發揮課本習題一題多解大作用

☉江蘇省昆山中學 金巧根

發揮課本習題一題多解大作用

☉江蘇省昆山中學 金巧根

教材是知識的本源，萬變不離其宗.如何深入地挖掘教材，使教材為教學服務呢？我覺得應該重視教材知識，重視教材上的題目，一題多解，題盡其責，把教材的作用展現得淋漓盡致！下面例舉教材幾例談談一題多解的作用.

例1如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，且AC=2，AB=3，∠A= 60°，求AD的長.

解法一：①△ABC中，已知兩邊及夾角，余弦定理求出BC=；

圖1

評析：此方法按部就班，屬于典型的通性通法，值得提倡.

解法二：①如圖2，由D向AB，AC作垂線，垂足分別為E，F；設AD=x，

圖2

②由等面積法知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

此題并沒有用到所學的正、余弦定理，其中的面積公式不學這章內容也可以推導出來，巧妙地運用了等面積法，使得本來計算量很大的題目簡單化，體現了思維的開拓性及知識的系統性，不被所學內容禁錮，實屬妙法！

解法三：①如圖3，延長AD，由B，C分別向AD及其延長線作垂線，垂足分別為E，F；

②AE=ABcos30°，AF=ACcos30°，EF=AE-AF；

圖3

④AD=AF+DF.

評析：此法屬于應用平面幾何的知識，加上新知識——角平分線的性質對題目進行處理.

解法四：①如圖4，作CE∥DA，交BA的延長線于點E；

圖4

③△ACE中已知兩邊及夾角，余弦定理求得第三邊CE；

評析：此法輔助線作得很好，構造了相似三角形，只用了一次余弦定理，計算量大大減少！

評析：此法看似要用兩次正弦定理，但是只需列式，不需計算，第三步兩式相除后，運用角平分線的性質可知比值的大小，而不用去求這兩個值，也就是只有最后一步需要代入數值計算，而且此法是完全應用本章所學知識進行解決.

解法六（學生錯解）：①△ABC中，已知兩邊及夾角，余弦定理求出BC=；

③在△ABD中，已知兩邊及一對角，用余弦定理列方程組，解出兩解

分析：由圖5可見已知兩邊及一對角有兩解，原題中是較小的一解；若由△ACD中用此方法解也會出現兩解，由圖看，應取較大的一個.所以此解法更正如下：

圖5

④在△ACD中，已知兩邊及一對角，用余弦定理列方程組，解出兩解：

評析：此法很容易出錯，基礎訓練上的一個選擇題的錯誤選項就是應用此法的錯解得到的，加上上述更正后，雖然能做出正確答案，但是要分別在兩個小三角形中應用余弦定理，計算量大，所以此法不宜使用！

例2如圖6，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點.求證

圖6

在教學向量加減法的時候，引導學生探索如下證法一：

此法讓學生欣賞在EF左右兩側的圖形中，向量和的勻稱美.

證法二：如圖7，過F點作MN與AD平行且相等，F為MN的中點，則四邊形AMFE和EFND為平行四邊形而△BMF≌△CNF，從而得出即

圖7

圖8

在此法的基礎上進一步引導，所要求證的結論符合運用“三角形中線向量定理”特征要求.可以通過直接將平移得到“三角形中線向量定理”的基本圖形.這樣就得到如下證法：

證法四：如圖9，過點B作BM∥AE，過點E作EM∥AB，BM∩EM= M，則四邊形ABME為平行四邊形，連接MF并延長加倍至N，連接CN，EN，得到△BMF≌△CNF，進一步CN和DE平行且相等，故四邊形CNED為平行四邊形

圖9

圖9

圖10

又因為F為BC的中點，所以MF為△BNC的中位線.

例3過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于A，B兩點，點A在x軸的上方，求的值.

評析：此方法是教參給出的方法.

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），則由題意知，

因為Δ=8p2＞0，所以

評析：此方法是運用了直線和拋物線的位置關系來解決.還可以解決下面的變式題：

過拋物線y2=4x的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，點A在x軸的上方，若=3，求直線l的方程.（解答略）

解法三：由拋物線的定義，可推出焦半徑用直線的傾斜角θ表示的公式：

此方法是結論性的方法，可以解決高考題中的選擇、填空題.在教學中，作為教師要勤于思考，潛心研究，發揮好一題多解，多題歸一的教學作用，培養學生的思維發散性及主動性，進一步提升學生的思維品質，提高學生的數學素養.

一題多解及解后反思屬于數學學習反思的一個重要方面.目前，學習過程中普遍存在的一種現象是“學數學=做題目”“完成作業=完成學習”，這使得學生的數學學習走入一個怪圈.學會反思或許是破解這種困局的方法之一.每當學習一個例題或完成一道習題的解答，就可以及時反思解答過程有沒有遺漏，還有沒有不同的方法，這道題與之前的哪個問題有聯系，能否將這個問題應用到其他問題，等等.筆者通過引導學生對教材中的這道習題進行研究，不僅增加了學生探究的機會，拓展了研究空間，更讓我們發現此題內涵雋永，耐人尋味，進一步領會到教材編寫者的意圖，挖掘出教材習題的潛在價值.在解題時既能使學生獲得基本的知識和技能，也能進一步激發學生的學習興趣，發展學生思維能力，“尋思求百通”，這才是解題“反思”的教育教學價值之根本所在.

教材是新課程標準先進理念的具體體現，是實現課程目標、實施教育教學的寶貴資源，而教材習題是教材的重要組成，在促進學生理解概念、鞏固知識、形成技能、發展思維等方面有著不可替代的作用.一般情況下學生對教材習題答案的尋求不會有太大困難，使得我們忽略了對教材習題潛在價值的發掘和研究，從而浪費了很多重要的教育教學資源，這是一個必須引起高度重視的問題.教學中，教師應當學會欣賞教材，從句子品讀，體微言大義；從結構品讀，獲教學智慧.教師應通過對教材的個性化解讀，進一步領會到教材編寫者的意圖，從教材細微之處入手，多問為什么教材這樣“說”而不是那樣“說”、為什么這樣安排“教學”而不是那樣安排，聚焦于“微變”背后的“大義”，從而提高對數學的理解，對教材的設計理念和背后蘊含的教育價值的理解，進而才能更好地理解數學教學.