妙用數學思想提升物理解題教學有效性

陳明

【摘 要】本文結合教學實例，闡述極限、微積分、數形結合、歸納比較這四種數學思想方法在物理解題中的應用，以培養學生利用數學思想方法求解物理問題的能力。

【關鍵詞】高中物理 數學思想 知識遷移

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）04B-0153-02

物理習題偏向于邏輯分析，而且這種邏輯分析是建立在數學關系之上的。“物理離不開數學”，解決物理問題離不開數學方法。在解決物理問題中，運用數學思想方法有時會更便捷更有效。當然在物理解題中并不是刻意地運用數學思想方法，而是要順勢而為，是一種自然的行為。下面從四個方面談一談運用數學思想方法解決物理問題的具體做法。

一、極限思想，助力求解

極限思想是數學中非常重要的思想，但是在高中階段這種數學思想應用得不是很廣泛，取極限的方法也不完善。在物理解題中可以不需要很高深的取極限的數學方法，但是一定要有極限的思想。

以一個案例進行說明。

在一個足夠長的豎直墻面上，設置一個點光源 S，距離光源 d 處有一個平面鏡 O，鏡子中心與光源在同一水平線上。初始狀態下鏡子平面與墻面平行。當平面鏡以角速度 w 繞中心勻速轉動時，光源經平面鏡反射的光斑在墻面上會上下移動。經過時間 t 后，光斑 P 在墻壁上移動的速度是多少？

分析這道題目，我們可以發現，光斑在墻面上的移動情況不是勻速運動，不能用位移與時間的比值直接求得。我們反觀速度的表達式，可以了解到瞬時速度，它實際上是時間取無窮小時的情況，用表達式表示為 （當 t2 和 t1 非常接近時的情況），即 。因此，解決這道問題時，我們就可以換一種思路，采取導數的方法進行求解。經過時間 t，光斑在墻面上的位移為 s。當時間為 t 時，反射光線轉過的角度 θ1=wt。經分析幾何關系知，SO 與 OP 的夾角 θ2=2θ1。在三角形 SOP 中，可得 S=d tanθ2=d tan（2wt）。對上式進行求導，可得光斑 P 的移動速度。對于求解速度，實際上是求解瞬時速度，瞬時速度的物理意義決定了它可以運用取極限的導數方法來進行求解。

在求解某一種特定物理狀態時利用數學中的極限思想非常有效，在這一特定狀態下，需要求解的未知量往往是瞬時的。由于沒有一個過程可供分析，所以取極限可以說是快捷而又精確的方法。

二、微分積分，明晰過程

導數、微分的方法將很多問題的求解過程進行了簡化，但歸根結底，微分的目的是為了積分，因此，適當運用積分的方法解決問題也非常有效。高中階段所學的積分方法是比較簡單的，而物理問題中的數學方法也不是特別困難。在求解物體位移的問題上，可以利用簡易積分的方法來進行求解。

以足球的例子進行說明。

假設在一次足球訓練當中，某時刻有一個運動中的足球，它的初始速度為 20 m/s，以 2 m/s2 的加速度進行勻減速直線運動。求解足球在 5 s 后的位移是多少。

我們可以運用常規的平均速度法進行求解，由于運動過程為勻變速運動，因此可設足球的平均速度為 v，初始速度為 v0，5 s 后的速度為 v1，加速度為 a。由速度與加速度的關系 v=at，得 v平均=；位移 s=v平均t=25×5=125 m。將物體的運動過程進行等效轉化，是物理學解決問題的主要手段，也是分析能力的體現。但是在本題中，速度與加速度的關系已知，要求解位移，我們可以運用數學的思維方法，即采用積分的方法。速度是位移關于時間的函數，因此速度在時間上的積分就是位移。從另一個角度講，微積分是用簡單的數學公式來表達復雜的變化過程，實現了根源化。本題用積分的方法進行求解時，可得 ，結果與上述解法完全相同，但運算更簡單。

位移問題只是眾多物理題目中相對簡單的一個，在這種情況下練習運用簡單的積分來求解物理問題，對學生來說是一種鍛煉的機會，也是一個鍛煉的過程。循序漸進，學生在不斷的實踐中會慢慢地掌握用微積分思想來解決物理問題的方法。

三、數形結合，多元關聯

物理學中的一個特色就是分析物體之間的各種等式關系，有時可借助于數學定理，有時可依賴幾何分析。我們在解決一些難度較大的物理問題時，需要多元建立等式關系，以數形結合的思想來求解問題。

教學中有一個經典的題目，叫做繩子拉船問題。很多學生苦于其中的數量關系難以建立，因此對此題理解起來比較困難。如果我們換一種思路，借助幾何關系，運用數形結合的思想進行解題，那么就可以建立等式關系。引入一個例題如下。

如圖所示，在高度為 h 的河岸上，一人用繞過定滑輪 O 的輕質細繩勻速拉動水面上的一條小船。假設人拉動船的速度大小為 v。當繩子 OA 與水平面的夾角為 θ 時，此時小船的速度為多少？

要解這個題目，首先要假設一系列的變量，然后逐一地進行求解，最后才能得到答案。這是一個比較復雜的過程，因此我們可以借助幾何學方法來進行求解。設小船距離岸邊的長度為 x，繩子 OA 的長度為 r。根據勾股定理，我們對 h，x 和 r 列出等式關系 h2+x2=r2 。針對上式，對時間求導，。代入已知的數量關系，得出 v船與 v 的關系為 v船=，再由幾何關系 ，最終可得 v船=。如此一來，本身比較難以分析的題目就迎刃而解了。這個題目主要利用幾何關系來建立等式，運用速度合成分解的方式進行求解，充分地體現了物理與數學之間的密切關系。

在一些物理習題中應用幾何圖形的方法來進行分析是必不可少的，有時一個幾何關系就是解決物理問題的一把鑰匙。通過數形結合的方法，多元建立起邏輯聯系，可以極大地拓寬解題思路。圖形、數字雙管齊下，物理解題更有效。

四、歸納比較，提煉規律

數學歸納法在解決數學問題中的數列、規律題目中有廣泛的應用，成為一種必備的數學邏輯思維。在高中物理問題中往往具有一定的規律性，抓住物理問題的規律，進行歸納、比較、分析，就能提煉出解決物理問題的方法，避免繁瑣的計算。

比如在常規的運動問題中，物體運動的過程是主要的研究對象。在此過程中，物體的速度、加速度等都會發生變化。這也經常成為問題的關鍵點，解題的難點。我們以一道實際的題目為例進行分析。

一個可視為質點的物體，從原點出發，以靜止的初始狀態開始進行勻加速直線運動。初始的加速度為 a，在經歷了 t 時間之后，此時加速度變為了 2a；又經歷了一個 t 時間，加速度變為了 3a，以此類推。請問在 nt 時刻，物體的瞬時速度為多少？

分析這道題目可以發現，加速度的變化是有規律可循的，但題目描述得不夠明確，需要我們進一步總結歸納。根據題目中所給條件，在 t 時刻，物體的加速度為 2a。在 2t 時刻，物體的加速為 3a，由此我們可以總結出規律，在 nt 時刻，物體的加速度為（n+1）a。我們進而推測速度遵循的規律，進行數學歸納推理。在 t 時刻，物體的速度為 v1=at。在 2t 時刻，物體的速度 v2=at+2at=3at。在 3t 時刻，物體的速度 v3=at+2at+3at=6at。我們進而可以歸納，nt 時刻的速度為 。

物理習題中的一些問題也是有規律可循的，摸清了物理習題中一些問題的規律就能夠有效地解題。一般來說，在物理題目中能利用到數學規律的是比較難遇到的，但是一旦遇到就要精準把握。物理問題的核心在于邏輯分析，把握其中的規律將會極大地提高解題效率。

綜上所述，數學思想在物理解題中的應用十分廣泛。巧妙遷移數學思想，是有效解決物理問題的重要方法。在教學中，教師需要適當滲透這種解題思想，培養學生利用數學思想方法求解物理問題的能力。

【參考文獻】

[1]何繼蘭.物理離不開數學[J].數理化學習，2013（1）

[2]曹先俊，張中賢.導數、積分在高中物理中簡單應用[J].運城高等專科學校學報，2000（1）

[3]殷 勇.導數和微分在高中物理中的應用[J].數理化學習，2014（6）

（責編 盧建龍）