例談估算法在解題中的應用

程光宇+柏銀花

《數學課程標準》指出：“加強估算，鼓勵算法多樣化.”估算在人們的日常生活、生產勞動和科學實驗中有著較為廣泛的應用，估算能力是計算能力不可缺少的組成部分.所謂估算，實質上是一種快速的近似計算，它的基本特點是對數值做適當的擴大或縮小，從而對運算結果確定一個范圍，或做出一個估計.

一、解方程或判定根的個數

例1方程x3+lgx=18的根x≈.（結果精確到0.1）

分析這是一道典型的近似計算題，利用數形結合可能不夠精確，令f（x）=x3+lgx-18，易知x>0時，f（x）為增函數，由于f（2.5）<0，-f（2.7）>0，所以，方程f（x）=0的根x∈（2.5，2.7），故x≈2.6.

例2求方程lgx-sinx=0根的個數.

分析此題利用數形結合的方法，但需要注意的是繪制出lgx，sinx圖像的變化情況.因為|sinx|≤1，所以lgx與sinx的圖像只有在[-1，1]之間的部分才可能有交點.則lgx<1lgx

二、三角函數中的估算

例32sin40°+12sin40°-1x=2+3，則x等于（）.

A.tan5°B.tan15°C.tan25°D.tan75°

分析x=（2+3）2sin40°-12sin40°+1.

∵sin40°∈（sin30°，sin45°）=12，22，

故把sin40°≈0.6代入上式有x≈0.34.

又tan15°=2-3≈0.27，tan30°=33≈0.58，故選C.

例4若tanx=2aba2-b2，其中a>b>0，且0°

A.baB.a2-b22aC.2aba2+b2D.a2+b22a

分析取a=0時tanx=0，x=0°，故sinx=0，由此可知，當a從無窮大趨于零時，答案應趨于零，故A、B、D錯，選C.

針對計算型的選擇題，可巧妙地應用估算法，從而快速選出答案，避免煩瑣的計算.

三、立體幾何中的估算

例5在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF與平面的距離為2，則該多面體的體積為（）.

A.92B.5C.6D.152

分析對于求體積的問題，我們目前只會計算特殊立體圖形的體積，本問題中多面體既不是我們熟悉的棱柱又不是我們熟悉的棱錐，如何化解矛盾呢？

不妨從特殊情況入手，將EF長度看作0，那么圖中多面體變成我們所熟悉的四棱錐，因此，體積V=13×32×2=6，顯然原問題中多面體體積應大于6，故選D.

四、解析幾何中的估算

例6過拋物線y=ax2（a>0）的焦點F作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF，QF長分別為p，q，則1p+1q等于（）.

A.2aB.12aC.4aD.14a

分析本題是有關不變性的問題，常規解法是探求p，q，a的關系.過程煩瑣，且計算較復雜，若能充分認識到變與不變的辯證關系，利用運動和變化的觀點，借助于極限思想，即取PQ極限位置，可使問題變得簡單易行.將直線PQ繞點F順時針方向旋轉到y軸重合，此時Q，O重合，點P運動到無窮遠處，所以不能稱它是拋物線的弦，但它是弦的一種極限情形，因為QF=q=OF=14a，而PF=p→+∞，所以1p+1q→4a，故選C.

五、不等式中的估算法

不等式中常用的放縮法即是一種估算的結論，通過估算對原式進行放縮以達到解題的目的.

例7求證1+12+13+14+…+1n<2n（n∈N+）.

分析利用分數性質，可以適當增項、減項，運用放縮法證明，但需要注意放縮要適度，否則不能同向傳遞.

證明∵1n=22n<2n+n-1=2（n-n-1），

∴12<2（2-1），

13<2（3-2），

…

1n-1<2（n-1-n-2），

1n<2（n-n-1）；

以上各式相加，

得1+12+13+14+…+1n<2n，所以不等式成立.

教師在教學中不僅要注重估算方法的理解、學生間不同估法的交流，更要把估算置于解決問題的大背景下，讓學生分析問題，選擇合適的策略解決問題.在問題解決過程中，自覺地把計算和實際問題情境聯系起來.理解為什么要估算，什么時候要用到估算，將估算作為解題的一個組成部分.