圓錐曲線正交弦的性質及其應用
——一道課本習題的歸納和延伸

☉湖北省十堰市鄖陽中學 梁修曦

圓錐曲線正交弦的性質及其應用
——一道課本習題的歸納和延伸

☉湖北省十堰市鄖陽中學 梁修曦

原題如圖1，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB．

這是人教版教材選修2-1第73頁習題2．4的第6題，此問題可歸納為一般性質：A，B是拋物線y2= 2px（p＞0）上的兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，則直線AB過定點（2p，0）；反之亦成立．

筆者猜想，橢圓和雙曲線中是否有類似的性質呢？經探究發現，答案是肯定的．

圖1

一、過圓錐曲線頂點的正交弦的性質

性質1A，B，C是圓錐曲線上不重合的三個點，若CA⊥CB，則直線AB過一個定點．

應用1A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求線段AB中點D的軌跡方程．

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），則運用點差法可得．由“原題及歸納”知，定點Q（2p，0）也在AB上，故，可得D點的軌跡方程為y2=px-2p2．

于是筆者再猜想，將正交弦的交點換到橢圓和雙曲線的中心，是否還有其他的性質呢？

二、過橢圓和雙曲線中心的正交弦的性質

性質2A、B是橢圓或雙曲線上的兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，則有以下結論：

（2）弦AB與定圓相切．

應用2已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C上任一點到兩焦點的距離之和為4，且橢圓的離心率為，單位圓O的切線l與橢圓C相交于A、B兩點．

（1）求證：OA⊥OB；

（2）求△OAB面積的最小值．（2016肇慶市三模）

最后，我們將正交弦的交點移至圓錐曲線的焦點，又有了新的發現．

三、過圓錐曲線焦點的正交弦的性質

性質3F是圓錐曲線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，與拋物線分別交于P，Q及M，N，則均為定值．

若F是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，則上述定值分別為

應用3已知橢圓的兩個焦點為F1（-1，0），F2（1，0），且橢圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）過F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PMQN的面積的最值．（2011卓越聯盟自主招考）

當且僅當PQ=MN時取等號．故四邊形PMQN的面積的最小值為

值得一提的是，圓錐曲線背景下的正交弦問題，近十年來高考試題曾多次涉及，而定值和最值問題又是圓錐曲線中的重點、難點，在加強學生運算能力的培養的同時，適當熟記一些性質和結論，對解題是很有幫助的．

另外，對教材知識進行探究性的分析、思索、歸納，從課本的例題習題出發，加以變式、延伸，可以拓展思維空間，是培養學生數學思維能力的重要舉措．通過這樣多方位、多角度、多層次的探究活動，可以使學生的思維品質不斷得以提升，并從中體驗到數學發現給人帶來的愉悅感和成就感．

1．余合橋．三種圓錐曲線定值題的共性．中學數學月刊，2001（11）．

2．張天德、賈廣素、王瑋．全國重點大學自主招生數學教程．山東科學技術出版社．