數學原理教學及其設計

方友明　李麗芳

摘 要 以促進中學數學原理課的教學效果為目的，在總結國內數學原理課教學及其設計的研究現狀基礎上，分析中學數學原理的本質、學習的程度以及原理課教學所采取的由原理到例子的教學內涵，并設計由原理到例子的數學原理課教學設計的案例，以期為中學教師的教學提供幫助和借鑒。

關鍵詞 數學原理 教學設計 案例

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）12-0025-03

在中學數學教學中，數學原理課是一門很重要的課程，在數學學習中起著很重要的作用，而部分教師在原理教學過程中只教會了學生數學原理要記住數學公式、數學法則、數學性質和數學定理，而并沒有讓學生理解這個原理的真正的數學意義。因此講授數學原理時不僅僅是讓學生單純的學會數學公式、數學性質、數學定理、數學法則，而是要他們理解數學原理的真正含義并能實際運用。而原理課的教學設計是教師為了使學生在學習數學原理時更容易接受和更好的理解數學原理。教學中教師要讓學生理解并掌握數學原理，把握住數學思想，感悟出數學的思維方式，提高學生學習數學原理課的興趣，還要使學生了解原理的公式、性質、法則、定理在整個數學知識系統中的作用、地位和價值，尋找如何在中學數學原理教學中讓學生輕松學好原理的方法。

本文主要探討是原理課的教學和設計，講述中學數學學習原理課的本質、學習的程度以及學習原理課的幾種形式，列舉原理課的教學設計的案例，為中學教師的教學提供幫助和范例。

一、數學原理教學的研究現狀

我國在很早以前的教育史上就出現了關于數學原理的研究，他們不僅注重數學原理的言語性信息還注數學原理的本質。到了當代，數學原理的教學及其設計的理論與實踐出現了勃勃生機。從上世紀80年代到現在，我國教育界對數學原理的教學及其設計進行了許多的理論與實踐研究。近年來國內關于本論文的研究很多，有學術性論文、碩士論文和博士論文，楊勤合于2012年在《學周刊》第5期刊登了《新課程理念下數學原理的教法和學法》一文，分析了新課程下的原理教學的方法以及做好原理課設計的各項工作。數學原理教學及其設計的理論研究以及各種模式的教學實驗已出具規模，對其教學和設計的課程的開展提供了理論依據。

數學原理課的教學及設計有著長久的歷史，從古至今，國內外關于數學原理教學的文章有很多，由此可見，數學原理教學及其設計是具有重要意義的課題，值得我們去關注，并通過案例解析。同時，對數學原理教學及其設計的研究也是有理論依據和研究背景的，廣大學者的研究結晶有助于我們進一步實踐。教師在教學過程中改變原理課的教學方式、教學手段，通過案例分析，突出數學原理課的重要性，可以提升其教學設計情操和能力，融入學生，做學生的良師益友，讓學生喜歡數學原理課，提升學生學習數學的興趣。

二、數學原理教學的本質

1.數學原理的本質

數學原理的理解一般分為兩種，一種理解為客觀原理，采用言語符號信息來描述概念之間的關系，屬于陳述性知識；另一種理解為主觀原理，即學習者的心理操作反應系統（產生式系統），是學習者在某些特定的情況下能根據各種關系做出相關響應的反應，屬于程序性知識。

數學中的原理主要包含定理、公式、性質和法則。學習數學原理主要是學習數學公式、數學定理、數學性質、數學法則。教師在數學原理教學中應樹立以下理念：

（1）數學原理的學習就是數學概念之間關系的學習，概念學習也就成為原理學習的基礎。

（2）數學原理的學習不但要習得原理的言語性知識，還得習得原理的心理意義。

（3）習得數學原理的不是孤立地掌握某一個數學原理，而是要在各個原理之間建立起聯系，形成一種原理網絡。

（4）學習數學原理的本質是習得產生式。只要信息條件滿足，相關的行為反應就會出現，學習者可以據此指導自己解決遇到的新問題。

2.數學原理學習的幾種程度

了解、理解、掌握和綜合應用是數學原理的四種程度學習水平：

（1）了解：能復述出原理的言語信息，并能辨認出這種原理的常見題型，還能列舉出一些相關例子。

（2）理解：能區別原理的反例與例證，能與相關的數學原理建立聯系，能掌握原理的本質屬性。

（3）掌握：在理解的基礎上，直接將原理運用在新的問題情境中。

（4）綜合運用：在綜合類型的題目中運用原理解決問題。

3.數學原理教學的幾種形式

學習數學原理不僅要學會原理的言語性知識，還要掌握原理的程序性知識。在數學原理課堂教學中一般有兩種教學形式，即由原理到例子的教學和由例子到原理的教學。

由例子到原理的教學是教師先向學生提供豐富的例子，通過教師的適時指導，使學生從例證中順利、準確地歸納總結出一般結論。這是一種獨立發現式學習，對學習者認知水平要求較高，簡稱為“例子—原理法”。

由原理到例子的教學是教師先向學生呈現數學原理，讓學生在掌握構成原理的各個概念、原理的基礎上，運用實例來說明原理的準確性（有時需要邏輯證明），并指導學生運用原理解決問題，從而讓學生掌握住原理。這是一種接受式學習，簡稱“原理—例子法”。對學習者認知水平要求不高，初中數學教學過程中主要采取原理到例子的教學形式，在掌握數學原理本質的基礎上，運用大量的例證來說明原理所反映的關系。

高中的學習正弦定理和余弦定理，教師可以先呈現正弦定理“在三角形中，各邊和它所對的正弦的比相等”和余弦定理“三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍。”然后再通過具體的例子來說明這個數學原理的運用，接著通過一些練習讓學生掌握這個數學原理。但采用“原理到例子的學習”的前提條件是，學習者必須已經掌握了構成這個原理的其他項的概念。比如說，在正弦定理中，學習者必須已經掌握了什么是正弦角和余弦角，否則就不會運用由這些概念構成的正弦定理。

三、原理到例子的教學設計

1.原理到例子的教學模式

數學原理的學習是有意義的學習，是新舊數學原理知識的相互作用，從而形成新的認知結構的過程。如果學生的認知結構中具備了新原理的相關的適當觀念，就能促進新原理的學習。在課堂教學中，老師可以適當引導學生回憶、復習與原來相關的舊知識，以便幫助學生同化新的原理。

在初中學習原理“偶函數的圖像關于y軸成軸對稱圖形，奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖形”。老師應該引導學生復習偶函數、奇函數、軸對稱圖形、中心對稱圖形、兩點關于一條直線對稱和兩點關于一點對稱等概念，這樣才可能讓學生同化新原理。

2.原理到例子的教學設計

課題兩角和的余弦公式。

教學內容三角恒等變換，兩角和的余弦公式。

[教學目標]

學會推導并熟記平面內兩點間距離公式；能夠運用公式從正反兩個方向解決簡單應用問題，為建立其他兩角差的公式奠定基礎。

[教學重點和難點]

教學重點：兩角和的余弦公式的推導及運用。

教學難點：兩角和的余弦公式的靈活運用。

[學法與教學用具]

學法：啟發式教學

教學用具：多媒體

[教學過程設計]

（一）導入

讓學生先討論“cos（45€？30€埃？cos45€？cos30€笆欠癯閃ⅲ俊薄#ㄑü厥飩僑嗆島陀嘞液鬧滌頡⒓撲閆鰲⒘坑嘞蟻叩某ざ熱滯揪督餼鑫侍猓5貿鯿os（45€？30€埃賑os45€？cos30€啊=貿鯿os（ + ）≠cos +cos 這個結論。此時再次提出那么cos（ + ）又等于什么呢？這正是我們今天要研究的內容。（揭示課題：兩角和的余弦。）

設計意圖：通過創設情境，順其自然地提出問題，揭示出課題，引導學生思考。使學生明確目標、迅速進入角色。

復習提問：

（1）畫出一個鈍角、一個銳角的余弦線、正弦線。

（2）如果單位圓與角a的終邊相交于某點P，那么點P的坐標可以用角a的三角函數值表示嗎？怎樣表示？

（3）用在同一坐標軸上的兩點寫出兩點間距離公式。

新課引入：我們在解決上面的三個問題之前，先解決“平面內兩點間距離的求法”這一問題。

通過上面的知識點回顧，我們了解了同一坐標軸上兩點間距離公式。那么，坐標與平面內兩點間距離有什么關系呢？（通過具體的例子讓學生觀察同一坐標軸上兩點間距離和平面內兩點間距離的關系。）

教學過程：

3.結論

對于數學原理課的教學設計，不僅需要對原理掌握透徹，而且還需要靈活的運用，善于將知識之間的聯系緊密連接起來，因此我們需要不斷的分析典型的教學案例，找出其內在的規律與聯系，這樣才能對原理課的教學及其設計才有更深刻的掌握、理解及運用。

總之，數學原理課的內容形式變化不斷，教學設計要有適應性、靈活性，我們要善于思考、分析、總結，才有可能找出問題的突破口，從而解決問題。

參考文獻：

[1]陳曉慧.教學設計[M].北京：電子工業出版社，2005.

[2]烏美娜.教學設計[M].北京：高等教育出版社，1994.

[3]馬復.試論數學理解的兩種類型[J].數學教育學報，2001，（3）.

（責任編輯 陳 利）