小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的經(jīng)驗存在與理性存在

周靜

摘 要：柏拉圖對經(jīng)驗存在與理性存在的論述，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有重要啟發(fā)。分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗存在與理性存在，分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程經(jīng)驗向理性的轉(zhuǎn)化，可以讓教師更好地把握學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，從而讓數(shù)學(xué)教學(xué)更為高效。從核心素養(yǎng)角度看，研究經(jīng)驗存在與理性存在，可以讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更好地服務(wù)于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；經(jīng)驗存在；理性存在

讓數(shù)學(xué)教學(xué)接受哲學(xué)家智慧的沐浴，是數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教學(xué)走向智慧的重要方式。數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切相關(guān)，許多數(shù)學(xué)家都有另外一個身份，那就是哲學(xué)家。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中思考“存在”這樣的哲學(xué)命題，無疑是有意義的。著名哲學(xué)家柏拉圖曾有名言，“我們應(yīng)該區(qū)分兩種不同的存在——一種是經(jīng)驗的存在，一種是理性的存在。經(jīng)驗的存在是有缺陷的，而理性的存在才是完美的。”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)說“經(jīng)驗的存在”是普遍存在的，而“理性的存在”則可以理解為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，從經(jīng)驗的存在走向理性的存在，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的必然途徑，從經(jīng)驗走向理性，是小學(xué)數(shù)學(xué)知識建構(gòu)與能力形成的必然途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中研究經(jīng)驗存在與理性存在，是小學(xué)數(shù)學(xué)教師的必修課，其修學(xué)生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的基礎(chǔ)，其亦修教師教學(xué)的智慧。

■一、小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)驗與理性

將研究的目光轉(zhuǎn)向小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，就是一個從經(jīng)驗走向理性的過程。人們常說數(shù)學(xué)是一門理性的學(xué)科，其原因就在于數(shù)學(xué)原本就是對生活事物的抽象，原本就是將生活事例中最本質(zhì)的那部分提取出來，以用來描述客觀事物的本質(zhì)屬性。作為對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，筆者關(guān)注的是學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的過程中的經(jīng)驗與理性。這里可以通過一個具體的實例來說明。

在“三角形的穩(wěn)定性”的教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)教師在引導(dǎo)學(xué)生建立“穩(wěn)定性”概念的時候，一般都是讓學(xué)生在比較一個三角形與一個四邊形的過程中，通過“拉得動與否”來判斷各自的穩(wěn)定性的，這樣的教學(xué)設(shè)計的價值就在于其充分利用了學(xué)生的生活經(jīng)驗——拉得動對應(yīng)著穩(wěn)定，拉不動對應(yīng)著不穩(wěn)定（其實這樣的說法并不嚴密，下面第三點詳細說明）。請注意，這里學(xué)生的經(jīng)驗是“穩(wěn)定”而不是“穩(wěn)定性”，穩(wěn)定性實際上已經(jīng)是一種理性認識了，因為穩(wěn)定性作為三角形的一種固有的性質(zhì)，其是需要在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上通過觀察和比較去建立的。在這里，就是一個典型的“經(jīng)驗”與“理性”的事例。同時這個事例也表明了從經(jīng)驗走向理性的一種途徑。

但是要注意的是，經(jīng)驗并不是天然存在的，更不是天然能夠為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)的。眾所周知，經(jīng)驗是學(xué)生在生活中經(jīng)過一些有意或無意的心理加工之后才會形成的，因此有人說“一個人被火燙了這不是經(jīng)驗，只有他被燙了之后知道不再將手向火里伸，這才是經(jīng)驗”，因此經(jīng)驗的形成本身就是一個重要的過程，要積累通向數(shù)學(xué)理性的道路，固然必須找到經(jīng)驗這個出發(fā)點，而經(jīng)驗本身其實又是體驗的終點，因為只有體驗才能讓學(xué)生形成服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗。在上面所舉的“三角形的穩(wěn)定性”中，“拉得動與否”是學(xué)生的經(jīng)驗，這個不需要體驗就已經(jīng)存在了；而有的數(shù)學(xué)知識所需要的經(jīng)驗學(xué)生則是不存在的，因此教師就需要預(yù)設(shè)一個過程，先讓學(xué)生生成經(jīng)驗，再讓經(jīng)驗服務(wù)于數(shù)學(xué)理性的形成。比如說在此之前的“三角形三邊關(guān)系”的教學(xué)中，筆者在課堂上曾經(jīng)獲得過一個教學(xué)細節(jié)：當(dāng)筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形三邊關(guān)系的時候，有位學(xué)生說他爺爺曾經(jīng)告訴他一件事情——要編制一個用來放蒸饅頭的三角形支架時，曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)如果三根竹竿的長度不合理，就做不成一個三角形。這位學(xué)生說，他也不懂爺爺這句話的意思，但聽到老師講三角形的內(nèi)容，感覺爺爺?shù)脑捙c所學(xué)的內(nèi)容可能有關(guān)，于是就告訴老師了。

很顯然，這里學(xué)生轉(zhuǎn)述的是他爺爺?shù)慕?jīng)驗，他知道其表達卻沒有真正成為自己的經(jīng)驗，而當(dāng)筆者將此闡述轉(zhuǎn)述給其他學(xué)生的時候，其他學(xué)生也有些茫然。于是下面的體驗就顯得非常重要了：讓學(xué)生到講臺上提供的一大堆長短不同的竹竿中任意選擇三根到座位上去制造三角形，看誰制造得快。于是各個小組的學(xué)生開始動手做、動腦思考——這是一個完整的體驗過程（體驗可不只是做的，也是需要想的）。在這個過程中，學(xué)生會逐步發(fā)現(xiàn)構(gòu)建三角形所需要的三邊關(guān)系，從而也就完成兩個過程：一是通過體驗生成成功構(gòu)建三角形經(jīng)驗的過程；二是將這種經(jīng)驗轉(zhuǎn)換為“三角形兩邊之和大于第三邊”的數(shù)學(xué)認識的過程，當(dāng)然，這里的數(shù)學(xué)認識其實就是數(shù)學(xué)以理性的知識存在的一面。

■二、小學(xué)數(shù)學(xué)知識的經(jīng)驗存在與理性存在

談到“存在”，就必須認識到這一概念背后具有的哲學(xué)意味。至少體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)及其價值中，應(yīng)當(dāng)認識到“存在”就是數(shù)學(xué)知識在學(xué)生大腦中的不同的表征方式。

這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個重要范疇，知識以什么樣的形式表征，不僅意味著學(xué)生在新知學(xué)習(xí)的過程中有什么樣的出發(fā)點，還意味著新知學(xué)習(xí)有什么樣的落腳點。就拿上面所舉的三角形的兩個例子來說：在三角形三邊關(guān)系的學(xué)習(xí)過程中，其實不同學(xué)生最后構(gòu)建的認識是不一樣的：有的學(xué)生大腦中三角形三邊關(guān)系其實仍然是依靠具體的圖形而存在的，比如說當(dāng)筆者讓學(xué)生說說這節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲的時候，有學(xué)生就用手或竹竿去比畫所學(xué)到的內(nèi)容，表達的意思則是要用什么樣的三根竹竿才能搭出一個三角形。顯然，這樣的學(xué)生的表達重心不是在語言上，而是在圖形上，甚至是一個知道具體三邊長度的三角形；而有的學(xué)生則不同，當(dāng)他們說出“三角形兩邊之和大于第三邊”時，他們是一種很自然、很順口的表達，這意味著他們對三角形三邊關(guān)系的理解已經(jīng)上升到了理論的層面。而這兩種學(xué)生大腦中對三角形三邊關(guān)系的存在，顯然就是不同的方式：前者以表象的形式存在，后者以語言知識的方式存在。前者是經(jīng)驗的存在，后者是理性的存在。

在三角形穩(wěn)定性知識學(xué)習(xí)中，這種經(jīng)驗存在與理性存在則更為明顯。“穩(wěn)定”是一種經(jīng)驗存在，其對應(yīng)著學(xué)生思維中的“拉不動”，而拉不動背后又是以拉三角形的表象作為支撐的；“穩(wěn)定性”則是一種理性存在，其對應(yīng)著對所有不同形狀三角形的一種性質(zhì)的描述，穩(wěn)定性就是一種性質(zhì)，就是一種高度概括的描述，當(dāng)其以理性存在的時候，描述穩(wěn)定性就是一種抽象的穩(wěn)定性。

而從教師教學(xué)研究的角度來看，經(jīng)驗存在與理性存在就是有效教學(xué)的兩個重要基點：研究學(xué)生已有的雖有缺陷但卻有著重要作用的經(jīng)驗存在，實際上是對學(xué)生前概念的一種關(guān)注（這也是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的重要支撐），由于不同知識的建構(gòu)是需要不同的經(jīng)驗作為支撐的，因此在不同知識的教學(xué)中研究學(xué)生已經(jīng)有了哪些經(jīng)驗存在，是一件非常重要的事情。而從經(jīng)驗存在向理性存在過渡，其實就是數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，這個過渡是否順利對應(yīng)著數(shù)學(xué)教學(xué)是否有效。除上面提到的基本的觀察與比較之外，經(jīng)驗存在向理性存在轉(zhuǎn)變，還有一個重要的途徑，那就是思維的深入。

譬如上面所舉的三角形穩(wěn)定性的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生經(jīng)由“拉得動與否”的體驗，并將“穩(wěn)定”轉(zhuǎn)換為“穩(wěn)定性”之后，就實現(xiàn)了穩(wěn)定性的教學(xué)。但這種體驗從嚴格的數(shù)學(xué)意義的角度來看，其實是有不足的。因為實際教學(xué)中常常會遇到學(xué)生提出的問題：用四根鐵棒焊接的四邊形也拉不動，那是怎么回事呢？

這個時候就需要思維的深入了：數(shù)學(xué)上的“穩(wěn)定性”與經(jīng)驗中的“穩(wěn)定”是不是一回事。數(shù)學(xué)上的穩(wěn)定性更多的是相對于抽象的圖形而言的，三個給定長度的竹竿只能擺出一個固定的三角形，其面積形狀不可再變，而四個給定長度的竹竿則可以擺出多種四邊形，其面積與形狀都是可變的，這才是“穩(wěn)定性”的數(shù)學(xué)含義。實際上這番解釋，也是一個從經(jīng)驗存在走向理性存在的過程，經(jīng)由這個過程，學(xué)生對三角形穩(wěn)定性的理解就更為深刻了。

■三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從經(jīng)驗走向理性的價值

研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的經(jīng)驗存在與理性存在，實際上是為高效數(shù)學(xué)教學(xué)尋找理論依據(jù)，也是為學(xué)生的有效學(xué)習(xí)提供有效解釋。什么樣的教學(xué)才是有效的？顯然這不能只看學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果（結(jié)果可由機械地重復(fù)獲得），而是看學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與結(jié)果的契合程度，只有當(dāng)經(jīng)驗存在向理性存在的轉(zhuǎn)變變得合乎學(xué)生的認知規(guī)律時，這樣的過程才是有意義的。只有當(dāng)學(xué)生思維中的數(shù)學(xué)知識更多地以理性方式存在時，這樣的結(jié)果才是有意義的（盡管數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不能完全避免知識的經(jīng)驗存在）。

因此，研究從經(jīng)驗走向理性，研究經(jīng)驗存在與理性存在，其價值就很明顯了：服務(wù)于學(xué)生的有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。即使從當(dāng)下熱門的核心素養(yǎng)角度來看，這一研究的價值也是客觀的，因為如果小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷地在理性存在與經(jīng)驗存在中轉(zhuǎn)換，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識（理性存在）更多的支撐更高級的經(jīng)驗存在，這也就意味著學(xué)生的數(shù)學(xué)知識可以更多地向生活延伸，而這不就是核心素養(yǎng)的一種體現(xiàn)嗎？