面向工程教育的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討

朱大勇+李樹全+侯曉榮

摘 要：針對工程教育問題，分析軟件工程專業(yè)的特點，按照工程專業(yè)認證標準，提出離散數(shù)學(xué)課程的達成度計算模型，探討SPOC和翻轉(zhuǎn)課堂相結(jié)合的新的教學(xué)模式在課程中的運用，以期通過改進教學(xué)方法和教學(xué)手段，獲得良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞： 工程教育；離散數(shù)學(xué)；SPOC；翻轉(zhuǎn)課堂

文章編號：1672-5913（2017）05-0038-04

中圖分類號：G642

0 引 言

《華盛頓協(xié)議》是國際上最具權(quán)威性和影響力的工程教育互認協(xié)議之一。我國于2013年加入華盛頓協(xié)議，成為其預(yù)備成員，2016年成為第18個正式成員。工程教育專業(yè)認證強調(diào)以學(xué)生為中心，以學(xué)習產(chǎn)出和學(xué)習成果為目標導(dǎo)向，通過質(zhì)量監(jiān)控和反饋機制持續(xù)地對教學(xué)過程進行改進，促使教育質(zhì)量的改善和提高[1-2]。

我們遵循工程教育的理念，制定可量化的考核方式，通過“評價—反饋—改進”的循環(huán)過程，持續(xù)改進教學(xué)質(zhì)量。我們以離散數(shù)學(xué)課程的工程教育實踐為切入點，對課程教學(xué)模式做了改變和嘗試，提出了課程達成度計算模型。在教學(xué)實踐中，通過SPOC（小規(guī)模限制性在線課程）和翻轉(zhuǎn)課堂的結(jié)合，引入與離散數(shù)學(xué)知識相關(guān)的工程問題和實例，著重培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的能力。在教學(xué)階段，逐項收集各種教學(xué)信息，對教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量進行數(shù)據(jù)分析和研究，持續(xù)改進和提高教學(xué)方式。

1 課程達成度與指標點

對于軟件工程專業(yè)，工程教育的培養(yǎng)目標是培養(yǎng)軟件工程領(lǐng)域高層次的軟件研發(fā)、管理和技術(shù)服務(wù)人才。在工程教育的實施過程中，不斷積累學(xué)習和教學(xué)數(shù)據(jù)，借助數(shù)字化技術(shù)計算學(xué)習成果的達成度[1]。在教學(xué)體系上，采用自頂向下的方法，建立層次化的達成度評價模型：第一級為課程達成度，第二級為畢業(yè)要求達成度，第三級為培養(yǎng)目標達成度。下一級的達成度支撐上一級的目標，以此建立培養(yǎng)目標、畢業(yè)要求和課程之間的數(shù)字化對應(yīng)關(guān)系。

宏觀上，達成度的評價最終分解為對學(xué)生學(xué)習過程的全程跟蹤和持續(xù)性評估。軟件工程專業(yè)整個培養(yǎng)體系劃分為9條培養(yǎng)目標（PO）和12條畢業(yè)要求（GR），每項畢業(yè)要求再細化為多個指標點。在微觀上，課程的達成度支撐了對應(yīng)畢業(yè)要求的指標點。首先以畢業(yè)要求指標點確定課程的教學(xué)目標（CO）；然后，教師根據(jù)對教學(xué)目標的分解確定每個課程目標的權(quán)重（W），課程目標權(quán)重反映了該課程教學(xué)和達成度評價的側(cè)重點。課程教學(xué)目標的達成度基于所選取的考核評價方式（平時作業(yè)、期中考試、期末考試等）來進行計算。計算公式如下：

C = ∑（COi × Wi ）， COi = ∑（Tij ×wij ） （i = 1， 2，…， n； j = 1， 2，…， m）

式中： C為某門課程的達成度計算值；COi 為某門課程第i個課程目標的達成度計算值。Wi為某門課程第i個課程目標達成度的計算權(quán)重系數(shù)；Tij為某門課程第i個課程目標在第j種考核方式中的達成度計算值；wij為第i個課程目標在第j種考核方式中的權(quán)重系數(shù)。

離散數(shù)學(xué)作為軟件工程專業(yè)的基礎(chǔ)理論課，其支撐的畢業(yè)要求包括：

（1）GR1.4：掌握專業(yè)知識，能選擇恰當?shù)臄?shù)學(xué)模型描述復(fù)雜軟件工程問題，能對模型進行推理和求解。

（2）GR12.2：掌握自主學(xué)習的方法，了解拓展知識和能力的途徑。

根據(jù)畢業(yè)要求的指標點設(shè)置4項課程目標和3個教學(xué)模塊（CM），主要包括：CO1掌握離散數(shù)學(xué)的基本思想和概念；CO2培養(yǎng)嚴格的邏輯推理能力；CO3訓(xùn)練抽象思維能力；CO4培養(yǎng)處理離散信息及工程應(yīng)用的能力；CM1集合與關(guān)系、CM2數(shù)理邏輯和CM3圖論。課程目標、教學(xué)模塊和考試考核點的對應(yīng)關(guān)系見表1。

在期末考試后，采集每個學(xué)生每道題目的得分成績，選定考核點，依據(jù)題目的預(yù)期值（即每道題目的分數(shù)）和達到值（即每道題目的實際得分）計算課程教學(xué)目標的達成度：

COn = ∑ （COn考核點預(yù)期值 / COn考核點達到值），n = 1， 2， 3， 4；

課程達成度= CO1 ×0.4 + CO2×0.2 + CO3×0.2 + CO4×0.2

由以上達成度計算可以看出，離散數(shù)學(xué)支持多個畢業(yè)要求指標點的達成。課程目標的達成情況就是該課程預(yù)期要達到的學(xué)習效果，同時也是本門課程對專業(yè)培養(yǎng)目標的貢獻。

2 教學(xué)信息采集

工程教育專業(yè)認證要求通過采集和分析學(xué)生的學(xué)習過程和學(xué)習效果來證明學(xué)生能力的達成度。所有這些達成度的證據(jù)都建立在各種記錄數(shù)據(jù)和文檔的基礎(chǔ)上。除了傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)（如考試成績和考勤記錄），工程教育中更強調(diào)通過實際的工程訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的能力。這就需要通過多種方式來收集每一個學(xué)生在學(xué)習過程中的微觀表現(xiàn)，如課堂、作業(yè)、郵件、實習等，以此來了解學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)，建立持續(xù)改進的達成度評價體系。

課堂上，教師采用移動教學(xué)方式，根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)效果，選取題庫中相應(yīng)難度的題目，將題目發(fā)給每個學(xué)生（如手機、平板），學(xué)生的解答則通過移動網(wǎng)絡(luò)反饋到教學(xué)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。課后以郵件和網(wǎng)上答題的方式來收集學(xué)生的學(xué)習情況。課后的作業(yè)和綜合性練習主要是證明題目和主觀性題目，以評分表分析法建立量規(guī)[3]。量規(guī)為主觀性題目或其他表現(xiàn)（比如證明的步驟、細節(jié)、表達等）確定量化標準，從優(yōu)到差詳細規(guī)定評級指標。同時，采取老師評分、同學(xué)互評、助教評分的方式進行綜合性學(xué)習評價，填寫學(xué)習評分表。重點獲取學(xué)生的答題情況（非結(jié)構(gòu)化信息），包括：每題選擇了什么選項，花了多少時間，是否修改過選項，做題的順序有沒有跳躍等，全面地反映學(xué)生的學(xué)習過程和狀態(tài)。

在課程內(nèi)容方面，對知識體系進行梳理，將課程知識按照知識點模塊進行數(shù)字化，并且將多門相關(guān)課程聯(lián)系在一起，建立面向問題的知識網(wǎng)絡(luò)。例如，將圖論與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的樹和圖進行關(guān)聯(lián)和比較；把等價類的概念與軟件測試方法相結(jié)合來分析軟件開發(fā)問題。基于實際軟件項目構(gòu)建對應(yīng)于課程內(nèi)容的知識圖譜和知識數(shù)據(jù)庫。通過引入工程領(lǐng)域的離散問題，分析問題中出現(xiàn)的各種實時性數(shù)據(jù)、工程化數(shù)據(jù)和研究性數(shù)據(jù)，將其分類存儲于問題數(shù)據(jù)庫和練習題庫，為考核評估提供支持。

3 課程教學(xué)改革

在工程教育的指導(dǎo)思想下，離散數(shù)學(xué)課程除了向?qū)W生描述理論知識“是什么”和“為什么”以外，更注重讓學(xué)生學(xué)會“如何運用”理論知識，以解決在軟件開發(fā)中出現(xiàn)的各類問題。改進已有的教學(xué)方式，一方面，在課程內(nèi)容上打破原有專業(yè)課程的講授模式，結(jié)合實際工程問題，按照CDIO工程教育理念開展課程建設(shè)[4]。另一方面，采用問題驅(qū)動的教學(xué)方式[5]，通過錄制SPOC [6]和實施翻轉(zhuǎn)式課堂教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生參與離散工程問題的分析、研究和解決方案設(shè)計。

3.1 翻轉(zhuǎn)課堂

翻轉(zhuǎn)課堂是一種“以學(xué)生為中心”的新的教學(xué)模式[7]。它關(guān)注學(xué)生的個性化學(xué)習和成長，能更好地實現(xiàn)工程教育的能力和素質(zhì)培養(yǎng)。實施翻轉(zhuǎn)課堂，首先建立離散數(shù)學(xué)課程的知識圖譜，以思維導(dǎo)圖的方式構(gòu)建整體的知識框架；然后，逐步細化每個章節(jié)的內(nèi)容，對概念性知識（如集合、關(guān)系的概念）和過程性知識（如邏輯的推理、關(guān)系性質(zhì)的判斷與證明）進行梳理，按照不同的教學(xué)方式進行組織和關(guān)聯(lián)。

概念性知識劃分為5個難度級別：A簡單、B適度、C較難、D困難、E綜合。對于簡單和適度的概念按知識點劃分單元模塊，制作8～10分鐘的教學(xué)視頻。例如，將集合論的發(fā)展歷史、集合的基本概念等內(nèi)容以時間線（storyline）的方式展示給學(xué)生。在制作SPOC視頻時，不僅講解知識，還突出理論知識的文化觀念和內(nèi)涵。而對于難度較高的內(nèi)容，如析取范式、合取范式等，則安排在課堂上進行講解。

對于過程性知識，例如，布置給學(xué)生的課后作業(yè)：“證明某個關(guān)系R是集合A上的一個等價關(guān)系”，將批改作業(yè)的過程和演示證明的步驟錄制為視頻。在視頻中，逐項講解解題的思路（如何使用等價關(guān)系的定義進行證明）、學(xué)生解題中出現(xiàn)的各種問題（如對稱和傳遞關(guān)系的理解偏差，不恰當使用等）以及需要注意的關(guān)鍵地方（如自反性、對稱性、傳遞性都需要證明，證明才完整）等解決問題的思考過程和經(jīng)驗。通過SPOC實現(xiàn)體驗式教學(xué)，讓學(xué)生能從任務(wù)的求解指導(dǎo)中學(xué)會如何應(yīng)用所學(xué)到的知識。

采用問題引入、分析求解、過程探討、理論構(gòu)建的步驟完成SPOC視頻制作。以命題邏輯的講授為例，視頻以斷案推理的例子（如神探夏洛克）開始，吸引學(xué)生的注意力，將現(xiàn)實中的問題與命題、邏輯、推理等知識聯(lián)系起來，把問題進行拆解分析，逐步歸納總結(jié)出概念和知識點，納入學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，讓他們更加積極主動地投入到自主學(xué)習中。

在課前，要求學(xué)生根據(jù)前次課布置的學(xué)習任務(wù)觀看微視頻，通過自主學(xué)習和思考，理解基本概念，完成一定有針對性的小測驗。在課堂上，采用如下多種教學(xué)方式：

（1）引導(dǎo)式教學(xué)。如在講解主析取范式和主合取范式時，讓學(xué)生思考“如何找到主合取（或主析取）的極大項和極小項”，提示學(xué)生考慮采用建立樹結(jié)構(gòu)的方式來求解。

（2）體驗式教學(xué)。給出真實的任務(wù)情境，讓學(xué)生協(xié)同完成某一項任務(wù)；或現(xiàn)場對某些有爭議的問題進行研討，并且相互展示學(xué)習成果，實現(xiàn)同伴互評。例如，讓學(xué)生編寫一段程序，要求對函數(shù)的參數(shù)進行檢查，由此把命題邏輯與程序檢查中的斷言相對應(yīng)進行講解；把等價類的劃分與面向?qū)ο笾蓄惖母拍钸M行類比介紹。

（3）互動式教學(xué)。如課前以墨經(jīng)中的“有之則必然，無之則未必不然，是為大故”和“無之則必不然，有之則未必然，是為小故”，引出充分必要條件的知識，指導(dǎo)學(xué)生完成對命題聯(lián)結(jié)詞知識點的復(fù)述，命題公式的化簡等練習；期間，老師回答學(xué)生提出的問題，對每位學(xué)生進行個性指導(dǎo)，并參與討論。

通過引導(dǎo)和檢查學(xué)生的學(xué)習效果，把握學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)和學(xué)習進度。

對于工程素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，一方面，將課程的知識點分別對應(yīng)到軟件開發(fā)的各個階段，如將數(shù)理邏輯對應(yīng)編程實現(xiàn)、將集合和關(guān)系對應(yīng)數(shù)據(jù)庫的構(gòu)造、將樹和圖對應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計，把理論知識運用到軟件開發(fā)實踐中；另一方面，根據(jù)學(xué)生的個體學(xué)習需求，加入具有一定難度的工程任務(wù)和開放性課題，讓學(xué)生可以根據(jù)自身情況進行自由選取，如結(jié)合圖論最短路徑的知識點，將2016年華為軟件精英挑戰(zhàn)賽中的問題“未來網(wǎng)絡(luò)·尋路”引入教學(xué)討論，鼓勵學(xué)生積極參與類似的具有研究性質(zhì)的挑戰(zhàn)。

3.2 教學(xué)數(shù)據(jù)分析

工程教育關(guān)注學(xué)生完成學(xué)習的過程，因此對教學(xué)活動中的各類數(shù)據(jù)，如教學(xué)目標、教學(xué)內(nèi)容（知識點、重點、難點）、常規(guī)練習、挑戰(zhàn)性練習等，進行量化，并建立彼此之間的聯(lián)系。采用成績分析法[8]，細分教學(xué)目標和教學(xué)模塊，按照支撐畢業(yè)要求的指標點進行數(shù)據(jù)采集、計算均值、方差、信度、效度等統(tǒng)計參數(shù)，在評價每個指標點達成度的基礎(chǔ)上，獲得課程掌握情況的評價結(jié)果[9]。

利用學(xué)生學(xué)習的行為檔案創(chuàng)建自適應(yīng)的學(xué)習系統(tǒng)，反映學(xué)生的學(xué)習效果。利用學(xué)生“如何”學(xué)習的信息，依據(jù)教學(xué)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果，為學(xué)生量身定制適合學(xué)生的個性化練習。通過分析學(xué)習數(shù)據(jù)，自動創(chuàng)建一系列難度逐漸增加且互相關(guān)聯(lián)的問題，例如，從集合到關(guān)系、從關(guān)系到特殊關(guān)系、從特殊關(guān)系到樹結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生圍繞一個共同的知識點來求解問題，從中分析學(xué)生的學(xué)習模式。同時，老師根據(jù)自己的教學(xué)需要來調(diào)整教學(xué)任務(wù)，例如，給課堂練習和作業(yè)規(guī)定完成的時間，讓移動教學(xué)系統(tǒng)在“自動計時”的情況下，考察學(xué)生的學(xué)習過程；而在學(xué)生做錯題目需要幫助時，系統(tǒng)自動給出提示并確定問題出錯的位置。系統(tǒng)記錄學(xué)生的學(xué)習過程，包括在哪個知識點的學(xué)習上遇到了問題、哪些習題完成花費時間較長等。老師對這些數(shù)據(jù)進行分析，建立相關(guān)的教學(xué)模型為學(xué)生推薦更為合適的學(xué)習路徑。

確保教學(xué)數(shù)據(jù)的正確性、可用性是進行教學(xué)數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵。制定教學(xué)數(shù)據(jù)檢測體系和軟件系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行實時的檢測以保證數(shù)據(jù)的質(zhì)量，盡可能減少對數(shù)據(jù)分析和挖掘帶來的不利影響。首先制定各種數(shù)據(jù)的錄入和維護規(guī)范，最大限度地自動錄入各種結(jié)構(gòu)化和非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，包括考試成績的每項評分、主觀評價打分等。其次，制定數(shù)據(jù)檢測規(guī)則并實現(xiàn)自動檢測，應(yīng)用不同的數(shù)據(jù)配置策略，對靜態(tài)、動態(tài)數(shù)據(jù)進行實時監(jiān)控和定期檢查以發(fā)現(xiàn)并處理有問題的數(shù)據(jù)。最后，建立可靠的教學(xué)數(shù)據(jù)質(zhì)量評估體系，通過各種評估方法，如基于異常值的評估方法、邏輯性評估方法等，對數(shù)據(jù)質(zhì)量的改進效果進行評估，為數(shù)據(jù)質(zhì)量改進提供策略。此外，還需要實現(xiàn)缺失數(shù)據(jù)的完善、篩選等數(shù)據(jù)處理工作，將數(shù)據(jù)標準化、去重復(fù)化，最后形成規(guī)范化的格式。

4 結(jié) 語

工程教育以培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)和能力，評價學(xué)習成果或產(chǎn)出作為核心標準。學(xué)院對軟件工程專業(yè)全面開展工程教育，建立全覆蓋的工程培養(yǎng)體系和量化的培養(yǎng)目標，并通過了2016年11月的評估。筆者在此基礎(chǔ)上，針對專業(yè)培養(yǎng)目標，改進了離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式，按照工程問題重新劃分教學(xué)知識點和知識結(jié)構(gòu)，設(shè)定了課程的達成度計算模型。在教學(xué)過程中，結(jié)合SPOC課和翻轉(zhuǎn)課堂，收集和規(guī)范各方面的信息和數(shù)據(jù)；建立教學(xué)數(shù)據(jù)分析庫，逐步開展學(xué)生學(xué)習路徑、習題考評模式、錯誤答題模式等問題的研究，以此作為學(xué)習問題診斷、教學(xué)干預(yù)和教學(xué)決策的重要參照。

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（編輯：彭遠紅）