從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度理解“平均數(shù)”
——“平均數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與思考

北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué) 牛獻(xiàn)禮

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度理解“平均數(shù)”
——“平均數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與思考

北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué) 牛獻(xiàn)禮

牛獻(xiàn)禮中學(xué)高級(jí)教師，小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，現(xiàn)任教于北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

曾于1999年榮獲全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)第四屆評(píng)優(yōu)課一等獎(jiǎng)；多節(jié)錄像課由中央電教館、河南省電教館、北京市電教館等單位發(fā)行；2012年12月，在中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)第十五屆年會(huì)上執(zhí)教觀摩課；在省級(jí)教育類刊物上發(fā)表教學(xué)論文、案例等100多篇，40余篇論文獲省、市級(jí)以上獎(jiǎng)勵(lì)，參與編著《名師如何觀察課堂》《名師課堂DNA解碼》（小學(xué)數(shù)學(xué)卷）、《可以這樣教數(shù)學(xué)》（數(shù)學(xué)名師的教學(xué)智慧）等多本教育類書(shū)籍，主持的五項(xiàng)教育科研成果獲省級(jí)一、二等獎(jiǎng)。

平均數(shù)是一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，它的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是能刻畫(huà)、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平（一般水平）。在教學(xué)中，如何落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所強(qiáng)調(diào)的“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度理解平均數(shù)”呢？如何將算法水平的理解與統(tǒng)計(jì)學(xué)水平的理解整合起來(lái)呢？筆者在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)“記數(shù)游戲”的情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)平均數(shù)的代表性。接著，借助直觀形象的象形統(tǒng)計(jì)圖，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過(guò)程，直觀理解“平均數(shù)能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的整體水平”。然后，精心設(shè)計(jì)應(yīng)用練習(xí)，把“平均數(shù)”與真實(shí)的生活情境相鏈接，在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用平均數(shù)，體驗(yàn)平均數(shù)，從而更深入地理解平均數(shù)的意義。

平均數(shù) 統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 情境

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“平均數(shù)”

教學(xué)思考：

學(xué)生如何學(xué)習(xí)“平均數(shù)”這一重要概念呢？傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對(duì)所給數(shù)據(jù)(有時(shí)甚至是沒(méi)有任何統(tǒng)計(jì)意義的抽象數(shù))計(jì)算其平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡(jiǎn)單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)理解平均數(shù)，然而什么是“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度”來(lái)理解平均數(shù)呢？在教學(xué)中如何落實(shí)？如何將算法水平的理解與統(tǒng)計(jì)學(xué)水平的理解整合起來(lái)？

平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫(huà)、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平（一般水平）。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)(雖然可能碰巧等于某個(gè)原始數(shù)據(jù))，但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對(duì)兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)槠骄鶖?shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。

那么，在教學(xué)中如何落實(shí)呢？筆者在課的起始環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了“記數(shù)游戲”的教學(xué)情境，并精心設(shè)計(jì)了歡歡的三次記憶數(shù)據(jù)都是“5”，目的是讓學(xué)生憑直覺(jué)體驗(yàn)平均數(shù)的代表性；而樂(lè)樂(lè)的三次記憶數(shù)據(jù)分別是5、4、9，到底哪個(gè)數(shù)據(jù)能代表樂(lè)樂(lè)的一般水平呢？自然激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突。設(shè)計(jì)這些活動(dòng)的核心就是讓學(xué)生體驗(yàn)平均數(shù)的代表性。

計(jì)算平均數(shù)通常有兩種方法，即“移多補(bǔ)少”和“總數(shù)÷份數(shù)”，每種方法的教育價(jià)值各有側(cè)重點(diǎn)，其核心都是強(qiáng)化對(duì)平均數(shù)意義的理解，而非僅僅計(jì)算出結(jié)果。教學(xué)中，利用直觀形象的象形統(tǒng)計(jì)圖，通過(guò)動(dòng)態(tài)的“移多補(bǔ)少”過(guò)程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐。這樣做，強(qiáng)化了平均數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，是對(duì)平均數(shù)能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的整體水平的進(jìn)一步直觀理解，強(qiáng)化了對(duì)平均數(shù)意義而非算法的理解。

在通過(guò)兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問(wèn)：“這里的平均數(shù)6是樂(lè)樂(lè)第一次記住的個(gè)數(shù)嗎?”“是樂(lè)樂(lè)第二次、第三次記住的個(gè)數(shù)嗎?”“那它代表的究竟是哪一次的個(gè)數(shù)?”通過(guò)這樣的追問(wèn)，連同后續(xù)教學(xué)中的“計(jì)算自己記數(shù)的平均數(shù)”，幫助學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫(huà)整體水平而不是真正的其中某一次記住的個(gè)數(shù)，從而強(qiáng)化了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

由于平均數(shù)這個(gè)概念對(duì)小學(xué)生而言是非常抽象的(因?yàn)樗疤摶谩保瑢W(xué)生不能具體看到)，平均數(shù)的背景也很復(fù)雜，因此能敘述出“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”或者“會(huì)計(jì)算平均數(shù)”并不等于真正理解了平均數(shù)，還要看能否在不同情境中運(yùn)用平均數(shù)，能使用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生就初步理解了平均數(shù)，而且也更容易感受到平均數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。為此，教學(xué)中精心設(shè)計(jì)了“全班同學(xué)的平均身高”“辯一辯，說(shuō)一說(shuō)”“想一想，選一選”的應(yīng)用練習(xí)，把“平均數(shù)”與真實(shí)的生活情境相鏈接，在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用平均數(shù)、體驗(yàn)平均數(shù)，從而更深入地理解平均數(shù)的意義。

教學(xué)過(guò)程：

一、記數(shù)游戲——認(rèn)識(shí)“平均數(shù)”

規(guī)則：每次出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，觀察2秒鐘，看你每次能記住幾個(gè)數(shù)字。

1.師生一起玩三次，讓學(xué)生記錄自己每次記住的數(shù)字個(gè)數(shù)。

2.出示：歡歡和樂(lè)樂(lè)比賽，“誰(shuí)記住的數(shù)字多”。

出示：（1）歡歡3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計(jì)表（3個(gè)5逐次呈現(xiàn)）。

師：還真巧，歡歡三次都記住了5個(gè)。看來(lái)，要表示歡歡能記住的個(gè)數(shù)，用哪個(gè)數(shù)比較合適？為什么？

生：因?yàn)樗味际怯涀×恕?個(gè)”，所以用“5”這個(gè)數(shù)代表歡歡的水平。

（2）樂(lè)樂(lè)3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計(jì)表。

師：樂(lè)樂(lè)三次記住的個(gè)數(shù)都不相同，又該用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示樂(lè)樂(lè)記住數(shù)字的一般水平呢?（同學(xué)們意見(jiàn)不一）

質(zhì)疑：能不能用“9”來(lái)表示樂(lè)樂(lè)記住的個(gè)數(shù)呢？（對(duì)歡歡“不公平”）那能不能用“4”來(lái)表示樂(lè)樂(lè)記住的個(gè)數(shù)呢？（對(duì)樂(lè)樂(lè)“不公平”）

生：應(yīng)該計(jì)算出這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用平均數(shù)表示比較公平。

師：怎樣求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢？

生：（4+5+9）÷3=6（個(gè)），先求出三次記住的總個(gè)數(shù)，再用總個(gè)數(shù)除以3，就是平均一次記住的個(gè)數(shù)。（板書(shū)：總數(shù)÷次數(shù)=平均數(shù)）

生：還可以把多的數(shù)給少的數(shù)，勻一勻，求平均數(shù)。出示：象形統(tǒng)計(jì)圖，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過(guò)程。

樂(lè)樂(lè)3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計(jì)圖

師：數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使得每個(gè)數(shù)都一樣多，這種求平均數(shù)的方法叫作“移多補(bǔ)少”。移完后，樂(lè)樂(lè)每次記住了幾個(gè)?（6個(gè)）能代表樂(lè)樂(lè)記住數(shù)字的一般水平嗎？（能）

師：其實(shí)，無(wú)論是“移多補(bǔ)少”，還是“總數(shù)÷次數(shù)”，目的只有一個(gè)，就是使原來(lái)幾個(gè)不相同的數(shù)變得同樣多，數(shù)學(xué)上把這個(gè)數(shù)叫作原來(lái)這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)（板書(shū)）。在這里，我們就說(shuō)6是5、4、9這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

追問(wèn)：這里的平均數(shù)“6”是樂(lè)樂(lè)第一次記住的數(shù)字嗎？（不是）是他第二次、第三次記住的數(shù)字嗎？（不是）那奇怪啦，哪一次也沒(méi)記住6個(gè)數(shù)字呀？那它究竟代表的是什么呢？

生1：代表的是“平均”記住的個(gè)數(shù)。

生2：代表的是他的平均水平。

師：“6個(gè)”是三次的個(gè)數(shù)“勻”出來(lái)的，平均數(shù)“6”代表的是這三次的平均水平。（板書(shū)：平均水平）用平均數(shù)“6”代表樂(lè)樂(lè)的水平，公平嗎？

生：公平！

二、聯(lián)系實(shí)際——深化理解“平均數(shù)”

1.計(jì)算自己的“記數(shù)平均數(shù)”

讓生獨(dú)立計(jì)算出自己記數(shù)的平均數(shù)，全班交流。

生1：我三次分別記住了4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)，平均數(shù)是（4+6+8）÷3=6。

生2：我三次分別記住了6個(gè)、8個(gè)、9個(gè)，平均數(shù)是（6+ 8+9）÷3≈7.7。

生3：我三次分別記住了6個(gè)、10個(gè)、9個(gè)，平均數(shù)是（6+ 10+9）÷3≈8.3。

……

師：很奇怪！你們記數(shù)時(shí)，要么記住了，要么沒(méi)有記住，怎么出現(xiàn)了小數(shù)呢？

生1：因?yàn)檫@是平均數(shù)，并不是實(shí)際記住的數(shù)，所以可以是小數(shù)。

生2：平均數(shù)并不是真實(shí)的數(shù)，是代表平均水平的數(shù)，所以出現(xiàn)小數(shù)很正常。

師：確實(shí)，平均數(shù)并不是每一次記住的真實(shí)的個(gè)數(shù)，而是一個(gè)“虛幻”的數(shù)，代表的是這一組數(shù)據(jù)的平均水平。

2.生活中的“平均數(shù)”

師：說(shuō)一說(shuō)生活中你在哪里見(jiàn)到過(guò)“平均數(shù)”。

生：考試平均分、平均身高、平均體重、平均年齡……

現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量全班最高和最矮的兩位同學(xué)的身高（1.65米、1.41米）。

師：你估計(jì)一下我們班同學(xué)的平均身高是多少米？

生：1.45米、1.48米、1.50米、1.47米……

師：你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均身高是1.65米呢？

生：1.65是最大的數(shù)，它還要移一些補(bǔ)給少的。所以不可能是1.65米。

師：你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均身高是1.41米呢？

生：1.41米是最小的數(shù)，其他數(shù)都比它大，移一些補(bǔ)給它以后，就不止是1.41米了。

師：這樣看來(lái)，盡管還沒(méi)有計(jì)算，但我們可以肯定的是，平均身高應(yīng)該比這里最大的數(shù)——

生1：小一些。

生2：還要比最小的數(shù)大一些。

生3：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

師：平均數(shù)是一個(gè)——

生：不大不小的數(shù)。（板書(shū)：不大不小的數(shù)）

三、應(yīng)用練習(xí)——深化理解“平均數(shù)”

1.辯一辯，說(shuō)一說(shuō)

（1）學(xué)校籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高是160厘米，籃球隊(duì)員壯壯的身高有可能是155厘米嗎？（）

生：有可能。

師：不對(duì)呀!不是說(shuō)隊(duì)員的平均身高是160厘米嗎?

生：平均身高160厘米，并不表示每個(gè)人的身高都是160厘米。萬(wàn)一壯壯是隊(duì)里最矮的那個(gè)，當(dāng)然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊(duì)員身高的一般水平，并不代表隊(duì)里每個(gè)人的身高。壯壯有可能比平均身高矮，如155厘米，當(dāng)然也可能比平均身高高，如170厘米。

師：看來(lái)，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不是其中的一個(gè)數(shù)據(jù)。

（2）池塘平均水深120厘米，亮亮想：我身高155厘米，下水游泳一定不會(huì)有危險(xiǎn)。（）

生：不對(duì)!

師：為什么呀？亮亮的身高不是已經(jīng)超過(guò)平均水深了嗎?

生：平均水深120厘米，并不是說(shuō)池塘里每一處的水深都是120厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如180厘米。所以，亮亮下水游泳可能會(huì)有危險(xiǎn)。

師：說(shuō)得真好!想看看這個(gè)池塘水底下的真實(shí)情形嗎?

出示池塘水底的剖面圖，印證同學(xué)的說(shuō)法。

生（很驚訝）：原來(lái)是這樣，真的有危險(xiǎn)!

（3）樂(lè)樂(lè)所在的三（1）班，同學(xué)們的平均身高是1.36米；可可所在的三（2）班，同學(xué)們的平均身高是1.32米。判斷下面說(shuō)法是否正確，為什么？

①樂(lè)樂(lè)一定比可可長(zhǎng)得高。（）

生：不對(duì)。因?yàn)闃?lè)樂(lè)有可能是三（1）班里最矮的，他的身高不到1.36米，甚至1.32米都不到，高個(gè)同學(xué)需要“勻”一些身高給他；可可有可能是三（2）班里最高的，他的身高“勻”給了個(gè)矮的同學(xué)。

②總體上說(shuō)，三（1）班同學(xué)比三（2）班同學(xué)長(zhǎng)得高。（）

生1：不對(duì)，因?yàn)閮蓚€(gè)班的人數(shù)有可能不一樣多。

生2：是對(duì)的，因?yàn)轭}目中說(shuō)“總體上說(shuō)”，是看他們的“總體水平”，而我們學(xué)過(guò)“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體水平”，所以比較平均數(shù)就行了。1.36大于1.32，就說(shuō)明總體上說(shuō)，三（1）班比三（2）班同學(xué)長(zhǎng)得高。

師：你同意哪一種意見(jiàn)？（生2）確實(shí)，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的總體水平，“總體上說(shuō)”，三（1）班的1.36米要比三（2）班的1.32米高。

2.想一想，選一選

小林和小華進(jìn)行了三場(chǎng)套圈比賽，每人每次都是套15個(gè)圈，下面是小林套中個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)。

A.比10個(gè)多B.比10個(gè)少C.套中10個(gè)

師：小林第三次套中的個(gè)數(shù)可能會(huì)是多少呢？為什么？

師：能確定第三次套中幾個(gè)嗎？為什么？

生1：7個(gè)。因?yàn)榈谝淮蔚?2比平均數(shù)10多2個(gè)，就需要移走2個(gè)，第二次的11比平均數(shù)多1個(gè)，需要移走1個(gè)，這樣一共要移走3個(gè)給第三次，所以第三次是10減3等于7個(gè)。

生2：我補(bǔ)充一下他的說(shuō)法，因?yàn)榈谝淮魏偷诙味急绕骄鶖?shù)多，它們都要移走幾個(gè)給第三次，所以第三次一定比平均數(shù)少。

生3：我是算出來(lái)的，10×3=30（個(gè)），30－12－11=7（個(gè)）。

師：真好！利用“移多補(bǔ)少”或者計(jì)算都能知道第三次是7個(gè)。如果第三次套中的不是7個(gè)，而是4個(gè)，平均數(shù)又該是多少？

生1：12+11+4=27（個(gè)），27÷3=9（個(gè)）。

生2：不用算就能知道，原來(lái)是7個(gè)，現(xiàn)在是4個(gè)，少了3個(gè)，平均分到每一次上，每一次正好可以分1個(gè)，所以平均數(shù)就少了1，變成了9個(gè)。

出示：兩次套圈情況統(tǒng)計(jì)圖。

師：請(qǐng)大家觀察剛才兩次套圈的統(tǒng)計(jì)圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：前兩次成績(jī)一樣，第三次成績(jī)變了。

師：兩次的平均數(shù)呢？

生：也不一樣。

師：看來(lái)，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個(gè)數(shù)？

生：一個(gè)數(shù)。

師：難怪有人說(shuō)，平均數(shù)很敏感，一組數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)有點(diǎn)兒“風(fēng)吹草動(dòng)”，都會(huì)使平均數(shù)發(fā)生變化。現(xiàn)在看來(lái)，這話有道理嗎?(有)大家還有別的發(fā)現(xiàn)嗎?

生：比平均數(shù)多的部分和比平均數(shù)少的部分一樣多，都是3個(gè)。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都一樣多呢?

生：如果不一樣多，超過(guò)的部分移下來(lái)后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數(shù)了。

師：說(shuō)得有道理！這也是平均數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)。

四、課堂總結(jié)。