軸對稱研究與解題中的應用

江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學(225109)

黃 慧●

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軸對稱研究與解題中的應用

江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學(225109)

黃 慧●

本文從提高讀者應用軸對稱思想出發，首先研究軸對稱的基礎知識要點，軸對稱圖形特點，對稱軸，對稱點，對稱圖形關于對稱軸的關系，本文又提供軸對稱必要掌握的基本技能，本文第三部分舉實例說明對稱思想在解題中的應用.

對稱軸；對稱圖形；對稱點；最值問題

一、基礎知識要點

軸對稱圖形:將一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形.

兩個圖形關于某條直線對稱:平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱.這條直線就是對稱軸.

對稱點:兩個關于某條直線對稱的圖形中的對應點(即兩圖形重合時互相重合的點)叫做關于這條直線的對稱點.

兩個圖形關于某條直線對稱的性質:如果兩個圖形關于某一條直線對稱，那么連接對應點的線段被對稱軸重直平分.

如果連接兩個點的線段被一條直線垂直平分，那么這兩點關于這條直線對稱.

二、基本技能

例1 如圖1，已知△ABC和直線l，畫出△ABC關于直線l對稱的△A′B′C′.

分析 要畫出△ABC關于直線l對稱的△A′B′C′，只要分別畫出點A、B、C關于直線l的對稱點A′、B′、C′.根據兩個圖形關于某一直線對稱的性質(如果連接兩個點的線段被L直線垂直平分，那么這兩點關于這條直線對稱)，就可以畫出點A、B、C關于直線l的對稱點了.

(1)分別過點A、C畫直線l的垂線，垂足分別為M、N.再延長AM、CN到A′、C′，使得A′M=AM，C′N=CN.

(2)因為點B在直線l上，所以點B關于直線l的對稱點B′和B重合.

(3)順次連接A′B′、B′C′、A′C′，得△A′B′C′,就是所要畫的三角形.

說明 畫對稱圖形的實質是畫對稱點.畫一點關于直線對稱的點，可從這點向直線畫垂線，得一條垂線段，再延長后取相等的線段即得到要畫的對稱點.如果這點在直線上，那么它關于這條直線對稱的點就是它本身.

例2 如圖2，在直角坐標平面內，四邊形ABCD的頂點A、B、C、D的坐標分別為(-3，2)、(-1，-3)、(2，0)、(0，3)，畫出四邊形ABCD關于y軸對稱的四邊形A′B′C′D′，并寫出點A′、B′、C′、D′的坐標.

分析 畫四邊形ABCD關于y軸的對稱圖形四邊形A′B′C′D′，只要畫出點A、B、C、D關于y軸的對稱點A′、B′、C′、D′.

分別畫出點A、B、C、D關于y軸的對稱點A′、B′、C′、D′，它們的坐標分別為(3，2)、(1，-3)、(-2，0)、(0，3)；順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，則四邊形A′B′C′D′就是所畫的對稱圖形.

說明 一般地說，直角坐標平面內一點P(x,y)，它關于x軸對稱的點為P1(x,-y);關于y軸對稱的點為P2(-x,y).

三、對稱思想在應用

近年來的中考試題中，最值問題成為設計壓軸題的一種常見設問，它主要與函數知識進行綜合，如以拋物線為背景的最值問題在中考中就十分搶眼.解決此類問題時，主要通過作對稱的方法，作出取得最小值時的點，然后結合幾何、函數等知識進行最值求解.下面結合幾例考題，與大家研究.

例3 如圖3，已知拋物線y=ax2+bx+1經過點A(1，3)和點B(2，1).

(1)求此拋物線解析式；

(2)點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；

解析 (1)易得拋物線的解析式為y=-2x2+4x+1.

評注 一般地，解決此類問題主要是利用“兩點之間線段最短”和“任意兩邊之和大于第三邊”，因此只要作出點A(或點B)關于直線的對稱點A(或B)，再連接BA1(或AB1)即可.

例4 設正三角形的邊長為2,M是AB邊上的中點,P是邊BC上的任意一點,PA+PM的最大值和最小值分別為記為s和t,則s2-t2=____.

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