對稱性在定積分近似計算中的應用

趙麗麗

（赤峰學院 計算機與信息工程學院 內蒙古 赤峰 024000）

對稱性在定積分近似計算中的應用

趙麗麗

（赤峰學院 計算機與信息工程學院 內蒙古 赤峰 024000）

在定積分的近似計算中，梯形法、拋物線法往往需要計算的函數值的個數比較多，但對于一些有對稱性的函數，在進行定積分近似計算時利用對稱性可以減少函數值的計算量.本文將對四種有對稱性的函數進行討論，以供參考.

定積分；近似計算；誤差估計；對稱性

1 引言

在定積分的近似計算中，被積函數f(x)往往具有某些對稱性，本文是在利用復化梯形求積公式、復化拋物線求積公式求定積分的基礎上，對三種有對稱性的函數（1）對稱區間上的偶函數.（2）函數f(x)在區間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x).（3）函數f(x)連續且f(x)的圖像關于直線x=a對稱進行討論，得出在近似計算中，利用這些對稱性可以保證在誤差不超過ε的前提下，減少函數值點的計算個數.

2 若函數f(x)為[-a,a]上的偶函數則有f(x)dx=2f(x)dx(1)

2.1 定理1 設函數f(x)為[-a,a]上的偶函數，用復化梯形求積公式計算并要求誤差不超過ε，則需要計算個點的函數值.而利用公式計算可在保持精度不變下減少計算個點的函數值.

對于上述ε，根據公式（1）把區間[0,a]m等分，利用復化梯形求積公式計算根據結論1可得其中，因為M≥M1，取，因此需要算個點的函數值，因為，所以

2.2 定理2 設函數f(x)為[-a,a]上的偶函數，用復化拋物線求積公式計算并要求誤差不超過ε，則需要算個點的函數值，而利用公式計算可在保持精度不變下減少計算個點的函數值.

對于上述ε，根據公式（1）把區間[0,a]m等分并令m=2l，利用復化拋物線求積公式計算根據結論2可得，其中因為M≥M1，取N1=，因此需要算個點的函數值.因為，所以

3 設函數f(x)在區間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x)則有

3.1 定理3 設函數f(x)在區間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x)，用復化梯形求積公式計算并要求誤差不超過ε，則需要算個點的函數值.而利用公式計算可在保持精度不變下減少計算個點的函數值.

3.2 定理4 設函數f(x)在區間[0,a]上可積且有f(x)=f(a-x)，用復化拋物線求積公式計算并要求誤差不超過ε，則需要算個點的函數值，而利用公式計算可在保持精度不變下減少計算個點的函數值.

3.3 引理1 若f(x)在[a-h,a+h]上連續，則有

4 若f(x)連續且y=f(x)的圖形關于直線x=a對稱f(a+x)=f(a-x)，

4.1 定理5 若f(x)連續且y=f(x)的圖形關于直線x=a對稱，對一切h＞0，用復化梯形求積公式計算并要求誤差不超過ε，則需要算個點的函數值，而利用公式，可在保持精度不變下減少計算個點的函數值.

4.2 定理6 若f(x)連續且y=f(x)的圖形關于直線x=a對稱，對一切h＞0，用復化拋物線求積公式計算并要求誤差不超過ε，則需要算個點的函數值，而利用公式可在保持精度不變下減少計算個點的函數值.

〔1〕徐萃薇,孫繩武.計算方法引論(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

〔2〕張德榮,王新民,高安民.計算方法與算法語言[M].北京:高等教育出版社,1981.

〔3〕Philip J.Davis,Philip Rabinowitz著.馮振興,伍富良譯.張延昌校.數值積分[M].北京:高等教育出版社,1986.

〔4〕陳傳璋,等.數學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社, 1983.

O172；O24

A

1673-260X（2017）04-0003-03

2017-01-20