解析幾何二輪復習的一些建議

江蘇南通市通州區金沙中學 戴培紅

解析幾何二輪復習的一些建議

江蘇南通市通州區金沙中學 戴培紅

解析幾何是中學數學的難點和重點，對于高考應試要求來說，解析幾何的難度穩中有升，考查學生轉換問題的能力和運算能力，成為數學學習的難點。

解析幾何；二輪；高考；復習；建議

眾所周知，二輪復習是提高學生核心復習的重要環節，在二輪復習中，很多知識以專題、整合、綜合的形式出現，并注重了核心考點的梳理，從而成為復習教學的關鍵。近年來，解析幾何板塊在高考應試中的地位呈現穩定趨勢，一般而言以三小題一大題的模式出現，分值基本穩定在30分左右。二輪復習中解析幾何應該重點關注什么呢？如何復習才是高效的呢？筆者就多年教學經驗，結合近年熱點給出一些自己的想法和建議，旨在拋磚引玉。

一、重視定義，關注本質

為什么稱之為解析幾何？為什么稱之為圓錐曲線？筆者認為僅僅就這兩個名稱，還有很多學生并不了解。之所以稱之為解析幾何，是因為從橢圓、雙曲線、拋物線問題的解決角度入手，用坐標化的方式解決了幾何圖形的問題，將幾何問題用代數方式進行了解析，所以叫解析幾何。圓錐曲線就更有意思了，古希臘數學家在沙灘上用平面截圓錐，得到了各種截口曲線，恰為圓、橢圓、雙曲線、拋物線，因此截口圓錐曲線就此得名（如下圖）。復習解析幾何對于學生而言，要進行定義的理解和解析化思想滲透，因此二輪復習首要的關注點即在此。

（截口橢圓）

（截口拋物線）

（截口雙曲線）

問題1：如右圖，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足。若點C在平面α內運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為_______________。

分析：對于圓錐曲線本質不理解的學生，初識本題學生往往是一片茫然，這樣的試題往往是考查學生對于圓錐曲線概念的理解程度，有深刻的理解才有清晰的思路。思考本題，不妨首先抽去平面α，AB作為定直線可以看成軸，空間直線AC與軸AB成固定角度，因此動點C在空間的軌跡是以AB為軸的圓錐母線上的點，此時圓錐已經形成，將平面如上圖插入，考慮到題意中“∠CAB等于直線AB與平面α所成的角”，顯然平面α與圓錐的某一母線是平行的，故截口曲線是拋物線。

說明：關注概念是二輪復習的重中之重，圓錐曲線怎么考？萬變不離其宗——概念！是考查感官定義，還是更為深刻的本質理解？筆者認為二輪復習要在數學本質的角度多加思考，因為感官定義學生掌握程度是比較熟練的，因此關注本質是二輪復習的重要方向。

二、積累性質，化繁為簡

解析幾何中有很多值得積累的性質，這些性質往往存在于很多動態性的問題之中，其研究問題的方式也是學習的關鍵。比如最簡單的性質研究∶橢圓上動點與兩焦點組成的三角形周長為定值，這是借助橢圓定義得到的；雙曲線焦點三角形內心橫坐標為定值，也可以利用雙曲線定義證明；拋物線過焦點的直線存在很多相關重要性質等等。對于學生而言，積累一定的解析幾何性質是學習的必備途徑，它可以讓解決解析幾何問題來得更為高效一些。

分析：初識本題，定然覺得本題是非常難的運算問題。但是有性質依托下的思考，是解決本題煩瑣運算的關鍵。我們知道，對于橢圓和雙曲線的頂點存在重要的幾何性質，以雙曲線為例：A1、A2為實軸端點，P點為雙曲線上的動點，則不難證明直線PA1、PA2的斜率之積為定值。如果掌握類似的性質，本題可以說幾乎是秒殺問題，由上可知，又點P為雙曲線第一象限內的動點，則，又因為可以取遍，因此，離心率可得。

說明：本題是筆者原創問題，在測試中，筆者發現不少學生對于平時所學的幾何性質并不重視積累，導致其學習無法去繁從簡，從而復習并不高效。二輪復習中加強性質的積累是重中之重。

三、轉換方式，綜合知識

解析幾何的很多問題是轉化，是幾何問題的代數轉化。二輪復習中，教師要引導學生加強轉化方式的訓練，這是體現綜合知識的一種能力。比如傾斜角之和互補為本的幾何問題，是典型的斜率代數運算；在問題中直角的幾何考慮，可以使用向量數量積代數運算求解等等。舉一個案例：

總之，二輪復習解析幾何中主要圍繞上述三方面展開，從基本概念的深化到性質的積累，再到綜合轉化方式的鞏固是二輪復習解析幾何中的重要部分，可以通過三方面專題方式的回顧加強學生二輪復習的有效性。

[1]劉見樂.解析幾何教學中的幾個關注點[J].中國數學教育，2013（5）.

[2]羅增儒.數學解題學引論[M].陜西師范大學出版社，2002.