淺析二次函數在高中數學中的應用

何家睿

摘要：新課改背景下，二次函數的學習目的已經不再是單純掌握二次函數基本知識，而是要鍛煉和培養學生運用二次函數解決實際問題的能力。文中，筆者介紹了二次函數的基本知識，探究了二次函數的應用，更說明了應用二次函數解決實際問題過程中的注意事項。。

關鍵詞：二次函數；基本知識；注意事項；高中數學

初中階段已經接觸了二次函數，但是受到各種因素的影響，只是初步了解了二次函數的相關知識，并沒有認識到二次函數在實際生活中應用的廣泛性，更沒有明確二次函數在應用過程中的注意事項。而高中階段無論從理論上還是應用上都對初中階段進行了補充，其更為注重培養和鍛煉二次函數的應用能力。

1.二次函數基本知識點歸納

二次函數的函數圖象為拋物線，它的一般式為：y=ax2+bx +c（a≠0）；頂點式為：y=a（x-h）2+k（h= b/2a，k=（4ac-b2）/4a）；

交點式為：y=a（x-x1）（x-x2），交點為（x1，0）、（x2，0）。對于一般是來講，當a>0時，函數圖象拋物線的開口向上；當a<0時，函數圖象拋物線的開口向下。Δ=b2-4ac，當Δ>0時，與x軸有兩個交點；當Δ<0時，與x軸無有交點；當Δ=0時，與x軸有一個交點。持此之外，二次函數均具有單調性與極值特性。

1.1單調性

單調性的大體概念跟含義我們在初中數學中已經接觸到了，但當時并沒有經過嚴格的科學性的定義跟論證，高中數學二次函數的學習給單調性做出了一個有理論依據做基礎的解釋。二次函數的單調性是分兩部分的，這兩部分以拋物線的對稱軸為界限，一邊單調遞增，而另一邊就會單調遞減。學生在學習過程中，對于自變量有范圍，判斷起來比較困難的分段函數，結合圖形分析給人以直觀性，是一種很好的方法。

1.2極值特性

開口向上的拋物線具有最小值，而開口向下的拋物線具有最大值，可見二次函數具有極值特性，且對稱軸處的函

數值就是該二次函數的最大值或者最小值。二次函數的極值特性，能夠將非常多的繁瑣問題簡單化，且還能夠減少誤差。

2.二次函數的簡單應用

2.1接軌一元二次不等式

中學數學的學習過程中，肯定接觸到了一元二次不等式的內容。也就是根據一致的不等式求解范圍。第一步首先看判別式。第二步把不等式暫且看做等式，求解出變量值。第三步是依據二次項正負判斷開口，畫出假想函數的大致圖像。最后看圖像找所要求的變量范圍。第三步中的畫圖識圖就是將二次函數的知識充分運用到求解不等式當中來，這一步是求解的關鍵。如果化簡后的不等式是大于零，那么自變量的取值范圍就選取圖像上方的部分。如果化簡后的不等式小于零，那么自變量的取值范圍就選取圖像下方的部分。另外要格外注意等于零的不為的選取與否，最后得到的不等式解集就是正確答案了。

2.2求函數的定義域、值域

學習或者考試過程中，遇到的二次函數并不像書本中，直接給出二次函數，而是將本質問題藏起來。

例如：已知函數y=lg（x2+2mx+2） ，求：如果函數的定義域是全部實數集，試得出m范圍；如果值域是全部實數集，試得出m范圍。

第一問：問題等價于x2+2mx+2恒大于零，得出m大于負根號2小于正根號2.

第二問：問題等價于x2+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根號2或者m小于等于負根號2.

這樣的問題最能迷惑學生的雙眼，將學生的思維搞混亂，追根究底關鍵還是沒能對所學的知識進行完全吸收。

3.二次函數應用過程中的注意事項

基礎知識是解決二次函數相關問題的關鍵點，因此在學習中，要認真對待每一個知識點。即使一個小小概念也不

要放過，而是要里理解清楚其含義，且要在大腦中留下一個深刻的印象。基礎知識學習并不是簡單的記憶與理解，而是要能夠運用基礎知識，解決實際問題。遇到二次函數相關的題目時，不要慌亂，而要斟酌冷靜，細細琢磨，看該題目與二次函數的那個基礎知識有關系，才能夠取得事倍功半的效果，同時還能夠樹立學好二次函數的自信心，更能夠使學生認識到二次函數的重要性，進而養成自覺分析、自覺探究的良好習慣。在實踐應用中，千萬不可盲目的選擇基礎知識，而是要根據實際需求，選擇恰當的方式方法，解決問題。這樣的過程，才能夠起到事倍功半的效果。

二次函數的單調性與極值特性，都能夠解決需要實際的問題，且在考試中也常常遇到。如若函數的單調性與極值特性掌握的好，就能夠很好地解決問題，但是如果掌握不得當，就會感覺迷茫，不知如何著手，從而出現丟分失分的情況，不僅會影響學好的自信心，還會產生厭學的心理。

綜上所述，二次函數作為高中階段學習的重點與難點，且在新課改背景下，不僅要掌握好基礎知識，還要鍛煉和培養學生自身的應用實踐能力。二次函數應用過程中確實存在不少問題，因此筆者根據自己的實況，歸納總結了二次函數的基礎知識，且概述了二次函數應用過程中的注意事項。

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