線性代數課程內容及局部體系教學改革思考

譚玉順

【摘要】本文針對當前非數學專業線性代數課程建設的實踐教學現狀，按照“教育數學”的理念，分析了線性代數的數學思想，對線性代數教學內容、局部體系、教學方法等方面的改革進行探討，其宗旨是從整體上把握線性代數課程的主線和核心，提高線性代數的教學效果，最后結合教學實踐簡要介紹了提高教學效果的一些做法和體會.

【關鍵詞】線性代數；數學思想；教育數學；教學改革

【中圖分類號】G642 【文獻標志碼】A

線性代數是高等學校經濟、管理和理工科等有關專業的一門重要基礎課，在培養學生數學素質和數學能力等方面起著重要的作用.近十年來，由于信息條件下新的教學方法的出現，教學改革也在不斷地深入，已經逐步涉及對傳統的教學模式、教學內容的改革.

為適應新的變化以及教育數學發展的總體目標，促進學科交叉，提高學生數理與數量分析能力，同時滿足學生自身興趣和發展方向的個性化需求，線性代數課程教學有必要在課程建設方面，對教學內容和教學方法進行大膽的創新嘗試和改革.近年來，我們針對財經類學院的學生，加強線性代數內容、局部體系教學方法改革的研究，并進行了初步實踐，取得了一些成果，正努力把線性代數課程打造成一門精品課程.

一、按照教育數學的理念，探討線性代數的數學思想

在數學教學的過程中，其核心問題之一是將數學思想方法滲透到教學過程當中.數學思想是數學不斷發展過程中逐步產生的，它是學習數學的人所具有的一種基本的思維特征，可以歸納為三種基本思想：抽象、推理和模型.

數學抽象包括數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象，通過抽象，把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學研究的對象.線性代數課程中存在著大量的概念.概念是線性代數的法、線性代數的魂，在教學過程中，教師要在概念的含義上下功夫教，要用形象的語言解釋概念，學生要在概念理解的基礎上準確地表達概念，不能死記硬背.

數學問題通過推理，得到數學的命題和計算方法，促進數學內部的發展.數學推理存在有兩種形式的邏輯推理，一是歸納推理，一是演繹推理.歸納推理是一種從特殊到一般的推理；演繹推理是一種從一般到特殊的推理.線性代數課程中存在大量的定理、命題，比如向量的線性相關、極大無關組等內容涉及向量線性相關、線性無關的判斷，向量組線性相關與方程組解的關系等，在教學過程中可以根據學生的實際選取部分內容訓練學生的推理能力.

數學模型更側重于用數學的概念、原理和思維方法描述現實世界中的那些規律性的東西，數學模型構建了數學與現實世界的橋梁.數學工作者在構建數學模型和實際應用的過程中，促進數學自身的發展.不少教材在線性代數內容如矩陣、向量、二次型等給出一些例子，設計到信號處理、在密碼設計、電路、統計、經濟管理等各個領域，這些科學或生活中的真實案例有助于激發學生的學習積極性和創造性，提高學生的理論聯系實際的能力.

二、按照“教育數學”的理念，探討線性代數教學內容和局部體系改革

目前，大多數大學的線性代數的教學內容基本相同，主要內容涉及行列式、矩陣、向量的相關性、線性方程組、特征值和特征向量、二次型等六大塊，一些重點大學的內容可能會更多一點，這既是線性代數本身的基本內容所決定，也與教學指導委員會對線性代數課程的教學要求和碩士研究生的入學考試內容相一致.

按照“教育數學”的理念，要從學生的實際情況著手，對線性代數知識在局部體系結構的簡約和教學的有效性作一些改革，力求呈現科學的邏輯體系、簡單明了的內容、學生易于接受的講授方法，進而優化線性代數的概念、原理和方法的表述方式，化解線性代數的教學難點，向學生傳授系統的、優化的線性代數知識.

（一）關于行列式

行列式的定義采用歸納法進行講述，即先給出二階、三階行列式的定義，然后利用行列式的第一行（或第一列）展開歸納定義行列式，進而利用歸納的思想給出n階行列式的概念.并用歸納法證明了轉置行列式的性質和展開定理，接下來，學生掌握了行列式的展開定理后，對行列式的其他性質就易于推導和掌握.

在行列式計算中，一些特殊的行列式要用到特殊的一些技巧，在傳統的教學中特別重視這些技巧的使用，當下線性代數課程應該利用新的計算技術，增加數學軟件（Matlab、Mathematics）的實驗課很有必要，圍繞線性代數的教學內容來介紹如何使用這些數學軟件解答相關的問題.

（二）線性方程組

盡早建立線性方程組的理論，將向量組相關性理論、線性方程組理論、矩陣理論與行列式理論充分結合，用定理形式建立一系列等價命題，易于理解和掌握.這些理論建立起來后，可以介紹矩陣可逆的一些等價命題：①A是可逆的；齊次線性方程組AX=0只有零解；②非齊次線性方程組AX=b有唯一解；③A與I行等價；④A可表為有限個初等矩陣的乘積.這樣，這些被零散地、一個個地分布在教材的多處章節的結論就充分地聯系在一起了.

（三）關于Jordan標準形的問題

Jordan標準形在科學技術中的重要應用，是計算方法、控制理論等許多后繼學科的理論基礎，也是本科教學當中的一個盲點，在很多高校的教學中基本不講.對于理工科專業的學生，有必要讓學生了解Jordan標準形的存在性、唯一性是什么，怎么求的，以簡介的形式教學，可以省略證明.

（四）關于線性代數課程內容的主線

線性代數的起源之一是線性方程組，線性方程組幾乎貫穿于線性代數教學內容的始終，可以說線性代數本身幾乎所有的內容都與線性方程組有關，如向量組的線性相關性，從解線性方程組的角度看，背景就是去掉多余的方程；抽取線性方程組中的未知變量即為矩陣；行列式用于解決特殊的線性方程組和方程組解的結構；特征值和特征向量也是用線性方程進行求解的；二次型本身包含線性方程組的部分.除了這些外，還有很多例子.線性方程組的實際應用非常廣泛，因而其解的結構和求解是線性代數教學中的一條主線.

（五）關于線性代數課程內容的核心

線性方程組的核心在于矩陣的對角化（更廣義一點來講是矩陣的上三角化），線性方程組的求解、行列式的計算、方陣求逆、矩陣求秩都是利用矩陣的初等變換將其換成上三角矩陣或者對角矩陣，另外，相似矩陣的標準形、對稱矩陣的正交矩陣、合同矩陣、化二次型為標準形都離不開矩陣的對角化.在線性代數的教學過程中要依照其主線講清楚它的核心和主要方法，即前面提到的數學思想.

三、按照“教育數學”的理念，探討線性代數教學方法改革

（一）線性代數與解析幾何相結合是可取的做法

事實上，非數學類沒有專門開設解析幾何這門課程，解析幾何內容不是放在線性代數就是放在微積分中講，當然兩者的側重點有所不同，向量、直線與平面的內容與線性代數結合很自然，對線性代數和幾何的融會及相互影響是有利的.如果在教學過程中能將線性代數中內容與解析幾何相對應，將會大大提高學生對于代數內容的理解能力.

比如在介紹行列式時，就以二階行列式為例，介紹如何從幾何角度去理解它的行列式的定義，將二階行列式的計算同平行四邊形的面積計算相結合，通過引入有向面積，分析研究行列式的相關性質，這樣一來有些性質就可不證自明.

（二）關于線性代數的計算技巧的問題

計算能力是重要的數學能力之一，在一定程度上培養學生的計算思維，隨著現代計算工具的發展，計算問題不再是我們重點考慮的，因此在教學過程中我們不能過于強調手工計算的技巧.當前如果學生在學完線性代數后只會矩陣的初等變化、行列式的計算，那么線性代數的教學不能算是成功的.現在計算軟件matlab、mathematics只需一個命令即可完成這些計算.

（三）關于教學內容講授順序調整

當前國內大多數教學內容安排為行列式、矩陣、向量與向量空間、線性方程組、特征值與特征向量、二次型，一些教材會安排線性變換的內容，一般會安排在二次型之后，這是因為傳統矩陣秩的定義離不開矩陣的行列式，故一般將行列式安排在第一部分，但是行列式的傳統定義對于初學者而言又較難接受.作者近年來經過嘗試，更傾向于這樣的教學順序，即先介紹線性方程組，然后介紹矩陣、矩陣初等變換、矩陣分塊等，然后根據矩陣等價標準形的唯一性給出矩陣秩的概念.接下來介紹線性相關、向量組的秩，再完成線性方程組的解的理論.

四、線性代數課程提高教學效果的思考

1.注重數學思想和數學能力的培養和提高.靈活的教學方法是關鍵，改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調形成積極主動的學習態度；使學生熟練掌握線性代數的基本思想和基本知識與技能，加強課程內容與學生所在專業的其他課程的聯系.

2.開展研究性教學嘗試，注意創造性與開放性思維的培養.在教學的過程中，教師要引導學生思考學習，充分保證學生的主體地位，處理好傳授知識與培養能力的關系，促進學生主動地、富有個性地學習.比如將實際生活中的一些問題作為實驗例子讓學生建立數學模型，并結合數學計算軟件讓學生得出一些結果，這樣更能促進學生的創造性思維.

3.在教學的“過程與方法”上，應從概念的建立過程，相關原理、規律的發現與認識過程，以及概念、定理、性質的應用過程上思考與實踐，讓學生真正感受到獲取知識、應用知識的樂趣，意識到科學思維方法和科學探究方法的意義和價值，并在具體學習中有所體現，進而逐步形成自覺的行為.

4.在教學過程中不過度依賴PPT，要多媒體教學與板書有機結合，尤其是在講解例題推導過程中.通過板書有助于突出重點，使學生加深印象.

5.重視在線學習平臺輔助教學.隨著科學技術的進步，特別是網絡技術、信息化教學的飛速發展，知識的傳播、獲取知識的方式、途徑越來越廣泛，這對傳統的教學模式和教學手段都會產生很大的影響和深刻的變革，特別是對學生的學習方式將會產生前所未有的影響，在這種情形下，教學過程中學生的主體地位和能動作用將更加突出.以MOOC（慕課）為代表的國內外在線開放課程，不僅為廣大學習者提供了免費、便捷的在線學習課程，也推動著高校在課程建設、教學方法和教學模式等方面的改革.這些在線教學平臺的建設，極大地豐富了教學的呈現形式，是對傳統教學的有益補充，在一定程度上提高了教學資源的使用效率，提高了教學質量和教學效果.

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