系統(tǒng)思維和逆推思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探索

楊紅莉+曾憲陽

（1.南京工程學(xué)院數(shù)理部，江蘇 南京 211167；2.南京工程學(xué)院工業(yè)中心，江蘇 南京 211167）

摘要：高等數(shù)學(xué)是高校基礎(chǔ)課程之一，其學(xué)習(xí)的核心不僅在于知識的掌握，更在于思維方式的學(xué)習(xí)。系統(tǒng)思維和逆推思維的應(yīng)用不僅能提高高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，也可幫學(xué)生更好的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識。文中結(jié)合本人教學(xué)實踐，探索教師在教學(xué)及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中應(yīng)如何具體應(yīng)用系統(tǒng)思維和逆推思維。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)思維；逆推思維；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)實踐

中圖分類號：O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）52-0190-02

一、引言

為什么我們的學(xué)校總是培養(yǎng)不出杰出人才？距離錢學(xué)森之問，已俞一旬，國內(nèi)教育已經(jīng)取得了可喜的進(jìn)步與成就。然而，尚有某些地方有待優(yōu)化。正如國外某知名大學(xué)的校長所說，中國留學(xué)生們勤奮是有的，創(chuàng)新也不缺，可有一點，很令人感到遺憾，那就是中國留學(xué)生們，不敢質(zhì)疑教授，遑論與教授爭論。質(zhì)疑是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的起點，古人云：“學(xué)貴多疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”，由此可見一斑。而令人遺憾的是，質(zhì)疑精神的確為現(xiàn)代學(xué)生所欠缺，實際教學(xué)經(jīng)歷也印證了這一點。學(xué)生們大多沉默地聽講，鮮有提出不同見解的。基于當(dāng)前這些現(xiàn)象，本文將論述兩種思維方法——系統(tǒng)思維和逆推思維，希望能對高校教師教學(xué)有所襄助，對莘莘學(xué)子學(xué)習(xí)有所裨益。

二、系統(tǒng)思維及其應(yīng)用探討

通俗地說，系統(tǒng)思維就是將所學(xué)習(xí)的內(nèi)容按并列、從屬等關(guān)系分類、歸納并總結(jié)后，創(chuàng)建一個知識體系。分類的過程類似于將發(fā)到手的牌按一定順序整理好的過程。對知識分類之后歸納總結(jié)的過程則仿若插花。不同種類的花，經(jīng)由心靈手巧的插花人妙手撥弄，無形之中形成了一種藝術(shù)美，繽紛而又融洽。無論是教還是學(xué)，善學(xué)善思者，美甚矣。然而知識的浩瀚繁復(fù)，不由得對這種插花似的整理過程的要求高了起來。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，稀里糊涂地規(guī)避可能的陷阱，跌跌撞撞地前進(jìn)，讓很多學(xué)生感覺到深深的疲倦和勞累，遑論對高等數(shù)學(xué)這門課程產(chǎn)生熱愛與激情了。質(zhì)疑教授乃至于與其思維碰撞產(chǎn)生火花，更加是不可能的了。

1.系統(tǒng)思維，輔助工具。系統(tǒng)思維最常見的表達(dá)形式有流程圖、思維導(dǎo)向圖等。高等數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高級階段，本身也是一個有機(jī)的整體，它的各個章節(jié)或概念之間有深層且密切的聯(lián)系，使用思維導(dǎo)圖可以讓這些關(guān)系自然彰顯。一個最簡單的思維導(dǎo)向圖是“等價無窮小”什么時候易出錯，及出錯的原因。

2.系統(tǒng)思維，在于理清脈絡(luò)，不重不漏。高校教師們常常是根據(jù)知識點之間的邏輯順序進(jìn)行備課及授課的，在講課的過程中，知識的樹從無到有，從輪廓到細(xì)節(jié)，逐步細(xì)化逐步充實。然而也正因如此，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常會顧此失彼，有的知識掌握不牢固，甚至可能現(xiàn)學(xué)現(xiàn)忘。在講課的過程中，教師要及時了解學(xué)生的困惑，幫助學(xué)生用精煉的語句準(zhǔn)確的表述其困惑，最終拋出問題，以引導(dǎo)學(xué)生們思索。我們教育工作者需要激勵學(xué)生們進(jìn)一步思考，以建立一個更完善的知識體系，提高學(xué)習(xí)效率。在我們教育工作者潛移默化的影響下，學(xué)生漸漸有能力且有興趣主動思索，提出問題，乃至可以就某些知識點與教師進(jìn)行持久深刻的探討和爭論。毫無疑問學(xué)習(xí)效率高的學(xué)生，往往是運用系統(tǒng)思維學(xué)習(xí)的佼佼者。授人以魚，不如授人以漁。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰也認(rèn)為，“教育的宗旨不在于把盡可能多的東西教給學(xué)生，取得盡可能大的效果，而在于教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)發(fā)展自己，以及離校后繼續(xù)發(fā)展。”因此在教學(xué)中，除了教會學(xué)生基本數(shù)學(xué)知識外，更重要的是教學(xué)生學(xué)習(xí)方法，同時培養(yǎng)其創(chuàng)新思維能力。

3.系統(tǒng)思維，用于串聯(lián)章節(jié)，引導(dǎo)思維。教師們通過有意識的應(yīng)用系統(tǒng)思維教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動思考，可以幫助學(xué)生及時串聯(lián)章節(jié)并作出系統(tǒng)的歸納。以極限為例，我們知道極限是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)乃至積分學(xué)中的基礎(chǔ)，舉足輕重，我們可以引導(dǎo)學(xué)生們應(yīng)用系統(tǒng)思維把所有求極限的方法串聯(lián)起來。

三、逆推思維及其應(yīng)用探討

教師在教學(xué)過程中應(yīng)該善于把握理論闡述與實際應(yīng)用之間的關(guān)系，盡可能讓學(xué)生們在理解理論的同時，具備解題能力和實際應(yīng)用能力。而在這過程中，逆推思維有著不可取代的地位。因為不論做什么，總有可能遇到瓶頸，停滯不前。此時可以鼓勵學(xué)生先換個思路解出結(jié)果，然后嘗試反向的推理，在曾經(jīng)難以寸進(jìn)的地方，找出先前理解上的誤區(qū)，從而修正錯誤。這就是逆推思維，它類似于中醫(yī)學(xué)望聞問切里的望，由已經(jīng)出現(xiàn)的征兆，推斷成因。

1.逆推思維，在于執(zhí)果索因、排錯解惑。教師在平時的教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生們嘗試使用多種方法求解同一道題，讓他們體會到數(shù)學(xué)殊途同歸的美。各種方法之間優(yōu)劣互補(bǔ)、相得益彰，就像七色花，風(fēng)姿綽約，讓人移不開眼。數(shù)學(xué)的瓊包就這樣在學(xué)生的細(xì)細(xì)思索中靜靜開放，馥郁芳香。逆推思維在于執(zhí)果索因，但因果之間的聯(lián)系也往往不是釣魚，一魚餌對應(yīng)一條釣上的魚那般簡單。實際應(yīng)用時，常有看似同類，解法各異的題目，如同有些病癥看似相同，由于其發(fā)病機(jī)理不同，用藥也當(dāng)有所區(qū)別。思維訓(xùn)練得到加強(qiáng)，解題能力自然會提高，在此基礎(chǔ)上，還需教師設(shè)計較多的具有啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維的練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生思維方式的形成。為了讓學(xué)生更好的區(qū)分易混淆的知識點，教師可以準(zhǔn)備一些代表性的題目，讓學(xué)生對比訓(xùn)練，使其在比較中學(xué)會分析，在比較中學(xué)會判斷，在比較中掌握方法。

2.逆推思維，用于理清思路。精于逆推思維的人，不僅可以從題目中看到所需的知識點、出題人的意圖，還可以舉一反三。當(dāng)學(xué)生們精于此道時，便可撥開迷霧，有的放矢，不斷的成功能增強(qiáng)學(xué)生自信，遇到困難就不會如從前一般輕易放棄，從而構(gòu)成一個良性循環(huán)。科學(xué)研究中所需要的韌性便這樣逐漸的形成。當(dāng)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有知識無法解答問題時，可在矛盾問題可拓模型基礎(chǔ)之上找出核心問題，然后實施逆向變換，進(jìn)而獲得逆向策略集，再以逆向變換引起的傳導(dǎo)變換的最終效應(yīng)，去評價逆向策略的優(yōu)劣性，最后選出滿意的策略，去解決最初的矛盾問題。

3.逆推思維，用于推理論證。逆推思維可以用來排除一些錯誤，也可以用來嘗試證明一些結(jié)論。用逆推思維來證明某個結(jié)論很好理解，至于寫推理過程時，就可以不按逆向思維來寫，以彰顯各個結(jié)論間的因果先后關(guān)系。證明題考的往往是知識的聯(lián)系與實際應(yīng)用。很多同學(xué)看到答案，常常會感嘆，這題原來這么容易，自己居然沒有想出來，而悔恨懊惱。證明題是最有可能多解，也是最有可能用到多章節(jié)不同知識的題目。因此，證明題的難度較大，常放在試卷最后幾題。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，還可從其他方面進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練。即，注意闡述定義的逆向使用；注意公式及定理的逆向使用；對問題的常規(guī)解法進(jìn)行反向思考；注意采用反證法等。

四、結(jié)論

系統(tǒng)思維和逆推思維只是思維世界的冰山一角，不論我們是嘗試解決何種問題，最好能做到大處著眼，小處著手，因時制宜，因事制宜，行于所當(dāng)行，止于所不可不止。可用且的確大有裨益、省時省力的情況大膽使用這兩種思維，此即行于所當(dāng)行；沒有必要乃至有可能阻礙目標(biāo)達(dá)成時能果斷放棄，此即止于不可不止。

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