創新中的高考數學

范慧芝

【摘要】“相對穩定，重點突出，穩中有變，變中求新，適度創新”是高考數學命題的基本原則，高考求新是變化的必然趨勢。推陳出新，是謂創新；創設情景， 是謂創新；定義新概念，是謂創新；方法創新， 是謂創新；大學接軌，是謂創新。

【關鍵詞】高考數學 試題 創新

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）01-0141-02

高考數學命題一般是遵循“相對穩定，重點突出，穩中有變，變中求新，適度創新” 的基本原則。高考要“穩”就是說有許多“常規題”，復習時應按“樣題”進行訓練。高考有“重點”，就是說做到重點知識重點復習。高考有“變”，就是說有一些“新問題”、“新方法”、“新知識”等。高考求新是變化的必然趨勢：在課程改革的大背景下，創造性地融《高中數學課程標準》倡導的新思想、新觀點、新理念于高考命題之中，“圍繞對數學知識、理性思維、數學應用與創新和數學人文價值等四個方面的考查設計試題”，努力開發一些融知識、方法、思想、能力與素質于一體的背景新穎、內涵深刻、富有新意的原創題型，使數學的文化性、應用性與理論性能有機結合與相互滲透， 真正考查出考生的學習潛能和個性品質。這些試題是怎么進行創新的呢？下面結合高考題和模擬試題談談自己的看法。

1.推陳出新，是謂創新

各課改版本的教材是高考命題的主要依據和試題的基本來源，把老題進行改編也是試題的一個來源。

例1 一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進（如圖），現在小船在水平P點以南的40米處，汽車在橋上以西Q點30米處（其中PQ⊥水面），則小船與汽車間的最短距離為 。（不考慮汽車與小船本身的大小）。

分析 本題是我們非常熟悉的一個數學模型，通過植入實際問題給予包裝，給了我們全新的感覺。其實，解決問題的實質是沒有變化的。

說明 回顧近年來的試題，那些最有沖擊力的題，往往在我們的意料之外，而又在情理之中。

2.創設情景， 是謂創新

表現在所給數學問題的知識背景、生活背景、設問方式或外形結構等較為新穎。

例2 有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎。有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”；乙說：“甲未獲獎，丙也未獲獎”；丙說：“我獲獎了”；丁說：“是乙獲獎了”。四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的 。 解析 乙的意思是“乙或丁獲獎”。因為甲、乙、丙、丁都沒有說甲獲獎，所以獲獎的一定不是甲。假設獲獎是的乙，則甲、乙、丁說的都對，與只有兩句是對的矛盾，所以獲獎的也不是乙。假設獲獎的是丁，則甲、丙、丁都不對，也矛盾。

故獲獎的是丙。此時，甲、丙是對的，乙、丁是錯的，符合題設。

3.定義新概念，是謂創新

定義新概念，讓考生在陌生的知識中即時學習，并解決問題，顯得公平、公正，這類問題命題者非常喜歡。

例3 現定義命題演算的合式公式（wff），規定為：

A.單個命題本身是一個合式公式

B.如果A是合式公式，那么？劭A是合式公式

C.如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？圮B）都是合式公式；

D.當且僅當能夠有限次地運用A、B、C所得到的命題是合式公式。

說明：考生無需知道（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？圮B）所表示的具體含義。

下列公式是合式公式的是： ___________.

①（（？劭P→Q）→（Q→P））） ②（Q→R∧S） ③（RS→T）

④（P？圮（R→S）） ⑤（（P→（Q→R））→（（P→Q）→（P→R））

解析 在①中，滿足A、B、C、D所有條件，但是由于其右邊括號的影響（多添加了一個括號），造成其不是合式公式；②中沒有對（Q→R∧S）進行具體劃分，兩種命題運算符不知道哪個先，所以②不是合式公式；③中R與S之間缺少必要的命題運算符，所以該式不是合式公式；④、⑤符合題目要求，是合式公式。

4.方法創新， 是謂創新

例4 如圖，有8個村莊分別用A1，A2，…，A8表示。某人從A1出發，按箭頭所示方向（不可逆行）可以選擇任意一條路徑走向其他某個村莊，那么他從A1出發，按圖中所示方向到達A8（每個村莊至多經過一次）有________種不同的走法。

解析 可以從特殊情況出發，看他們的規律：為方便計，設從A1到Ai的走法有ai種，則容易看出a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，發現a4=a2+a3，a5=a3+a4，所以a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，所以從A1出發，按圖中所示方向到達A8（每個村莊至多經過一次）有21種不同的走法。

也可以畫出樹狀圖來分析求解。本題實質是斐波那契數列的一部分，是世界名題在初等數學中的應用，所謂斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21，34，55，89.…，這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。世界名題的特殊化，本來就是命題的一個熱點，不可忽視。

說明世界名題的特殊化也是創新。

分析 設|OA|=x則x>1，SⅡ與SⅣ均為常數。

設SⅠ=f（x），SⅢ=g（x），則f（x）在（1，+∞）上為增函數，g（x）在（1，+∞）上為減函數。故函數y=f（x）-g（x）+SⅣ-SⅡ為（1，+∞）上的增函數，且x→1時f（x）→0，g（x）→+∞，∴y→-∞；同理x→+∞時，y→+∞。因此，有且僅有一個下x值使y=0，故應選B。

點評 本題考查了“有限與無限思想”，很有味道，也是創新。

5.大學接軌，是謂創新

高等數學中的基本思想和基本題目為高考命題提供了背景，這類問題起點高，但落點低，也就是所謂的“高題低做”，即解決的方法是中學所學的初等數學知識。

點評 本小題主要考查函數，對應及高等數學線性變換的相關知識，試題立意新穎，突出創新能力和數學閱讀能力，具有選拔性質。

總之，高考命題的來源，一是各課改版本的教材和試題；二是往屆高考題，這是“借鑒”和“穩定”的需要；三是教材與《課程標準》的交集已經成為命題的創新地帶（因為命題者希望試題具有時代氣息）；四是以高等數學中的基本思想和基本題目作為問題背景（因為命題組成員大都是高校老師，因此在命題時不可能不受自身的學術背景的影響）；五是新高考關注“活題”空間 ，比如探索性試題、“合情推理”題、“類比推廣”題，等，而解答創新性數學問題，一是要讀懂題意，通過轉化，化“新”為“舊“；二是通過深入分析，多方聯想，以“舊”攻“新”；三是創造性地運用數學思想方法，以“新”制“新”。