充分體現數學學科的邏輯性與嚴謹性
——“一個數除以分數”的教材編排分析和創新性教學設計

張宏偉（特級教師）

“一個數除以分數”的計算法則是小學計算法則推導中的一個難點。這部分內容到底該如何編排和教學才更為科學、更為嚴謹、更為簡潔，更便于學生自己研究、理解和掌握呢？筆者對現行幾種版本的編排進行了對比研究和分析，并找到了一種全新的設計方案，經過教學驗證，效果非常好?，F把筆者的一些想法和做法寫下來與大家分享和交流，不當之處還請各版本教材編者和教師指正。

一、各版本教材編排的對比和分析

現行教材的編排綜合起來大致有四類不同的編排思路：

第一類是借助解決實際問題，用“實證”的方法進行推導。代表的版本有北京版教材（六年級上冊第 18、19頁）、人教版教材（六年級上冊第31頁、32頁）等。下面以北京版教材例題3為例進行分析。

該類教材編排的推導過程分為五步：第一步，基于學過的數量關系類推出解決問題的除法算式；第二步，通過畫圖分析把除法應用題轉換成用連乘法解決的問題；第三步，基于除法算式和連乘算式都是解決同一個問題，建立除法算式和連乘算式的相等關系；第四步，利用乘法結合律把后面兩個數相乘，得到除數的倒數，實現“除以一個分數等于乘以這個分數的倒數”的轉化；第五步，學生依據舉的例子類推和驗證，進行不完全歸納，“發現”和總結計算規律（法則）。

筆者認為這種類推有三點局限：一是特別的“繞”，很多學生在接近10次的列式、畫圖、分析的迂回中被繞迷糊了，以至于很多學生理解起來倍感困難。二是第三步“強硬地”使用乘法分配律把后面兩個數先相乘，不是學生內心的需要、不是計算必需的，是為了證明而不得已刻意為之，學生并不能從心底比較“舒服”“自然”地認同，更不是學生自己的生成，是被強迫地順應。三是沒有從數學內部邏輯地進行數理推理和證明，不符合數學“簡潔”的追求，無論是教師、還是學生總有一種不完美、不完善、不透徹的感覺。

第二類是借助“實證式的具體、形象、真實的圖形”和類推進行證明。代表版本是北師大版教材（六年級上冊第57、58頁）和蘇教版教材（六年級上冊第56、57頁）。

該類教材編排先是讓學生借助分析實際問題中的“具體、形象、真實的圖形（餅、長方形和條形圖）”“看到”除以幾分之一，就等于乘以幾（即幾分之一的倒數），然后再直接類推到“除以幾分之幾，也等于乘以這個分數的倒數”。

這種編排也有兩點局限：一是除以幾分之一，還是實例驗證性的研究，沒有從數學內部的邏輯推理和證明“為什么除以幾分之一等于乘以幾”。二是類推到除以幾分之幾，是強行的類推，沒有編排驗證這種類推是否正確的環節，而數學的類推本身也是需要證明的，因為有的類推是成立的，有的類推也可能不成立。這對于數學的嚴謹性而言，是有疏漏、缺憾的?？梢赃@樣補救：比如，編排可以化成小數計算的分數除法驗證，或者化成同分母分數，以包含分數單位的個數相除的方式證明這種類推是正確的（見下面浙教版例題1）。

第三類以青島版教材（六年級上冊第 23、24頁）為代表。

這種教材編排和第一類（北京版）編排類似，也是從解決實際問題入手，“從生活到數學的推導路徑”——共分三個模塊進行。第一個模塊先解決整數除以幾分之一，通過對問題的分析和轉換，找到實際解決這個除式的乘法算式（整數乘以分數的倒數），讓學生發現整數除以幾分之一等于這個整數乘以幾（即這個分數的倒數）。第二個模塊解決整數除以幾分之幾，通過對實際問題分析和轉換，找到解決這個問題的另一個算式 a×b÷c，再 b÷c 轉化。第三個模塊讓學生自己借助統一問題，仿照模塊二分析，導出一個數除以一個分數的算法。

這種編排存在的問題和第一類基本相同（模塊二對b÷c的處理手法和第一類編排的第三步如出一轍），而且整個分析和轉化的過程更加生澀、難懂。

第四類，以浙教版教材（五年級下冊第56、57頁）為代表。

該教材編排從兩條不同的路徑進行了證明：

第一條路徑是結合解決問題，引導學生把分數除法先轉化為同分母分數除法，再轉化成“包含分數單位的個數”相除（即分子相除）；最后再和第二個因數是除數的倒數的乘法算式比較計算結果，讓學生發現“除以一個分數”和“乘以這個分數的倒數”計算結果總是一樣的，得出“除以一個分數等于乘以這個分數的倒數”的結論。

第二條路徑是利用“商不變的性質”，將被除數和除數同時乘以除數的倒數，將除數轉化為1來推導。

筆者感覺這類教材的編排更有新意、更簡潔，也比較容易理解。但是也有兩點值得商榷：一是第一條路徑還是直接對比除的結果、和乘以倒數的結果，硬性地給予，不是學生自己能想到的（大多數不會想到和乘以這個分數的倒數的乘法算式對比）。二是第二條路徑是把整數商不變的規律直接強硬地類推到分數除法，沒有證明這種類推是成立的（數學的類推本身也需要證明）。三是這種“空降式”類推也是大多數學生自己想不到的，不是自己“生長”的結果。

二、教學新設計

鑒于以上課程編排存在的問題，筆者對一個數除以分數的法則推導這部分內容的教學重新進行了設計和編排，創造性地設計了一種新的課程教學方案——從倒數的意義和乘除混合運算的計算規律入手進行推導。這是一種非常簡便而又完備的數理證明方案。同時，筆者還保留了通過解決問題進行實證的編排內容（如北京版的推導方式），但是筆者把它后置到設計的課程之后，成為選學式的補充內容，為學生提供從另一種角度探索和理解的路徑。把浙教版的第二種路徑編輯為課外拓展閱讀材料，后置到學生學會分數除法計算之后，并融入到學生證明整數、小數的商不變的性質適用于分數除法的發現之中。

筆者的這個課程和教學設計，經過課堂實踐，收到非常好的教學效果。下面，將課程和教學設計簡述如下：

模塊一：暢想算法。（單獨一頁，第一頁）

學生自己想辦法嘗試計算下面各題，看看能想到多少種不同的算法。（單獨一頁，留足空間，讓學生盡情暢想和創造）

實際教學中學生嘗試結果如下：

第1題全部學生都想到了把分數化成小數，順利完成了計算。第2、3、4題一部分學生嘗試把分數化成循環小數，不能解決；一部分學生把分數化成小數后，取近似值，算出近似的商。全體學生遇到“化成小數不行”這個障礙后都能正確得出第3題的結果，并能從里包含里有2個，或者推出商是2。部分學生受此啟發自覺把第2、3題化成同分母分數，轉化成了分數單位個數的相除；沒有學生使用“把被除數和除數同時擴大相同倍數使除數變成1”的策略；更多的學生通過提前預覽教材、父母教學以及通過其他途徑“知道”除以一個分數可以變成乘以這個數的倒數來計算，但是不能解釋為什么可以這樣算。

模塊二：發現規律，尋找證明途徑。（單獨一頁，第二頁）

激勵性過渡導語：完成下面的這個“發現”項目，你就能解釋為什么“除以一個分數可以變成乘以這個數的倒數”。

1.下面的題目除了按照從左到右的順序外，你還可以怎樣計算？

78×5÷5 43×24÷12

32×1÷0.517×1÷0.25

39×1÷10

2.你有什么發現？

（先乘后除的混合運算，可以先除后乘，結果不變）

3.自己舉例試一試。

4.變式應用。

14÷0.5還可以怎樣計算？為什么？31÷0.1呢？1.1÷0.2呢？

在實際教學中，學生都能正確轉化成乘法進行計算，并能條理正確地解釋和闡述自己的推導過程：如14÷0.5=14×2，因為14÷0.5=14×1÷0.5=14×（1÷0.5）=14×2。

模塊三：證明一個數除以分數的統一算法。（第三頁）

1.根據上一頁你發現的規律想一想，如果把1.1÷0.2改成，你還可以怎么算？

3.思考：甲÷乙 =？（乙≠0）可以怎樣算？

學生順利完成自己的一般化的推理過程：甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）=甲×乙的倒數（乙≠0）。

模塊四：自主研究或者自學其他推導方案。

學生可以根據自己的情況自己選擇完成拓展探究：

1.自由研修：嘗試獨立探索其他能證明“甲÷乙=甲×乙的倒數（乙≠0）”的方法。

2.必選研修：提供“北京版教材（六年級上冊第18、19頁）和浙教版教材（五年級下冊第56、57頁）的復印頁，學生自選一種版本（或兩種都選），自學這種版本教材的推導方案，并能給同學們講明白。

三、課后反思與評價

經過課后反思，筆者認為這個課程和教學設計實現了以下五點預期目標：

1.學生在模塊一中，自己暢想和嘗試多種算法，親身經歷和體驗了算法的多樣化，他們能從不同的算法中得到智慧的啟迪，增強了從不同的角度解決問題的意識和能力，激發了學生的主動性和創造性，同時各種方法之間又能互相證明。

2.這個課程和教學設計真正打通了除法運算和倒數意義的內在關系。倒數的意義是“乘積是1的兩個數互為倒數”，即“1除以任何不為零的數就得到這個數的倒數”，甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）正是對學生前面學習倒數的真正充分的應用。加深了對倒數意義和學習價值的認識，體現數學知識之間的內在聯系與和諧之美。

3.這個課程和教學設計真正實現了——利用數學內在概念和規律（倒數的意義、乘除混合運算順序的規律），從數理的角度（即從“數學→數學”的角度）進行簡潔、完備、嚴謹的邏輯推理和證明。它和后置的從實際問題出發的實證，即從“生活→數學”互相補充和印證，形成了一個完整的證明系統，讓學生對“一個數除以分數”的計算法則有了更為立體、完整的全景認識和理解。

4.這個課程和教學設計簡明易懂，教學中有利于學生自己去發現、去推導，學生理解也更深刻，掌握也更扎實。

5.模塊四提供了可選擇的拓展課程，讓學生在從數學到數學的推理證明的基礎上，又明晰了兩種教材上的“從生活到數學的數學化過程”，進一步體會到可以從不同的路徑證明和研究“除以一個分數等于乘以這個分數的倒數”，體驗到多角度地刻畫和思考的分散和統一之美，感悟到數學學科的邏輯性、嚴謹性。同時，也能在一定程度上實現“讓不同的學生在數學上獲得不同的發展”的理念，在一定程度上關照到了學生學習數學的個性。