聚焦微專題：中考二輪復習的實踐與思考
——以一組“關聯試題”復習為例

☉江蘇蘇州市吳江區松陵第一中學 沈麗婧

聚焦微專題：中考二輪復習的實踐與思考
——以一組“關聯試題”復習為例

☉江蘇蘇州市吳江區松陵第一中學 沈麗婧

中考二輪復習期間，大量的復習資料、專題復習、模考試題需要講評，常常在講評之后發現不少看似形式差異較大的綜合題，在解題思想、結構上卻有一定的關聯或相似之處.本文結合新近講評過的一些習題作一些例析和跟進思考，供研討.

一、關聯試題思路簡述與結構反思

（1）求k的值.

（2）如圖2，將∠MON繞點O旋轉，射線OM始終在第一象限，交l1于點C，射線ON交l2于點D，連接CD交y軸于點Q，在旋轉的過程中，∠OCD的大小是否發生變化？若不變化，求出tan∠OCD的值；若變化，請說明理由.

圖1

圖2

思路簡述：（1）限于篇幅不給出過程，k=-8.

（2）首先猜想∠OCD的大小不變.可以構造相似三角形來證明這一結論.如圖3，過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F.

圖3

結構反思：第（2）問的難點在于構造出△DFO∽△OEC，利用這組相似三角形的兩條直角邊對應成比例來貫通思路，而它們的直角邊恰與直線與“雙曲線”的兩個交點的坐標有關！

題2：（2013年江蘇南通中考，第28題）如圖4，直線y= kx+b（b＞0）與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，與x軸的正半軸相交于點D，與y軸相交于點C.設△OCD的面積為S，且kS+32=0.

（1）求b的值；

（2）求證點（y1，y2）在反比例函數的圖像上；

（3）求證x1·OB+y2·OA=0.

圖4

圖5

思路簡述：（1）限于篇幅，直接給出b=8.

則點（y1，y2）在反比例函數的圖像上.

（3）如圖5，分別過點A和點B作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，則OE=-x1，AE=y1，OF=x2，BF=y2.由（2）得y1y2=-x1x2，則又∠AEO=∠OFB=90°，則△AEO∽△OFB.則以-x1·OB= y2·OA，即x1·OB+y2·OA=0.

結構反思：如圖4，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y=ax2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，與x軸的正半軸相交于點D，與y軸相交于點C.當ab=1時，△AOB一定是直角三角形.

我們曾改編過如下一道變式考題安排學生練習，這里可附出這一素材：

題3：（變式題）如圖4，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y= ax2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，與x軸的正半軸相交于點D，與y軸相交于點C.

（2）在（1）的條件下，求證點（y1，y2）在反比例函數y=的圖像上.

（3）小樂經過演算發現：當ab=1時，△AOB一定是直角三角形.請判斷“小樂發現”的真假，并說明理由.

教學手記：前兩問只是題2的簡單數據的改編，第（3）問則引導學生走一般，說明理由.以下是一個優秀學生給出的解法（如圖6），思路能夠貫通，但在處理“y1y2= -x1x2”這一步時略顯跳躍.

圖6

題4：（2014年四川宜賓，有精減）如圖7，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M（0，-1），與x軸交于A、B兩點.設正比例函數y=kx的圖像與拋物線交于C、D兩點，連接MC、MD，求證MC⊥MD.

圖7

圖8

思路簡述：如圖8，分別過點C、D作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線，交EC于G，交DF于H.

設D（m，m2-1）、C（n，n2-1）.聯立拋物線、直線方程轉化為一元二次方程：y=x2-kx-1.這樣由根與系數的關系得mn=-1.CG=yC-yG=n2-1-（-1）=n2，DH=yD-yH=m2-1-（-1）=m2，于是CG·DH=m2·n2=1，于是GM·MH=CG·DH，從而得出△CGM∽△MHD，即可貫通思路.

結構反思：可以發現，題4的證明思路與題2、題3是一致的，只是題4將x軸向上平移了1個單位而已，證明思路仍然是構造一組直角三角形相似.

二、關于中考專題復習的初步思考

上面這個素材是我們在中考二輪專題復習時的一些積累，主要還是來自于解后的教學手記，這啟示著我們關于中考專題復習的一些思路.

1.專題復習的切入口宜小，不宜廣種薄收，力爭一課一得.

我們注意到不少教輔資料上對于中考專題復習常常劃分為：最值問題、新定義問題、設計優化問題、圖表信息問題、實際應用問題、閱讀理解問題、開放探究問題、動態探究問題等形式化、表面化的分類專題.比如，一節閱讀理解題的專題復習中所選例題之間只是形式上有閱讀理解的外貌，卻在各自解法上南轅北轍，缺少內在的關聯.我們認為這種廣種薄收的專題復習雖然十分流行，但是值得商榷，有很大的改進空間.上文中我們把一類形式不同的綜合題歸到一個小專題進行研究，就是從解題思路、問題結構上關聯思考，訓練學生的眼力、洞察具有相同結構的難題.

2.專題復習的習題需精選，削枝強干，突出專題訓練重點.

中考復習課通常只有40分鐘左右，而一道綜合題的答題時間從命題預設的角度也在30分鐘以上，所以中考專題復習如果定位在綜合題的講評輔導，對入選試題需要進行刪減，特別是要削枝強干，突破本節課訓練的重點.比如，上文中題4原是一道中考壓軸題（設有系列3個小問），但我們將其選入專題復習，為了使其與前面3個試題具有高度相關性，我們將其刪減，保留了第（3）問的求證方向，也就突出了本專題的訓練重點.

3.專題復習后需變式再練，簡單改編與拓展思考相結合.

由于中考二輪復習常常聚焦于中考較難題、把關題、壓軸題，這些試題往往源于各級模考、中考試題中承載區分功能的難題，所以僅僅是在課堂上合作探究、貫通思路，根據教學經驗，仍然有很多學生難以當堂消化理解，所以必要的跟進變式再練十分重要.這也是我們在上面提供“題3”的原因，根據我們對題3訓練效果的反饋，學生對簡單改編的前兩問訓練效果還不錯，但是最后一問的拓展思考，全班只有少數幾個學生能貫通思路或看出解題方向，但在演算上仍然缺少規范、嚴謹的步驟.

三、寫在后面

中考復習“歲歲年年花相似，但年年歲歲花不同”.因為中考復習沒有課標的規定、缺少教材的支持，教學內容需要靠教師自主研發，這就給廣大教師帶來了專業自主的空間，能否使多年來的“八股化”題型復習走向更具內在關聯的微專題復習，是值得深入思考的研討方向.我們的努力還很初步，期待更多的批判與實踐跟進.

1.何明.由博返約，追求簡潔——一道“雙曲線”綜合題的命題過程［J］.中學數學（下），2015（11）.

2.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學數學（高中版），2010（11）.

3.劉東升.我們需要怎樣的“問題”驅動課堂——由美國莎維女士執教的函數圖像課說起［J］.教育研究與評論（課堂觀察版），2016（11）.

4.王友峰.專業自主增設內容，回看陳題洞察結構——九年級“探究四點共圓”教學設計與解讀［J］.中學數學（下），2016（12）.