向量在高考數(shù)學中的運用

徐婧

摘 要：向量這一概念，在我們的高考數(shù)學中占據(jù)著重要地位，也成為了考試的熱點之一。向量是一種數(shù)學工具，能夠?qū)⒂嬎銌栴}轉(zhuǎn)化為幾何問題，是數(shù)形結(jié)合必不可少的一種重要手段。向量在很多領(lǐng)域都能體現(xiàn)自身的價值，運用向量方法解決數(shù)學問題，可能收到意想不到的效果，能夠大大提升解題速度，提高題目正確率。本文從向量在高考中的地位著手，將數(shù)量積、法向量、向量的模等知識點引入到高考數(shù)學重要的熱點、難點問題中去，簡單介紹了向量在高考數(shù)學中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：向量 高中數(shù)學 高考 應(yīng)用

隨著我國教育水平的提升，向量理論快速發(fā)展。由于在后續(xù)大學的專業(yè)教育中，很多專業(yè)如力學專業(yè)、物理學、機械類等都需要具備一定的向量知識，所以向量得到了重視，高考中所涉及的向量問題也越來越多。將向量問題運用到高考數(shù)學中來，既能提升我們的解題速度，更能培養(yǎng)我們的發(fā)散性和邏輯性思維。

1.向量在高考數(shù)學中的地位

向量理論是近代數(shù)學理論中的基礎(chǔ)和重要概念之一。向量能夠聯(lián)系起代數(shù)、幾何和函數(shù)不等式，并成為了解決問題的有力武器。向量可應(yīng)用范圍廣，可滲透進很多的數(shù)學理論中，并形成新的分析思路和解題方法。向量問題歸根結(jié)底是數(shù)形結(jié)合問題，將代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，再通過向量的代數(shù)運算得到結(jié)果，既直觀又準確。向量將函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、復數(shù)、平面幾何、解析幾何等數(shù)學內(nèi)容交叉聯(lián)系起來，通過另一種思路和方法解決這些問題，有時候能夠收到事半功倍的效果，而向量在高考數(shù)學中也占有著不可替代的地位。

2.向量在高考數(shù)學中的應(yīng)用

以下通過實例來分析向量在高考數(shù)學中的應(yīng)用形式。

2.1向量在函數(shù)導數(shù)中的應(yīng)用

例1：已知向量 ， ，若函數(shù) 在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

解：根據(jù)向量的運算可知， ， ，若 在（-1，1）上為增函數(shù)，則 ，因為 圖像開口向下，當且僅當 且 時成立，得出t的取值范圍 。

本道高考題，看似是與函數(shù)有關(guān)，其實就是在考察向量的內(nèi)積運算，得出三次函數(shù) ，分析參數(shù)的取值范圍，達到題設(shè)的條件。合理的使用向量方法，將題目逐步轉(zhuǎn)化為完全的函數(shù)問題，運用函數(shù)性質(zhì)和理論處理向量問題，注重向量的引導性作用。

2.2向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例2：已知向量 ， ， ，且 ，求 的值。

解：

由已知得， ， ，所以，

利用單位圓看待和研究三角函數(shù)時，三角函數(shù)本質(zhì)上就是向量。也就是說，向量能夠表示出三角函數(shù)。使用向量問題解決三角函數(shù)問題就是將三角函數(shù)運算圖像化、直觀化，簡單明了，更能體現(xiàn)向量的價值。

2.3向量在平面幾何中的應(yīng)用

例3：O是平面上的一個點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 ， ，則P的軌跡一定通過三角形ABC的__心。

解：設(shè) ， ，分別為AB和AC上的單位向量，所以， 向量所對應(yīng)的方向是三角形中角BAC的角平分線AD的方向。因為 ，所以， 的方向相同，而 ，即點P在AD上移動，P的軌跡過三角形ABC的內(nèi)心。

平面幾何就是主要研究圖形的數(shù)學問題，向量法能夠有效的處理三角形的三線四心問題，中線、角平分線、高、重心、垂心、內(nèi)心、外心等。在處理這些問題中，使用向量方法，可以不再糾結(jié)平面幾何關(guān)系問題，不用考慮輔助線，不用理清楚線線、線形之間的復雜關(guān)系，只需要根據(jù)題目條件列出向量式，通過計算的方法，就能輕松的解決問題。

2.4向量在解析幾何中的應(yīng)用

例4：橢圓 的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，當角F1PF2為鈍角時，點P 的橫坐標的取值范圍是____。

解： ，設(shè)P（x0，y0），則 ，因為角F1PF2為鈍角，所以 ，得 ，又由于 ，即 ，所以 。

向量在解析幾何中的應(yīng)用要比平面幾何更有效、更適用，也更有針對性。因為向量可以通過坐標表示，有自身的一套坐標計算方法，而解析幾何就是通過坐標的表示計算，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為直接的數(shù)學計算，更加精確也更直接。正是由于兩者的共性，向量與解析幾何有著密不可分的天然聯(lián)系。舉幾個例子，平面直角坐標系中兩點間的距離就是以這兩點為起始終止點向量的模；兩直線垂直就是兩向量內(nèi)積為零；兩直線平行、斜率相同就是相應(yīng)向量對應(yīng)坐標成比例等。如果在這些問題中考慮使用向量方法，就不在考慮平面關(guān)系，而是直接計算得出結(jié)論，能夠忽略由于難以做出幾何判定而題目難以進行的問題。

3.結(jié)語

向量是一個數(shù)學模塊的交叉點，有著許多的數(shù)學應(yīng)用，有著獨特的多樣化，有著巨大的活力和潛力。向量是一種數(shù)學工具，它建立起了從代數(shù)到幾何的一個橋梁，將代數(shù)問題幾何化能夠更直觀，更形象，思路更加清晰，分析更加容易；將幾何問題代數(shù)化能夠更簡便易行，更具有解題規(guī)律，只看重公式計算，忽略由于幾何判斷不準所導致的錯誤問題。一旦能夠運用向量數(shù)形結(jié)合，兼具優(yōu)勢，向量以其方法的程序性、快捷性、靈活性和實用性就能成為一種解題利器，因此是高考知識點中較為突出的部分。向量對于我們高中學生高考成績、未來發(fā)展都至關(guān)重要，在解題過程中我們應(yīng)該多多嘗試使用向量方法，對比總結(jié)，最終形成自己的一套解題思維。但需要注意的是，向量有其獨特優(yōu)勢，但也存在不足，就是計算量較大，計算難度較為復雜，需要我們耐心細致。

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