談初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的三原則

周潔

[摘要]函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點及難點。想要上好這部分內(nèi)容，教師必須從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，遵循“構(gòu)建在已有知識的基礎(chǔ)上”“構(gòu)建程序流暢和互相聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)”“培養(yǎng)學(xué)生善于隨機(jī)應(yīng)變和自我調(diào)節(jié)的能力”三原則。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；原則

[中圖分類號]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2017）05-0020-01

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，它不僅與數(shù)學(xué)中其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，如代數(shù)式、方程、不等式、平面幾何等，還廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科，如初中物理力學(xué)及電學(xué)的計算、初中化學(xué)計算等都離不開函數(shù)知識。學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識對提高他們的思維能力有重要意義。教師要重點研究函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)。要搞好函數(shù)教學(xué)，筆者認(rèn)為要遵循三個原則。

原則一：將函數(shù)教學(xué)構(gòu)建在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上

在傳統(tǒng)函數(shù)教學(xué)中，教師將函數(shù)概念、解析式、函數(shù)圖像及性質(zhì)作為教學(xué)重點。以一次函數(shù)為例，傳統(tǒng)教學(xué)中首先講解函數(shù)解析式。形如y=kx+b（其中k≠0，b為常數(shù)）的函數(shù)叫作一次函數(shù)。然后介紹函數(shù)的圖像：k>0，b>0，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、三象限等以及圖像的平移問題。如此教學(xué)，增大了數(shù)學(xué)知識的抽象性及枯燥性，教師不能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也不能將學(xué)習(xí)函數(shù)的新問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生認(rèn)識的問題來解決。

要將函數(shù)教學(xué)構(gòu)建在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上，教師在函數(shù)的教學(xué)中需要從學(xué)生已有的知識入手，建立函數(shù)與已有知識之間的聯(lián)系。在這里，有效教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)尤為重要，我們把它稱為“橋梁性情境”。這一情境在數(shù)（函數(shù)）與空間（圖）的理解之間架起橋梁，把學(xué)生的日常經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來。下面是我做的一個試驗。

“斜率”這個概念是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)，特別是線性函數(shù)的入門知識。通常將它定義為垂直距離和水平距離的比。如果一條直線用方程y=kx+b來表示，k就定義為直線的斜率，用公式k=（y₂-y₁）/（x₂-x₁）來計算。

學(xué)生要真正理解以這種定義的“斜率”概念，他們必須掌握大量的數(shù)學(xué)知識與技巧，包括比率、坐標(biāo)圖、變量、下標(biāo)的意義、解包含兩個變量的方程以及進(jìn)行混合運(yùn)算的技能。但是，對于求解一個函數(shù)的斜率來說，知道運(yùn)算法則并不能確保學(xué)生理解了斜率的一般意義。

其實，學(xué)生對斜率都有一種直覺的、憑經(jīng)驗的理解。為此，我給學(xué)生上了一堂課：小明參加了步行馬拉松比賽，規(guī)則（函數(shù)）告訴我們，小明能掙到多少錢取決于他走了多少公里。我們不知道函數(shù)是什么，這是一個秘密。我們只知道小明走1公里能掙4元，走3公里能掙8元，走5公里能掙12元。

要求學(xué)生計算函數(shù)的斜率，它表示小明能掙到多少錢。我將學(xué)生分成兩部分，向一部分學(xué)生提供了斜率的正式定義，向另一部分學(xué)生提供一個他們更為熟悉的斜率定義。用學(xué)生的話來說函數(shù)的斜率是對于最初值的每一個單位的變化結(jié)果增加的數(shù)量。結(jié)果，通過計算，小明每多走1公里他掙錢增長多少。許多學(xué)生都能夠非正式地描述上述案例中函數(shù)的斜率。他們注意到當(dāng)小明走了3公里時，比走1公里時多掙了4元。因此他每多走1公里就能多掙2元。采用這種方式，沒有接受正式定義或程序教學(xué)的這些學(xué)生就能確定神秘函數(shù)的斜率是2。相反，那些看到斜率的課本定義的學(xué)生并不能確定這個例子中的斜率。這說明將函數(shù)教學(xué)構(gòu)建在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上，能讓學(xué)生更好、更快地理解函數(shù)的有關(guān)知識。當(dāng)然，那些非正式的語言描述性概念并不是學(xué)習(xí)的最終目的，對學(xué)生來說，學(xué)習(xí)正式的數(shù)學(xué)術(shù)語和抽象的代數(shù)符號是非常重要的。

原則二：構(gòu)建程序流暢和互相聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)

描述函數(shù)的常用方式有：表格、坐標(biāo)圖、文字、代數(shù)符號和問題情境。其中每一種表達(dá)方式都能描述一個變量的值是如何決定另一個變量的值。從概念上講，學(xué)生需要理解這些是描述同一個關(guān)系的不同方式。

成功的教學(xué)不僅是要培養(yǎng)學(xué)生熟練執(zhí)行各種程序的能力。例如，給定一個函數(shù)解析式時能畫出坐標(biāo)圖，或者給定x值能求出對應(yīng)的y值。教師還應(yīng)幫助學(xué)生理解函數(shù)，培養(yǎng)他們以各種方式表示函數(shù)的能力以及轉(zhuǎn)換各種表達(dá)方式的能力。例如，用語言描述兩個變量之間的關(guān)系，用方程來表達(dá)直線斜率以及用坐標(biāo)圖進(jìn)行視覺表征時，都應(yīng)該有“意義”。總之，函數(shù)教學(xué)應(yīng)構(gòu)建程序流暢和互相聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)。

原則三：培養(yǎng)學(xué)生善于隨機(jī)應(yīng)變和自我調(diào)節(jié)的能力

正如上面所討論的，以牢固而熟練地掌握有關(guān)函數(shù)的知識為目標(biāo)的教學(xué)，應(yīng)該建立在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上，應(yīng)該整合程序性技巧和概念性理解。但是，教學(xué)不僅應(yīng)該幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)程序和概念去思考，而且應(yīng)該幫助學(xué)生在思考程序和概念本身的基礎(chǔ)上，反思他們的學(xué)習(xí)。

由于代數(shù)高度概括了數(shù)學(xué)關(guān)系，因此學(xué)生必須在更加抽象的水平上運(yùn)算，這與他們以前常遇到的典型數(shù)學(xué)計算是截然不同的。學(xué)生必須在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的所有水平上監(jiān)控自己解決問題的過程，反思自己的解題方法和策略。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越抽象，元認(rèn)知的參與就顯得尤為重要。設(shè)想，如果學(xué)生不能積極地進(jìn)行知識的構(gòu)建和理解，那么，當(dāng)解題方法出現(xiàn)錯誤時，他們幾乎得不到任何相關(guān)的線索。

當(dāng)學(xué)生的概念性理解和元認(rèn)識監(jiān)控都很薄弱時，即使相當(dāng)簡單的代數(shù)題，他們往往都無法解決。教師幫助學(xué)生建立實際問題與數(shù)學(xué)符號間的聯(lián)系顯得尤為重要。

（責(zé)任編輯 黃桂堅）