想、數學創造都是根深葉茂的世界數學之樹不可分割的一枝. 我們要以更寬闊的視野去認識并學會欣賞豐富多彩的數學文化.

片段3：例題學習，認識欣賞古代文明數學成就

PPT投影《張丘建算經》第23、22題：

（1）今有女不善織，日減功遲. 初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖. 問織幾何？

（2）今有女善織，日益功疾. 初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？

師：（朗讀一遍）“日減功遲”指每日減少的量相同. “訖”指結束. “織幾何”問一共織了多少尺. 翻譯成數學語言，用數學符號如何表示？

生12：已知等差數列{an}，a1=5，a30=1，求S30.

生13：S30==90.

（師板演）

師：非常好. 我們選擇的公式是——

生14：公式1.

師：好. 一匹四丈，一丈十尺. 請解決第二個問題. 先翻譯成數學問題.

生15：已知等差數列a1=5，S30=390，求d.

生16：S30=a1n+d=5×30+d=390，所以d=.

（師板演）

師：很正確. 這里我們選擇公式2，用方程來解決d，體現了方程思想.

師：（投影張丘建及《張丘建算經》）張丘建是公元5世紀北朝的大數學家. 中國古文物或文獻中，有關等差數列的內容十分豐富. 許多數學著作如《周髀算經》《九章算術》《孫子算經》《張丘建算經》等書都有趣味數列問題. 張丘建創始了等差數列求和的解法. 《張丘建算經》現傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數與最小公倍數的計算，各種等差數列問題的解決、某些不定方程問題求解等. 劉徽在《九章算術》中創造了我們今天推導的等差數列求和公式和兩個通項公式. 至此到五世紀，在中國傳統數學中已經具備了系統的等差數列理論. 雖然古代埃及、巴比倫、印度等許多民族也研究過等差數列，但都沒有得出比較完整的計算公式，同類結果直到七世紀才在印度天文學家、數學家婆羅門笈多的著作中出現，晚了整整三百年. 我們來看看算經中的解法. （PPT投影解法）

（1）并初、末日尺數，半之，余以乘織訖日數，即得.

（2）置今織尺數，以一月日而一，所得，倍之. 又倍初日尺數，減之，余為實. 以一月日數，初一日減之為法，實如法而一.

第一小題與我們解法一致，第二小題古人是將d=表示后代入計算的. 古文晦澀難懂，數學符號簡潔明了，且是世界通用的語言. 數學符號的應用是數學發展的標志. 當然，中國古代的數學成就在數學史上是空前巨大的，我們現在更應該傳承與發揚.

設計意圖：（1）美國學者史韋茲（F. J. Swetz）認為，用歷史來豐富數學教學和數學學習，一個直接的方法是讓學生去解一些早期數學家感興趣的問題. 這些問題讓學生回到問題提出的時代，反映當時人們所關心的數學主題. 學生在解決源于數世紀以前的問題時，會經歷某種激動和滿足. 《張丘建算經》《九章算術》里的數學問題本源于生活，數學家們解決的就是生活當中的現實問題.

（2）選用歷史題作為例題，不僅僅是公式的變化應用，也讓學生了解了數學史中等差數列的發展，引發學生用所學的知識對前人的解法進行思考與探究，激發興趣. 中外等差數列在不同歷史時期的發展現狀與比較，有助于學生全面了解相關知識，對學生的數學史觀產生影響. 當我們把多元文化引入數學課堂時，我們會發現，“誰比誰早多少年”已經不是最重要的，最重要的是這會讓我們的學生消除民族中心主義的偏見，以更寬闊的視野去認識古代文明的數學成就.

（3）培養學生的數學建模能力（從具體背景中提煉出數學信息，用數學符號來表示，將實際問題轉化為數學問題的能力）. 數學符號是世界通用的語言. 數學符號展現了數學的簡潔美.

本節課是一堂公式教學課，在推導公式的過程中，抓住了兩個重要思想：從特殊到一般的探究思想，及從一般到特殊的化歸思想. 從特殊到一般設計了三個問題鏈：

問題1：1+2+…100=？

問題2：1+2+3+…+n =？

問題3：如何求等差數列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an.

一般到特殊的化歸思想揭示了本節推導等差數列前項和公式的思想精髓：將“不相同的數求和”化歸為“相同數的求和”. 這中間，穿插了三段古今中外、不同時空的數學史材料，使得在較好地完成教學目標的同時，豐富了數學課堂. 數學教學過程中，課堂氣氛異常活躍，學生參與度極高. 數學史激發了學生學習數學的興趣，對學生的人格成長產生了啟發作用. 不同時空數學思想的對比有利于拓寬學生的視野，培養學生全方位的認知能力和思考彈性，也讓學生了解了數學的多元文化的意義.

數學特級教師馮斌老師在評課中肯定了本節課的設計與教學效果. 但她同時指出，與另一節同課異構的課相比較，這節課少了點“數學味”. 馮老師提出了一點思考：數學文化滲透的適度問題.

數學史融入數學教育是一項大的課題. 如何將數學史融入數學教學，主要有兩種方法：一是直接法，即歷史材料的直接利用. 二是注入歷史的教學法——發生教學法. 簡單地說，就是“借鑒歷史設計一個話題的教學方法”. 本堂課所采用的就是直接利用歷史材料. 在一節40分鐘的課中用什么歷史材料，怎么用，用在哪里，用多少時間，使得這節課是既有歷史味，又有數學味的數學課，值得我們大力思考和研究.