向量在高考數學中的運用

徐婧

摘 要：向量這一概念，在我們的高考數學中占據著重要地位，也成為了考試的熱點之一。向量是一種數學工具，能夠將計算問題轉化為幾何問題，是數形結合必不可少的一種重要手段。向量在很多領域都能體現自身的價值，運用向量方法解決數學問題，可能收到意想不到的效果，能夠大大提升解題速度，提高題目正確率。本文從向量在高考中的地位著手，將數量積、法向量、向量的模等知識點引入到高考數學重要的熱點、難點問題中去，簡單介紹了向量在高考數學中的應用。

關鍵詞：向量 高中數學 高考 應用

隨著我國教育水平的提升，向量理論快速發展。由于在后續大學的專業教育中，很多專業如力學專業、物理學、機械類等都需要具備一定的向量知識，所以向量得到了重視，高考中所涉及的向量問題也越來越多。將向量問題運用到高考數學中來，既能提升我們的解題速度，更能培養我們的發散性和邏輯性思維。

1.向量在高考數學中的地位

向量理論是近代數學理論中的基礎和重要概念之一。向量能夠聯系起代數、幾何和函數不等式，并成為了解決問題的有力武器。向量可應用范圍廣，可滲透進很多的數學理論中，并形成新的分析思路和解題方法。向量問題歸根結底是數形結合問題，將代數運算轉化為幾何關系，再通過向量的代數運算得到結果，既直觀又準確。向量將函數、不等式、三角函數、復數、平面幾何、解析幾何等數學內容交叉聯系起來，通過另一種思路和方法解決這些問題，有時候能夠收到事半功倍的效果，而向量在高考數學中也占有著不可替代的地位。

2.向量在高考數學中的應用

以下通過實例來分析向量在高考數學中的應用形式。

2.1向量在函數導數中的應用

例1：已知向量 ， ，若函數 在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍。

解：根據向量的運算可知， ， ，若 在（-1，1）上為增函數，則 ，因為 圖像開口向下，當且僅當 且 時成立，得出t的取值范圍 。

本道高考題，看似是與函數有關，其實就是在考察向量的內積運算，得出三次函數 ，分析參數的取值范圍，達到題設的條件。合理的使用向量方法，將題目逐步轉化為完全的函數問題，運用函數性質和理論處理向量問題，注重向量的引導性作用。

2.2向量在三角函數中的應用

例2：已知向量 ， ， ，且 ，求 的值。

解：

由已知得， ， ，所以，

利用單位圓看待和研究三角函數時，三角函數本質上就是向量。也就是說，向量能夠表示出三角函數。使用向量問題解決三角函數問題就是將三角函數運算圖像化、直觀化，簡單明了，更能體現向量的價值。

2.3向量在平面幾何中的應用

例3：O是平面上的一個點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 ， ，則P的軌跡一定通過三角形ABC的__心。

解：設 ， ，分別為AB和AC上的單位向量，所以， 向量所對應的方向是三角形中角BAC的角平分線AD的方向。因為 ，所以， 的方向相同，而 ，即點P在AD上移動，P的軌跡過三角形ABC的內心。

平面幾何就是主要研究圖形的數學問題，向量法能夠有效的處理三角形的三線四心問題，中線、角平分線、高、重心、垂心、內心、外心等。在處理這些問題中，使用向量方法，可以不再糾結平面幾何關系問題，不用考慮輔助線，不用理清楚線線、線形之間的復雜關系，只需要根據題目條件列出向量式，通過計算的方法，就能輕松的解決問題。

2.4向量在解析幾何中的應用

例4：橢圓 的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的動點，當角F1PF2為鈍角時，點P 的橫坐標的取值范圍是____。

解： ，設P（x0，y0），則 ，因為角F1PF2為鈍角，所以 ，得 ，又由于 ，即 ，所以 。

向量在解析幾何中的應用要比平面幾何更有效、更適用，也更有針對性。因為向量可以通過坐標表示，有自身的一套坐標計算方法，而解析幾何就是通過坐標的表示計算，將平面幾何問題轉化為直接的數學計算，更加精確也更直接。正是由于兩者的共性，向量與解析幾何有著密不可分的天然聯系。舉幾個例子，平面直角坐標系中兩點間的距離就是以這兩點為起始終止點向量的模；兩直線垂直就是兩向量內積為零；兩直線平行、斜率相同就是相應向量對應坐標成比例等。如果在這些問題中考慮使用向量方法，就不在考慮平面關系，而是直接計算得出結論，能夠忽略由于難以做出幾何判定而題目難以進行的問題。

3.結語

向量是一個數學模塊的交叉點，有著許多的數學應用，有著獨特的多樣化，有著巨大的活力和潛力。向量是一種數學工具，它建立起了從代數到幾何的一個橋梁，將代數問題幾何化能夠更直觀，更形象，思路更加清晰，分析更加容易；將幾何問題代數化能夠更簡便易行，更具有解題規律，只看重公式計算，忽略由于幾何判斷不準所導致的錯誤問題。一旦能夠運用向量數形結合，兼具優勢，向量以其方法的程序性、快捷性、靈活性和實用性就能成為一種解題利器，因此是高考知識點中較為突出的部分。向量對于我們高中學生高考成績、未來發展都至關重要，在解題過程中我們應該多多嘗試使用向量方法，對比總結，最終形成自己的一套解題思維。但需要注意的是，向量有其獨特優勢，但也存在不足，就是計算量較大，計算難度較為復雜，需要我們耐心細致。

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