處理好三個關系 教好“認識三角形”

許明堅

【摘要】在蘇教版數學四年級《認識三角形》的教學中，要教好“認識三角形”，必須處理好以下三個關系：處理好動手操作與動腦思考的關系，處理好個別現象與普遍規律的關系，處理好生活數學與學科數學的關系。

【關鍵詞】認識三角形 處理 關系

“空間與圖形”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中四大學習領域之一，主要涉及現實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及其變換，它是人們更好地認識和描述生活空間并進行交流的重要工具。小學階段的數學教材，各個年級都設置了“空間與圖形”方面的教學內容，不同程度地向學生進行滲透。蘇教版數學四年級上冊《認識三角形》的教學，是在學生學習了線段、直線、射線，以及低年級初步認識了三角形、長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形的基礎上學習的。教材的編寫分四個板塊：第一板塊是情境引入，教材先創設了斜拉橋的情境圖，讓學生在畫面中找學過的三角形，再回憶生活中哪些地方能看到三角形，以此引入本節課要學習的內容；第二板塊是自主創造，教材安排了“想辦法做一個三角形，在小組里交流”的實踐活動，讓全班學生用不同的方法創造三角形，為深入研究三角形提供了豐富的教學資源；第三板塊是研究特征，教材先介紹什么是三角形的邊、角、頂點，再讓學生數一數得出三角形的基本特征；第四板塊是研究三角形三邊長度的關系，先提供長10厘米、6厘米、5厘米和4厘米四種規格的小棒各一根，讓學生從中任意選擇三根小棒首尾順次連接圍成三角形，讓學生在操作中發現有時能圍成三角形，有時則不能圍成三角形，并對這樣的現象進行觀察和思考，體驗和感悟三角形三邊長度之間的關系，從而揭示三角形三邊長度的關系。這部分內容牽涉到三個知識點：一是三角形的概念，二是三角形的特征，三是三角形三邊長度的關系。三角形的概念是人腦對三角形本質屬性的反映，三角形有各種各樣的形狀和大小，但不管是什么樣的三角形都有一個共同特點：都是由三條線段首尾順次相連得到的封閉的幾何圖形。這就是三角形概念的核心。三角形的特征是可以作為三角形標志的顯著特點，從表面上看三角形都有這樣的顯著特點：所有三角形都有三條邊、三個角和三個頂點。三角形三邊長度的關系是三角形定理之一，三角形三邊長度有這樣的關系：三角形任意兩邊的和都大于第三邊，任意兩邊的差都小于第三邊。

本節課有兩個教學內容：一是認識三角形的特征，二是探究三角形三邊長度的關系。由于學生已經認識了線段、角，學生已經積累了邊、角和頂點的數學活動經驗，所以學生對三角形特征的認識不存在知識基礎問題和思維方法問題。而三角形三邊長度的關系需要綜合三邊長度整體思考，但小學生還不習慣用聯系的觀點分析問題，學生很難關注兩邊之和與第三邊的長度去比較，所以三角形三邊長度的關系自然成為教學重難點，既需要教師課前巧妙設計教學預案，更需要教師在課堂上為學生提供幫助。因此在這個內容的教學中，要處理好以下三個關系。

1.處理好動手操作與動腦思考的關系

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。”作為直觀幾何的三角形認識教學中讓學生動手操作是必不可少的學習活動，教學中老師們都非常重視學生的動手操作活動，都舍得花時間讓學生用不同的材料進行操作，但是操作后的理性思考卻不被教師們重視。操作雖然重要，操作之后的理性思考更重要，因為操作只能得到數學現象，并不一定觸及數學的本質，要觸及知識的本質就必須對數學現象進行深入的理性思考，就必須弄清楚其中的道理。動手操作不是最終目的，更不是課堂教學的擺設，動手操作的目的是為動腦思考提供感性的研究材料。教學三角形的特征時，首先讓學生想辦法創造一個三角形。由于每個學生準備的材料不同、創造三角形的思維方式不同，每個學生創造三角形的方法也就不同，有的是用三根小棒圍的，有的是用三根橡皮筋圍的，有的是借助一塊三角形板“依樣畫葫蘆”畫出來的，有的是用直尺畫三條首尾相連的線段圍成的……這些都是學生的“原創”成果，是進一步研究三角形特征時寶貴的教學資源，學生操作后教師必須引導學生進行深入的觀察、比較和判斷，讓學生思考：剛才，同學們用不同的方法創造出了不同的三角形，這些三角形有什么不同的地方？有什么相同的地方？在觀察與思考的過程中歸納出三角形的特征。三角形三邊長度關系的教學，學生操作時發現有時能夠圍成三角形，有時圍不成三角形，從操作中只能得到這樣的現象，卻不明白其中的道理，這就需要教師引導學生做更深入的研究和深刻的思考，此時的動腦思考就顯得非常重要了。

2.處理好個別現象與普遍規律的關系

一個數學知識的產生一般都是從個案中發現某種現象，再找類似的例子研究是否也存在這樣的現象，在此基礎上進行合理猜想，最后想辦法驗證得出數學結論。怎么驗證呢？方法之一是舉出符合這個猜想的所有例子，如果發現有反例就說明猜想錯誤，如果沒有發現反例就證明猜想正確。由于這樣的例子往往是無窮無盡的，不可能全部列舉出來，所以這種驗證方法無法證明猜想是否正確。方法二是進行邏輯推理證明，就是應用數學定理進行有理有據的推理證明，但是小學生不具備這樣的知識和能力，無法用此方法進行證明。那小學數學知識怎么證明呢？一般都是采用不完全歸納法進行證明，即列舉出一定數量的例子進行研究，如果沒有舉出反例就能夠初步證明猜想正確，例子列舉得越多得出的結論越可靠，但是有時因為有反例還沒有被列舉出來，所以用不完全歸納法得出的結論不一定正確。怎樣克服不完全歸納法的弊端呢？就是在列舉實例研究后增加引導學生進行理性思考的教學環節，把具體的例子進行一般化處理，讓某個具體的例子能夠代替所有例子，即從個案研究過渡到一般化研究。就三角形三邊長度關系的教學而言，可以這樣處理：先研究有具體長度的三根小棒圍三角形的研究，再過渡到不給三根小棒的具體長度但能圍成三角形的“模糊”研究，然后逐步縮短其中一根小棒的長度圍三角形，每次都引導學生與前一個圍成的三角形進行比較，使學生發現圍成的三角形越來越“矮”，直到圍不成三角形，在這樣的漸變操作中使學生理解當兩邊之和等于或小于第三邊時圍不成三角形的道理，感悟三角形三邊長度的關系，這樣教學就克服了不完全歸納法證明的缺陷。

3.處理好生活數學與學科數學的關系

在三角形三邊長度關系的操作中，兩邊之和等于第三邊不能圍成三角形學生有困惑。用10厘米、6厘米和4厘米的吸管圍三角形時，有的學生“確實”圍成了一個三角形，為什么會出現這樣的問題呢？這就是生活數學與學科數學的區別所在，學科數學中的三角形是由三條線段首尾順次連接圍成的一個封閉圖形，在數學上線是沒有粗細的，也就是線非常非常細，細到沒有寬度（這是數學的理想狀態）。按照學科數學的“理想線段”，用10厘米、6厘米和4厘米這三條線段首尾順次連接后呈一條線，是圍不成三角形的。但是學生操作的材料不是“理想線段”而是比較粗的吸管，所以就出現有的學生圍成了一個非常“扁”的三角形。教學時就必須處理好生活數學與學科數學的關系，當學生操作圍成一個非常“扁”的三角形時，教師不要急于否定學生的操作“成果”，別把學科數學的觀點強加給學生，而是借助假設讓學生進行想象體驗，先向學生說明數學上的線段是非常非常細的，讓學生想象：把吸管變細變細再變細……這三根吸管首尾順次連接后會是什么樣子，再配以多媒體課件的演示幫助學生體驗到這個“三角形”越來越扁、越來越扁……最后扁到兩條線段的連接點“落”在了第三條線段上，這個圖形的形狀就是三條線段重合成了一條線，沒有一個角，已經沒有了三角形的特征了，所以圍不成三角形，在此基礎上使學生感悟出“兩邊長度和大于第三邊”時才能圍成三角形。

在《認識三角形》的教學中，教師抓住教學的重難點，處理好以上三種關系，學生對三角形的認識自然就能夠掌握。