泰勒公式在高等數學中的應用研究

胡馨月

摘 要：在現代教育研究領域的不斷拓展，泰勒公式成了高等數學中的一個重要知識點，且對高等數學的發展有很大的作用。泰勒公式可以將一些復雜函數近似地轉化為簡單的多項式函數，能用高次多項式進行精確度要求較高的運算。也是人們分析和研究數學問題的一個重要的工具，目前在高等數學中的應用十分廣泛。

關鍵詞：泰勒公式 高等數學 應用

泰勒公式是求解高等數學問題的一個重要工具。其在微積分的各個方面都有廣泛應用。尤其是在近似計算，誤差估計以及判斷函數增減性、凹凸性等方面也有很好的應用。泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。 在函數的圖像足夠光滑，并且已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值，而且還能計算出多項式和實際的函數值之間的偏差。泰勒公式不僅能解決特殊類型的有理函數不定積分，而且還能求解出函數的極限。

一、泰勒公式

泰勒公式是根據該函數的特性對其進行求解，我們可以使用泰勒公式將一些非初等函數轉換為多項式函數進行計算，從而在一定程度上省略了很多換算的步驟。這也是在高等數學它能廣泛應用的一個重點。泰勒公式：f（x）=f（x0）+f（x0）/1！*（x-x0）+f（x0）/2！*（x-x0）^2+…+f^（n）（x0）/n！（x-x0）^n+o（（x-x0）^n）。我們把其中的o（（x-x0）^n）稱之為拉格朗日型余項。特別應該注意的是在對泰勒公式的使用有一些具體的條件就是必須保證函數f（x）的n階可導，然后才能轉化和計算。

二、泰勒公式在高等數學中的應用

1.利用泰勒公式求函數極限

高等數學中求解未定式極限是極限運算中的典型問題，用等價無窮小量替換求極限是一種有效的方法。運用泰勒公式法需要注意的一個問題是將函數展開至化簡后n+1階導存在即可。利用泰勒展開式的余項可以近似的表示近似這個函數后所產生的誤差，使誤差不超過預期。有時在想要證明不等式中含有一階以上的導數時，一般在于根據題設的條件來選擇要展開的函數、在哪一點的鄰域將函數展開、展開的階次及余項的形式。

舉個例子，如何利用泰勒公式求未定式的極限。未定式一般是用洛比達法則求解，在分子分母的階數都是無窮小時必須進行多次洛比達法則，越微分會越復雜，此時若使用泰勒公式會更簡單。有些求無窮型極限可以用洛比達法則求解，不過此時利用泰勒公式可以將問題大大簡化。利用泰勒公式求極限是一種利用等價無窮小的替代來計算極限的方法，其實質是將函數用泰勒公式展開，再利用了泰勒公式的分式作用化簡再利用無窮小階的估計，從而得到極限。

2.判斷級數的斂散性

當級數的通項表達式是一種比較繁難形式時，往往利用泰勒公式將級數通項簡化或統一形式。此時一般需要考慮兩個問題。

一是數項級數的斂散性判斷，當級數的通項表達式是由不同類型函數式構成的復雜形式時，如何要利用泰勒公式將級數通項簡化？此時我們需要直接根據通項去判斷級數無法恰當選擇判斂方法。使用放縮等技巧是比較判別法常用的技巧。

二是如何判斷函數項級數的斂散性？我們一般常用的是魏爾斯特拉斯判別法，通過與正項常數項級數進行比較來判斷是否一致收斂。在此過程中，我們可以利用泰勒公式對函數進行展開，從而與正項常數項級數進行比較，然后進行進一步的判斷。

3.證明不等式

泰勒公式不僅在理論上占有重要的地位，也數學分析中是一個非常重要的內容，微分學理論中利用泰勒公式建立了函數的增量和自變量增量與一階及高階導數之間的關系，能把一些復雜的函數近似地表示為較為簡單的多項式函數，由此泰勒公式成為了把復雜變簡單的有力工具。所以我們可以使用泰勒公式來確定無窮小的階，極限，以及不等式與等式的證明等。在高等數學中，證明不等式的方法很多。有時在欲證不等式中含有一階以上的導數時，一般在于根據題設的條件來選擇要展開的函數、在那一點的鄰域將函數展開、展開的階次及余項的形式。在證明已知最高階導數的符號時，用泰勒公式先直接寫出的泰勒展開式，然后在具有二階或二階以上連續導數的前提下，一般先作輔助函數進行泰勒展開，然后對泰勒余項作適當處理。舉個例子，在利用泰勒公式證明代數不等式時，我們將不等式化簡，我們要構造函數，利用泰勒公式將不等式轉化成不等式組，再利用泰勒公式展開求解。

4.證明中值公式

若欲證的結論是至少存在一點代數式，則可以考慮使用輔助函數法，輔助函數由定理的結論即得命題的證明。即通過恒等變形將結論化為以消除導數符號的形式，用積分法求出原函數，通過移項使等式一邊為零，則另一邊將結論中的c換成x就可以直接將被積函數設為輔助函數，即可以解出此題。

總之，泰勒公式不僅在理論上占有重要的地位，而且在函數斂散性的判斷、近似計算、極限計算、等式與不等式的證明、等方面有重要 的應用。在解題訓練中要把握處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。

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