巧用方法來求值

劉帥

【摘 要】代數式的求值是初中代數中的重要內容之一，是學好數學的一項重要基本功，也是培養學生思維能力的重要一環， 我們在解題時，根據題目特點選擇去妙解、巧解，從而達到事半功倍、省時省力的效果。

【關鍵詞】代數式求值；巧用方法；能力培養

數學課標明確指出：數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用。代數式的求值是初中代數中的重要內容之一，是學好數學的一項重要基本功，也是培養學生思維能力的重要一環，其應用十分廣泛，技巧性很強，在各種類型的考試中，代數式的求值是常見的命題題型.下面根據題型舉例說明代數式求值的幾種技巧。

一、巧用整體

例1、已知1x 1y=3，求代數式 的值。

解：已知等式化為x-y= 3xy，則原式= = =35

例2、已知當x= 2時，代數式ax3+bx+1的值為6，那么當x=2時，求代數式ax3+bx+1的值。

解：∵當x= 2時，代數式ax3+bx+1的值為6

∴-8a-2b+1=68a+2b= 5

∴當x=2時，有ax3+bx+1=8a+2b+1= 5+1= 4

二、巧用乘法公式

例3、已知a+b=2，求代數式a3+6ab+b3的值。

解：由a+b=2，得a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=2（a2-ab+b2）

則原式=2（a2-ab+b2）+6ab=2（a2+2ab+b2）=2（a+b）2=8

三、巧用方程組

例4、已知3x-4y-z=0，2x+y-8z=0，求代數式 的值。

解：以x、y為主元，已知兩等式化為3x-4y=z2x+y=8z 解得x=3zy=2z

則原式= =1

四、巧用降次

例5、已知x2+4x-1=0，求代數式2x4+8x3-4x2-8x+1的值。

解：由已知等式得x2+4x=1

則原式=2x2（x2+4x） 4x2 8x+1=2x2 4x2 8x+1= 2（x2+4x）+1= 1

五、巧用因式分解

例6、若（x+y）（x+2+y） 15=0，求代數式x+y的值。

解：已知等式變為（x+y）2+2（x+y）-15=0

∴（x+y+5）（x+y-3）=0

∴x+y= 5或x+y=3則原式的值為 5或3

六、巧用常數

例7、已知abc=1，求代數式 的值。

解： =

= =

= =

例8、已知ab=1，a≠ 1，求代數式11+a+11+b的值。

解：由ab=1得1= ab，

則原式= + = + =1

七、巧用取特殊值

例9、若x3 2x2+ax+b除以（x-2）（x+1）所得的余式為2x+1，求代數式a+b的值。

解：設已知多項式除以（x-2）（x+1）的商式為m，那么x3 2x2+ax+b=m（x-2）（x+1）+2x+1，

就上式分別取x=2和x= 1，有2a+b=5-2+b=2

∴a=1，b=3，則原式等于4

八、巧用二次根式有意義的條件

例10、若x、y都是實數，且 + +y=4，求代數式xy的值。

解：根據二次根式的定義，得2x-1≥0，1-2x≥0

∴2x-1=0 則x= ，y=4

∴xy=2

九、巧用平方或平方后開方

例11、已知x=1+5，求代數式x3-2x2-4x-5的值。

解：將x-1=5兩邊平方得：x2-2x-4=0

則原式=x（x2-2x-4） 5= 5

例12、若a>1，且a+1a=11，求代數式a 1a的值。

解：由a>1知a 1a>0

則原式=（a 1a）2=（a+1a）-2=3

十、巧用非負數的和為零

例13、若 +b-2+（m-21）2=0，求代數式（a+b）m的值。

解：由 ≥0，b-2≥0，（m-21）2≥0得

a+3=0b-2=0m-21=0

∴a= 3 b=2 m=21

則原式= 1

十一、巧用換元

例14、已知 + =322，求代數式 + 的值。

解：設 =a =b 那么a+b=322ab=1

則原式=（a+b）2-2ab=52

十二、巧用配方

例15、已知a-b=3+2 ，b-c=3-2，求代數式2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）的值。

解：已知兩式相加得a-c=23

則原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

=（3+2）2+（3-2）2+（23）2=22

十三、巧用方程

例16、已知a≠b，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，求代數式 + 的值。

解：∵a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b

∴a、b為方程x2-3x+1=0的兩實根，則有a+b=3，ab=1

∴原式= + = =1

十四、巧用比例的性質或比例系數

例17、已知 ，求k的值。

解：若a+b+c≠0，由比例的性質得 =

若a+b+c=0，則b+c= a，a+c= b，a+b= c，所以k= 1

例18、已知： ，求代數式 的值。

解：設 ，則x=5m，y=3m

∴原式= =

十五、巧用倒數

例19、已知a、b、c為實數，且 ，求代數式 的值。

解：將已知三個分式分別取倒數得：

即

將三式相加得； ，通分得：

即 =

十六、巧用字母歸

例20、若x+y+z=3y=2z，求代數式xx+y+z 的值。

解：依題意得

（1）+（2）得2x+2y+2z=3y+2z，即y=2x，（4）

把（4）代入（3）得2z=6 x，即z=3 x，

∴x+y+z=6x，

∴xx+y+z =x6x =16

總之，求值的方法還有很多，我們在解題時，要根據題目特點選擇最經濟的方法，去妙解、巧解，從而達到事半功倍、省時省力。但“巧”和“妙”是有條件的，這就要求在平時學習過程中熟練掌握基本概念、性質，加強相關練習，不斷積累總結，只有這樣，才能得心應手。