導數在高中數學中的應用

姜鴻

（湖北省武漢市常青第一中學）

摘 要：導數是聯系高等數學與初等數學的紐帶，是高中數學重要知識點的交匯。導數與多個章節都有著緊密的聯系。而高中階段引進導數的學習有利于學生更好地理解函數的性態，掌握函數思想，搞清曲線的切線問題，以便使學生學好其他學科，并發展學生的思維能力。因而在中學數學教學及解題過程中，可以利用導數思想解決諸如函數（解析式、值域、最（極）值、單調區間等）問題、切線問題、不等式問題、數列問題以及實際應用等問題。

關鍵詞：高中數學；導數；應用

一、導數的重要性以及應用

（一）有利于其他學科的學習

對于任何事情來說，打好基礎是成功的第一步。俗話說：“千里之行，始于足下。”所以萬事都需要一個牢固的基礎，當然數學也不例外。而導數是微積分中的重要概念，同時也是學好函數與其他數學知識的基礎，它不僅對本學科有影響，對于其他的學科也起著重要作用。如在物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度，可以用來做磁場問題，即變化的電場產生磁場還是變化的磁場產生電場，是穩定的還是變化的，這些是可以通過導數進行引入論證的。當然也可以表示曲線在一點的斜率，還可以表示經濟學中的邊際和彈性。

（二）有利于學生更好地理解函數

在高中階段學習函數對于同學們來說是很重要的。函數是數學教學中的一大塊內容。而函數教學的重要內容有函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性等。對于基本的初等函數我們可以采取圖像法將之表現出來，而函數的一些性質也就會一目了然。而如果是非基本初等函數，描點法畫圖則會很難準確表達。而如果學生對導數知識了解以后，就可以運用函數的一階導數判定函數的單調區間、極值點、最值點；利用函數的二階導數判定函數的凹凸區間、拐點，然后再結合描點法，就能較為準確地作出函數的圖像。另外，數學的很多問題不是靠基本的方法就可以解決的。一些很難的題目我們可以根據函數思想來解答，如不等式的證明，我們都可以通過構建函數模型，利用導數知識進行解答。如不等式lnx0，運用函數的單調性進行求證：lnx0），令f′（x）=1/x-1=0，x=1當00，當x>1時，f′（x）<0，∴x=1時函數f（x）取極大值f（1）=-1∴f（x）=lnx-x<0，即lnx1，指數函數單調遞增，∴elnx1，對數函數單調遞增，∴lnx

（三）有利于發展學生的思維能力

其實通過對導數的學習以及導數在數學中的應用這種思維可以啟發學生由局部到整體的思想，而如何讓學生明白導數的重要性，教師就需要做好一定的功課，盡量用言簡意賅的教學思想將之表達出來。而高中階段，學生不只是要掌握知識，其實還要加強自主學習和對數學思想方法的掌握。在以前的教學中大多老師都是將知識作為一種規則來教學，那是一種機械教學。對于導數來說，學生估計只會一些淺薄的定義和簡單的題目，根本不能做到舉一反三，從而失去對數學的學習興趣。而如果在教學中，通過大量的實際案例，讓學生理解從“平均變化到瞬時變化”、從“有限到無限”的思想，進而可以將局部方法引導到整體方法。這樣的穿插可以提高學生的思維能力，也可以提高學生的實際動手能力與創新能力。

二、總結

雖然高中數學相對于其他學科來說存在著一定的難度，但是如果找到合適的數學思想方法，那么就會迎刃而解。通過學習導數，我們可以看出數學知識是緊密聯系的，它是一個系統，猶如食物鏈一樣，不可分離。如果沒有導數的扎實基本功，那么對于函數以及不等式或者其他與導數有關的數學知識，學習起來就不會得心應手，而且還有可能會造成學生對知識學習的不牢固。另外，通過導數這一例子，不僅可以促進學生對數學的全面認識，還會發展學生的辯證思維能力，同時也會為接下來的學習奠定一定的基礎。還有學習的實際意義，其實也就是促進學生的全面發展，為自己所處的現實生活提供幫助。

參考文獻：

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[3]孫雪鈺.高中生在“導數及其應用”學習中的困難及教學策略研究[D].山東師范大學，2011.

編輯 謝尾合