函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

吳軼凡

摘 要：作為高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)可以說是一門比較復(fù)雜又具有廣泛應(yīng)用的學(xué)科。除了高考分?jǐn)?shù)占比非常大以外。數(shù)學(xué)作為一門工具性學(xué)科，對我們每個(gè)人的未來進(jìn)階學(xué)習(xí)與發(fā)展都有著非常重要的意義。本文通過介紹了高中數(shù)學(xué)中所涉及的函數(shù)思想應(yīng)用與解題之中，簡要的分析了數(shù)學(xué)思考方法的應(yīng)用形式和其產(chǎn)生的有益幫助。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)；方程；不等式

一、函數(shù)

函數(shù)的概念對于我們高中學(xué)生來說應(yīng)當(dāng)非常熟悉，是我們中學(xué)數(shù)學(xué)中不不可少的一部分內(nèi)容。1673年，數(shù)學(xué)家萊布尼茨首先使用了function一次來表示“冪”，后經(jīng)多位知名數(shù)學(xué)家的不斷發(fā)展和完善，使用“函數(shù)function”的定義越來越明確，函數(shù)在數(shù)學(xué)和多個(gè)學(xué)科展現(xiàn)出它的重要意義，推動(dòng)了很多方面科學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步。關(guān)于“function”一詞的翻譯源于我國清代著名的數(shù)學(xué)家李善蘭，它在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書進(jìn)入中國時(shí)，將“function”一詞翻譯為“函數(shù)”代表了“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即我們所熟知的一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或是一個(gè)量中包含另一個(gè)量。

函數(shù)最初的定義為：一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量x、y，如果對于任意的一個(gè)x的值，都有唯一確定的一個(gè)y的值和它對應(yīng)，那么就可以稱y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，而y的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。當(dāng)隨著函數(shù)研究的發(fā)展，以及集合、映射觀念的引入，函數(shù)的定義又有了新的表達(dá)方式，即有A，B兩個(gè)非空數(shù)集，若存在某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使得對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)在集合B中和它相對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)關(guān)系f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，表示為y=f（x），x∈A或f（A）={y| f（x）=y，y∈B}。同樣的，x稱為自變量，y稱為因變量，集合A為函數(shù)的定義域，與x相對應(yīng)的y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|，x∈A}叫做這個(gè)函數(shù)的值域。

二、函數(shù)思想的概述

所謂函數(shù)的思想是我們高中數(shù)學(xué)中一種非常基本，同時(shí)也是非常重要的數(shù)學(xué)思想。可以認(rèn)為函數(shù)思想，是一種運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，綜合集合與對應(yīng)的思想，去分析和解決數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系，然后建立起或構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，再通過運(yùn)用這個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，進(jìn)而解決問題的方法。當(dāng)我們面對一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果從函數(shù)的角度進(jìn)行審題和分析，實(shí)際過程是將一個(gè)問題放置在一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程中去考查。所以，可以說函數(shù)思想是一種處理問題的策略，而且很多時(shí)候應(yīng)用函數(shù)的思想可以簡化問題的求解過程，我們可以將這種策略應(yīng)用于很多綜合題的解答上面。

三、函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

（一）數(shù)列中的函數(shù)思想

數(shù)列，作為一種特殊的函數(shù)，對于在數(shù)列方面問題的解析中應(yīng)用函數(shù)的思想是比較直觀的。我們首先可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列、等比數(shù)列等的通項(xiàng)公式以及求和公式都可以直接看做是一個(gè)關(guān)于項(xiàng)數(shù)n函數(shù)，所以在數(shù)列的問題解決中應(yīng)用函數(shù)的思想，不僅夠提高解題效率同時(shí)還有利于增強(qiáng)對于數(shù)列本身的理解。

下面以一道數(shù)列方面的例題為例，如下述例一：

例一：設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，試證明解析過程：上述例題考察的是雖然是數(shù)列知識，但是單純的通過數(shù)列的性質(zhì)求解并不容易，通過分析可以看到，如將數(shù)列視為特殊的函數(shù)，可以很容易的化繁為簡。

首先，設(shè)這個(gè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意有q>0，an>0。

所以有Sn+2>Sn+1>Sn。

因?yàn)锳（Sn，Sn+1），B（Sn+1，Sn+2）是函數(shù)y=qx+an的圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，有kOA>kOB，所以有>?S 2

n+1>SnSn+2，

因此有2lgSn+1>lgSn+Sn+2，

即