淺談如何運用奇函數研究對稱中心

孫飛

奇偶性是函數重要的性質之一，它是對函數對稱性的描述，比如，奇函數的圖像關于原點對稱，即原點是奇函數的對稱中心.奇函數的本質是中心對稱的一種特殊情況，以非原點為對稱中心的函數圖像可以通過至多兩次平移將其轉化為以原點為對稱中心的奇函數，從而達到化繁為簡的目的.

一、聯系奇函數，求對稱中心

通過研究函數各個部分的奇偶性，尋找與之關聯的奇函數，根據解析式之間的差異調整化簡，最終鎖定一個與原函數關聯的奇函數，根據兩者之間的圖像變換，求出原函數的對稱中心.

例1求函數f（x）=（x+1）2+x3x2+1的對稱中心.

解f（x）=（x+1）2+x3x2+1=x2+1+2x+x3x2+1=1+2x+x3x2+1，

設g（x）=2x+x3x2+1，g（-x）=-2x-x3x2+1=-g（x），

所以g（x）為奇函數，對稱中心為原點.

因為g（x）向上平移1個單位得到f（x），

所以f（x）的對稱中心為（0，1）.

由例1的解答過程可見，我們需要掌握一些奇函數作為知識儲備，才能迅速準確地找到與原函數關聯的奇函數，然后證明奇函數，比較解析式之間的差異，通過圖像變換聯系原函數，求出對稱中心.常見的奇函數如下：正比例函數y=kx（k≠0），反比例函數y=kx（k≠0），形如y=cx+dax+b=m+kx-n的函數關聯反比例函數，形如y=ax-1ax+1，y=logamx+nmx-n是奇函數，冪函數y=xα當α為奇數時為奇函數，三角函數y=sinx，y=tanx是奇函數，形如y=x+kx（k≠0）的函數為奇函數.

例2求函數f（x）=4x+1+64x+1+sinx的對稱中心.

解f（x）=4x+1+64x+1+sinx=4（4x+1）+24x+1+sinx=4+24x+1+sinx，而y=4x-14x+1=4x+1-24x+1=1+-24x+1.

此時所掌握的奇函數與原函數中的y=24x+1部分并不完全匹配，主要相差一個符號，我們可以通過調整奇函數來消除它們之間的差異.調整情況如下：

g（x）=1-4x4x+1+sinx=2-（4x+1）4x+1+sinx=-1+24x+1+sinx，g（-x）=1-4-x4-x+1+sin（-x）=4x-11+4x-sinx=-g（x），

所以g（x）為奇函數，對稱中心為原點.

而f（x）=4+24x+1+sinx=-1+24x+1+sinx+5，

因為g（x）向上平移5個單位得到f（x），

所以f（x）的對稱中心為（0，5）.

二、猜對稱中心，證明奇函數

有些函數與奇函數的聯系并不明顯，很難判斷其與哪種奇函數存在關聯.在這種情況下，我們可以通過定義域或值域、極值點等圖像性質猜想出對稱中心，再將其對稱中心平移至原點，證明新函數為奇函數即可.

例3求函數f（x）=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4的對稱中心.

解定義域為{x|x≠-1，x≠-2，x≠-3，x≠-4}，

由定義域的對稱性猜想對稱中心的橫坐標為-52，又f-52=4，由此，猜想f（x）的對稱中心為-52，4.

將函數f（x）圖像向右平移52個單位，再向下平移4個單位得到函數

g（x）=fx-52-4=-212x-3+12x-1+12x+1+12x+3.

只要證明g（x）是奇函數即可.

g（-x）=212x+3+12x+1+12x-1+12x-3=-g（x），

g（x）為奇函數，即證.

例4求函數f（x）=6-2x2x+2的對稱中心.

解定義域為R，值域為（-1，3），由值域的對稱性猜想對稱中心的縱坐標為1，

令f（x）=1，得x=1，猜想f（x）的對稱中心為（1，1）.

將函數f（x）圖像向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到函數

g（x）=f（x+1）-1=6-2x+12x+1+2-1=3-2x2x+1-1=21-2x2x+1.

只要證明g（x）是奇函數即可.

g（-x）=21-2-x2-x+1=22x-12x+1=-g（x），

g（x）為奇函數，即證.

例3、例4分別從定義域與值域的對稱性猜想出對稱中心，前提是定義域或值域非R.若是遇到定義域與值域均為一切實數的函數，研究它的對稱中心，我們需要另辟蹊徑.

例5求函數f（x）=x3-3x2+4的對稱中心.

解定義域為R，值域為R，

f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），令f′（x）=0，得x=0或2.

x（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）極大值4極小值0由極大值與極小值，猜想f（x）的對稱中心為（1，2）.

將函數f（x）圖像向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到函數

g（x）=f（x+1）-2=（x+1）3-3（x+1）2+4-2=（x+1）2（x-2）+2=x3-3x，

只要證明g（x）是奇函數即可.

g（-x）=-x3+3x=-g（x），

g（x）為奇函數，即證.