重視逆向思維 培養創新能力

江蘇省揚州市江都區仙女鎮雙溝中學(225267)

潘慶衛●

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重視逆向思維 培養創新能力

江蘇省揚州市江都區仙女鎮雙溝中學(225267)

潘慶衛●

有些數學問題若按照常規的思維模式求解可能比較困難而運用逆向思維模式反其道而行之可能順利獲解.這種不同尋常的思維方式突破了習慣思維的框架，克服了思維定勢的束縛，不僅可以豐富學生的想象力，而且能拓寬學生的解題思路，逆向思維是重要的一種思維方式，培養學生的創造思維.

逆用定義；逆用公式；反例；逆用思路

逆向思維方式突破了習慣思維的框架，克服了思維定勢的束縛，不僅可以豐富學生的想象力，而且能拓寬學生的解題思路，往往會出奇制勝，逆向思維作為一種創新思維方式，越來越受到廣大師生的重視.本文擬談一談逆向思維在解題中的作用，以提高能力.

一、逆用定義

一般來說，學生常習慣根據事物特征運用定義判定它是什么；而逆向思維則根據定義推出事物具有哪些特征.數學中的定義一般都是可逆的，用定義思考問題，往往能挖掘題中的隱含條件，使問題迎刃而解.

例1 反比例函數的表達式為y=(m-1)·xm2-2，則m=____.

分析 根據反比例函數的定義，自變量x的指數應為-1，并且m-1≠0.

二、逆用公式

逆用公式可培養學生思維的靈活性、變通性，可有效地突破思維定勢，順利地解決問題.

三、反例：就是尋找特殊情況作為范例，從而達到推翻結論的目的

構造反例的途徑多種多樣，例如可以通過特殊的、極端的情況尋求反例；可以通過數量分析尋求反例；可以運用分類尋求反例；可以通過運動、對稱和分析特征尋求反例等.

例3 判斷命題“覆蓋任意三角形ABC的最小圓是它的外接圓”是否正確？

分析 如圖1，先作一個圓O，并在圖中畫一個內接三角形ABC，如果命題成立，那么在△ABC內任取一點A′時，△A′BC的外接圓應該比原來的圓小.然而，當A′取得離BC越來越近時，△A′BC的外接圓O′顯然越來越大了.顯然⊙O比⊙O′小，而⊙O′是△A′BC的外接圓.它們均覆蓋△A′BC.

證明 可以證明對直角三角形，及銳角三角形結論成立.另外，可以證明：覆蓋鈍角三角形的最小圓是以其最大邊為直徑的圓(此圓比它的外接圓小).

四、逆用思路

解數學題，常規的思考方法是從已知出發，由已知得結論，有時這樣做很麻煩，甚至很困難.若逆用解題思路，解起題來非常地簡單快捷，是解決存在性問題的常用方法.

例4 在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的⊙O分別交x軸、y軸于A、B、C、D四點，拋物線y=x2+bx+c經過點C且與直徑AC只有一個公共點.

(1)求直線AC的解析式.

(2)求拋物線y=x2+bx+c的解析式.

(3)點P為(2)中拋物線上的點，由點P作x軸的垂線，垂足為點Q，問：此拋物線上是否存在這樣的點P，使△PQB～△ADB?若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

簡解 (1)可用特定系數法求出直徑AC的解析式為y=-x-1.(2)因為拋物線y=x2+bx+c經過點C(0，-1)

∴-1=02+b×0+c∴c=-1.

∵直徑AC與拋物線只有一個公共點C∴方程x2+(b+1)x=0有兩個相等實數根.

即Δ=(b+1)2-4×1×0=0 ∴b1=b2=-1.

∴拋物線的解析式為y=x2-x-1.

(3)假設存在符合條件的點P.

設P點坐標為(a,a2-a-1),則Q(a,0).

∴QB=|a-1|,PQ=|a2-a-1|,

∵△ADB為等腰直角三角形，△PQB～△ADB,則△PQB為等腰直角三角形，又PQ⊥QB∴PQ=QB,即|a2-a-1|=|a-1|.

于是方程可變為a2-a-1=a-1 ①

a2-a-1=-(a-1) ②

由①，得a2-2a=0,a1=0,a2=2.

把a1、a2、a3、a4依次代入a2-a-1，可求得相應縱坐標.

G632

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1008-0333(2017)11-0002-01