例談數形結合思想在數學解題中的應用

例談數形結合思想在數學解題中的應用

☉江蘇省常熟中學 曹正清

數形結合思想指的是通過“以形助數”或“以數解形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性）的方式，把抽象的數學語言與直觀的圖形語言聯系起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來分析，力求在代數與幾何的交匯點處尋求解題思路，進而解決問題的一種數學思想.本文以舉例的形式分類探索數形結合思想在解題中的應用.

一、數形結合思想在“函數的零點”中的應用

近年來高考對“函數的零點”內容的考查比較穩定，大都需要結合圖像，數形結合地解決問題，因此我們有必要讓學生發揮函數圖像的作用，以形示數，數形結合，解決有關方程根的個數問題.

例1若關于x的不等式（2x-1）2＜ax2的解集中的整數恰好有3個，則實數a取值范圍是_______.

分析：對不等式（2x-1）2＜ax2的理解：①化歸為不等式，但需要討論變量x和參數a的范圍；②化歸為基本函數，利用函數圖像處理問題.下面利用數形結合，用基本函數圖像研究解的個數.

方法1：設f（x）=（2x-1）2，g（x）=ax2.

當a=0時，y=g（x）表示x軸，舍去.

當a＜0時，y=g（x）表示開口向下，對稱軸為y軸的二次函數圖像，舍去.

當a＞0時，y=g（x）表示開口向上，對稱軸為y軸的二次函數圖像，由ax2＞（2x-1）2，得g（x）＞f（x），即恰有3個整數x值，使得g（x）的圖像在f（x）圖像的上方，

圖1

方法2：研究不等式ax2＞（2x-1）2.

當x=0時，不滿足舍去；

圖2

方法3：研究不等式ax2＞（2x-1）2，

當x=0時，不滿足舍去；

圖3

方法4：研究不等式ax2＞（2x-1）2，由題意可知，a＞0.

當x=0時，不滿足舍去；

對于幾何法更要通過化歸轉化為基本函數，并利用函數圖像解決問題.在方法1～4中，化歸程度層層遞進，化歸得越徹底，得到的基本函數圖像越容易，解答也就越簡單.函數不斷等價轉化的過程，正是數學思維力的體現.

圖4

二、數形結合思想在“不等式”中的應用

近年的高考強調考查不等式基礎知識的同時也很注重數學能力的考查和數學思想方法的應用，其中數形結合思想方法的應用不可忽視.所以在不等式的教學或復習中要有意識注意數形結合思想方法的滲透.

例2設f（x）和g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（-3）= 0，求不等式f（x）g（x）＜0的解集.

解：根據以上特點，不妨構造F（x）=f（x）g（x），符合題意的函數F（x）=f（x）g（x）的圖像（如圖5所示），

由圖直接觀察出所求解集是（-∞，-3）∪（0，3）.

圖5

三、數形結合思想在“線性規劃”中的應用

線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值問題，從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用.運用數形結合思想考查化歸轉化能力、邏輯思維能力，是函數教學中的一項重要內容.

圖6

圖7

圖8

四、數形結合法在解三角形中的運用

例4設（fx）=sinxcosx-cos2（x+）.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f）=0，a=1，求△ABC面積的最大值.解：（1）略.（2）由題意，sinA=，a=1，A=，且△ABC的外接圓直徑為a=2. sinA

如圖9，取BC=1，其中A1C，A2B為外接圓直徑，據題意頂點A在（不包括端點）上運動.

圖9

本題的參考答案是根據余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后利用面積公式求其最值，方法常規.但本題若選擇采用以上圖解法思考，會大大簡化運算過程并且提高正確率.

五、數形結合思想在“點到直線的距離公式”中的應用

例5已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.

本題直接求解較難，若能聯想點到直線的距離公式，數形結合，以形助數，則更簡潔.

圖10

六、數形結合思想在“解析幾何”中的應用

例6已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為______.

解：點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線的準線的距離之和也取得最小值，這樣就可以把點P到拋物線的焦點的距離轉為到準線的距離求出.點Q（2，-1）在拋物線y2=4x的內部，要使點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值，根據拋物線的定義知，須使點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線準線距離之和取得最小，即PQ⊥準線l時最小，如圖11，則P.拋物線的定義是到焦點的距離等于到準線的距離，做題時常常用定義進行轉化.

圖11

七、數形結合思想在“三角函數”中的應用

在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線、余弦線、正切線，并利用三角函數線可作出對應三角函數的圖像.如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數線，應用它解決三角不等式問題，簡便易行.

例7解不等式|cosx|＞|sinx|，x∈［0，2π］.

從不等式的兩邊表達式我們可以看成兩個函數y1= |cosx|，y2=|sinx|，在［0，2π］上作出它們的圖像，得到四個不同的交點，橫坐標分別為：，而當x在區間）內時，y=|cosx|的圖1像都在y2=|sinx|的圖像上方.所以可得到原不等式的解集為：

圖12

八、數形結合思想在平面向量中的運用

平面向量，它具有“代數形式”和“幾何形式”的雙重身份，因此在解平面向量的相關題目的時候務必想到數形結合的方法，構造出符合題意的圖形，具體問題具體分析.

例8已知點A，B，C在圓x2+y2=1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標為（2，0），則的最大值為_____.

解：如圖13，因為點A，B，C在單位圓x2+y2=1上，AB⊥BC，所以AC是直徑

圖13

本題以單位圓為載體，考查平面向量及最值的求解，構造出符合題意的圖13是解決該題的關鍵.本題還可以用三角函數換元來做，但不如數形結合法來得輕松.

數形結合思想說到底就是要求學生體會不同知識之間的內在聯系，加強對知識的綜合運用，能夠把所學的知識融會貫通，其目的不單單是追求解題技巧，而是更加關注學生對數學概念、數學本質的理解、數形結合思想的領悟，讓學生的思維更加廣闊，解題更加富有靈活性.這也是筆者寫本文的目的.