圓錐曲線的定義在解題中的運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 王梅芳

圓錐曲線的定義在解題中的運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 王梅芳

定義是揭示事物本質屬性的思想形式，面對一個數學對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器．圓錐曲線的第二定義體現了“形”的統一，第一定義則體現了“質”的區別．兩種定義不僅在解題中應用廣泛，而且具有很大的靈活性．第一種定義和第二種定義的靈活轉換常常是打開解析幾何思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息有助于解題．下面我們一起來看看圓錐“定義”在求解圓錐曲線問題中有哪些常規應用．

一、利用圓錐曲線定義解含絕對值不等式

我們知道，橢圓類不等式：|x-c|+|x+c|≤2a（a＞c）的解為-a≤x≤a；|x-c|+|x+c|≥2a（a＞c）的解為x≤-a或x≥a.類似的，雙曲線類不等式：||x-c|-|x+c||≥2a（a＜c）的解為x≤-a或x≥a；||x-c|-|x+c||≤2a（a＜c）的解為-a≤x≤a.利用圓錐曲線定義可以解決這類絕對值不等式問題.

（一）橢圓類不等式

1.形如|MF1|+|MF2|≤2a（|F1F2|＜2a）

它表示橢圓類不等式，它的解集為｛x|xA≤x≤xB｝.

2.形如|MF1|+|MF2|≥2a（|F1F2|＜2a）

它表示橢圓類不等式，它的解集為｛x|x≤xA或x≥xB｝.

例1不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為________．

此題為橢圓類不等式．問題關鍵：用橢圓的定義求出它的中心、頂點即可．

解：根據橢圓類不等式2a=5，2c=1-（-2）=3，“中心”

所以不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為｛x|x≤-3或x≥2｝．

3.特別地，當|F1F2|=m，|MF1|+|MF2|=m（常數）

它不再表示橢圓，而動點M是線段F1F2上的任一點，而不等式|MF1|+|MF2|＜m表示三邊不能構成三角形，所以不等式的解集為?；

|MF1|+|MF2|≥m表示三邊可構成三角形或線段上任意一點，用三角形兩邊之和大于第三邊推導，所以不等式的解集為R．

（二）雙曲線類不等式

1.形如||MF1|-|MF2||≤2a（|F1F2|＞2a）

它表示雙曲線類不等式，它的解集為｛x|xA≤x≤xB｝.

2.形如||MF1|-|MF2||≥2a（|F1F2|＞2a）

它表示雙曲線類不等式，它的解集為｛x|x≤xA或x≥xB｝.

例2已知函數f（x）=|x-m|，其中m＞1.

（1）略.

（2）已知關于x的不等式|f（2x+m）-2f（x）|≤2的解集為｛x|1≤x≤2｝，求m的值．

這是一道關于絕對值的函數題，變形后變為含參數的絕對值不等式，觀察到此題是雙曲線類不等式，不妨找“中心”、找“頂點”，與已知解集采用數形結合可將問題解決.

解：（1）略.

（2）因為f（x）=|x-m|，其中m＞1，

所以將不等式|f（2x+m）-2f（x）|≤2轉化為||x|-|xm||≤1.

根據雙曲線類不等式2a=1，2c=m-0，“中心”為x=

xA，所以原不等式的解集為

由題的條件可知，不等式的解集為｛x|1≤x≤2｝，

3.形如|MF1|-|MF2|≤2a或|MF1|-|MF2|≥2a（|F1F2|＞2a）

它們表示雙曲線類不等式的右支，它們的解集分別為｛x|x≤xB｝或｛x|x≥xB｝．

例3不等式|x+2|-|x|≤1的解集為________．

此類絕對值不等式是雙曲線類不等式．因式子|x+2|長度較長，-2＜0，因此可判斷雙曲線類不等式的右支．解題的關鍵是求“中心”和“頂點”．

解：因“左焦點”-2在前，|x+2|長度比較長，因此本題屬于雙曲線類不等式的右支．

根據雙曲線類不等式2a=1，2c=0-（-2）=2，“中心”為

由圓錐曲線定義知，xF1=-2，xF2=0，xA=-1

4．形如|MF2|-|MF1|≤2a或|MF2|-|MF1|≥2a（|F1F2|＞2a）

它們表示雙曲線類不等式的左支，它們的解集分別為｛x|x≥xA｝或｛x|x≤xA｝．

5．特別地，當|F1F2|=m，||MF1|-|MF2||=m（常數）

它不再表示雙曲線，而動點M表示以F1，F2為頂點的射線，簡稱為“兩邊開”．在涉及到不等式||MF1|-|MF2||≤m表示三邊可構成三角形或線段上任意一點，用三角形兩邊之差小于第三邊推導，所以不等式的解集為R；不等式||MF1|-|MF2||＞m表示三邊不能構成三角形，所以不等式的解集為?．

（三）拋物線類不等式

形如|MF|≤d或|MF|≥d表示拋物線類不等式．由于拋物線只有一個頂點，所以不等式的解集顯得簡單些，結果要么左邊開要么右邊開．

二、求焦點三角形的面積

分析：首先設|PF1|=m，|PF2|=n，用余弦定理求得m與n之間的關系，再根據橢圓定義用配方法求得mn的值，代入三角形面積公式問題即可解決．

解：由題意得a=4，c=3，所以|F1F2|=2c=6．

設|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，

即6=m2-n2-mn，所以36=（m+n）2-3mn．

由橢圓定義得m+n=2a=8，所以36=64-3mn，所以mn=

三、利用圓錐曲線定義求離心率

例5F1，F2是橢圓的兩個焦點，過F2作一條直線交橢圓于P，Q兩點，使PF1⊥PQ，且|PF1|=|PQ|，求橢圓的離心率e．

我們在解有關圓錐曲線問題時，如果題目涉及焦點、準線方程、離心率、圓錐曲線上的點這四個條件中的三個，我們一般就要聯想到圓錐曲線定義，有時甚至只知道其中的兩個條件，也可以聯想到圓錐曲線定義．靈活巧妙地運用圓錐曲線的定義，將會帶給我們意想不到的方便和簡單．

四、利用圓錐曲線的定義求最值

例6如圖1，F1，F2是雙曲線的左、右焦點，M（6，6）為雙曲線內部的一點，P為雙曲線右支上的一點，求：

（1）|PM|+|PF2|的最小值；

圖1

（其中|PH|為P到右準線l的距離）

說明：（1）和式“|PM|+|PF2|”與雙曲線第一定義有質的區別，能否轉化為“差”是解題的關鍵；（2）關鍵在于處理|PF2|的系數，于是聯想到，可用第二定義轉化．

五、求線段（或線段和）的長度

A.bB.aC.ebD.ea

分析：首先根據三角形內心的性質及等腰三角形的“三線合一”性質將|PF2|轉化為|PC|，再根據三角形中位線定理和雙曲線定義，問題即可解決.

解：延長F2B交PF1于C，則可知PB既為△PF2C角平分線又為△PF2C高線，所以△PF2C為等腰三角形，所以|PF2|= |PC|且|BF2|=|BC|，所以OP為△CF1F2的中位線，則|OB|=由雙曲線定義知，|PF1|-|PF2|=2a，所以，故選B.

六、利用圓錐曲線的定義求動點軌跡方程

求動點軌跡方程，若動點運動規律或幾何約束等式符合某一圓錐曲線的定義時，可直接確定其標準方程，并得出待定系數之值，從而直接得出結果．

例8過原點的橢圓的一個焦點為F1（1，0），長軸長為4，求橢圓中心的軌跡．

解：設橢圓中心為M（x，y），由于橢圓的一個焦點為F1（1，0），則橢圓的另一個焦點為F2（2x-1，2y），再由橢圓的定義知，|OF1|+|OF2|=4，即即（除去點（-1，0））.

此題看似簡單，卻是一道頗費思量的題目，當題中條件不易直接得出結論時，回歸定義卻是最好的辦法．

七、求直線的斜率（或傾斜角）

例9已知直線l：y=k（x-2）（k＞0）與拋物線C：y2=8x交于A，B兩點，F為拋物線C的焦點.若|AF|=2|BF|，求k的值.

分析：首先根據拋物線的定義將|AF|，|BF|轉化為點A，B到準線的距離，再利用相似三角形和同角三角函數的基本關系式求得直線的斜率.

解：因為直線l過定點（2，0），那拋物線的焦點F，所以直線經過拋物線的焦點.分別過點B，A作拋物線準線的垂線，垂足分別為B′，A′，過B作AA′的垂線，垂足為D.設Rt△ABD，|BF|=m，因為|AF|=2|BF|，所以|AF|=2m.由拋物線定義得|BB′|=m，|AA′|=2m.在Rt△ABD中，|AD|=m，|AB|=3m.設直線l的傾斜角為θ，則θ=∠BAD.因為cosθ=也即直線的斜率為

圖2

八、利用圓錐曲線定義巧解實際問題

圖3

圖4

實際應用問題要將問題轉化為數學模型來解決.

解：由題意知，|MA|+|MB|=8＞4=|BC|，故點M在以B，C為焦點的橢圓上.如圖4，建立平面直角坐標系xOy，則B（-2，0），C（2，0），所以點M的軌跡方程為.過M作MN⊥l于 N，則由橢圓的第二定義可知，|MN|=2|MC|.依題意知求|MA|+2|MC|的最小值，即求|MA|+|MN|的最小值.由平面幾何知識可知，當M，A，N共線時，|MA|+|MN|最小.所以，即變電房應建在A村的正東方向且距A村

本解法綜合考查了橢圓的第一定義以及標準方程，并利用橢圓的第二定義求最小值問題，特別是第二定義的應用，并借助了數形結合使問題得以解決.

從上面我們可以看出：運用圓錐曲線的定義解題，通過數形結合，不僅能抓住問題的本質，還能避開復雜的運算，使問題巧妙獲解．要想利用定義解決問題，我們一定還要充分利用初中所學的平面幾何的有關知識來輔助證明和解答.應用比較多的，如等腰三角形的“三線合一”性質、三角形中位線定理、線段垂直平分線的性質定理、角平分線的性質定理、勾股定理、相似三角形、特殊四邊形的性質等知識.高中階段主要和平面向量中向量共線的充要條件、圓的定義等知識結合使用.我們還會應用數形結合思想和轉化思想來有效地處理題目中所涉及的多種元素之間的位置關系和數量關系.