高中生物學中的數學模型：函數模型

袁媛++王威

摘要：本文界定了數學模型的概念，并將高中生物學中的函數模型進行分類。

關鍵詞：高中生物 數學模型 函數模型

中圖分類號：G63391文獻標識碼：A文章編號：1009-5349（2017）12-0149-01

一、 數學模型的概念和內涵

（一）概念

廣義的理解：一切的數學公式、圖表、數學符號、數學工具等都可以稱為數學模型。狹義的理解：一些研究者認為數學模型是某一情景中，在數學方法原理的指導下，根據特定事物的內在規律，運用適當的數學工具對認識對象做出必要的簡化假設，得到特定的數學關系，通過數學的求解從而達到解決實際問題的思想和方法。

（二）數學模型的內涵

（1） 具有原型。數學模型是摒棄了與原型無本質關系的結構而形成的，是對原型的簡化和抽象，所以一個數學模型有與之相對應的原型，一個原型根據需要可以建立很多模型，而一個模型是根據在某一問題情境下對原型的一些不必要的性質刪減然后抽象形成的，所以大多數情況下一個模型只能對應一個原型。

（2） 用一定的數學工具表示。數學思維的外顯需要數學工具來呈現，所以數學工具是數學模型中不可或缺的元素。包括：表格、方程式、數學符號、幾何圖等。

（3）具有數學規律。數學模型是在實際問題中將研究對象的本質屬性、規律、現象等轉化為數學規律的結果，因此構建數學模型的前提是原型具有一定的數學規律。

二、數學模型的分類

生物中的數學模型目前沒有統一的分類方法，根據模型應用的數學工具不同，一些學者將數學模型分為：數學歸納法、數字模型、比例模型、方程式模型、公式模型、線段模型、幾何圖模型、冪函數模型、概率計算模型、等式模型、排列組合模型、曲線模型和表格模型。

三、函數模型

如果有兩個變量x，y，隨著x的改變y也隨之改變，并且對于每一個x的值，y都有與之對應的唯一的值，那么就說y是x的函數。x叫做因變量，y叫做自變量，函數式記作y=f（x）。高中教材中一些描述生理變化或規律的曲線圖，其實質是函數的圖像。

（1）二次函數。圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。拋物線有最值，開口向下有最大值，開口向上有最小值，對稱軸的兩側出現單調遞增或單調遞減。圖1酶活性受溫度影響示意圖，以x軸表示溫度，y軸表示酶的活性的坐標軸中，酶活性受溫度影響的曲線可以看作二次函數。隨著因變量溫度低于或者高于最適溫度都會影響自變量酶的活性，而且在一定范圍內，隨著溫度越來越低（或越來越高），酶的活性也會越來越低。值得注意的是，在教學中應該注意隨著溫度升高到一定程度，酶會失去活性，即活性為0，而溫度降低卻不會使酶活性降為0。

圖1酶活性受溫度影響示意圖（2）指數函數。以指數為自變量，底數為大于0且不等于1的常量的函數稱為指數函數。在生物學中，指數函數大多用于種群繁殖的數量變化，因此應表達為y=ax（a>1）。以“在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min繁殖一代”為例：細菌繁殖 n代的數量為Nn=2n。由這個表達式可以將該細菌的數量增長看做是指數函數。除此之外“J”型曲線Nt=N0λt也是指數函數。

（3）正比例函數。兩個變量x、y之間的關系式可以表示成如y=kx的函數（k為常數，x的次數為1，且k≠0）。在生物學中的k值一般都是取大于0，圖像才有意義。物質的運輸方式：自由擴散 表示隨著自變量物質濃度的增加，因變量運輸的速率也隨之增加，他們之間的關系是正相關的。

（4）其他函數。高中生物學中所用到的一些曲線雖然不屬于普通數學里面的某一類函數，但是也具有和函數相似的性質：因變量隨著自變量的改變而改變。圖2 光照強度與光合作用的關系圖表示了在一定范圍內，隨著光照強度的不斷增強，光合作用強度也不斷增加，但是一定范圍以后，隨著光照強度的增加，光合作用強度依然保持不變，這時限制光合作用強度的因素是CO2的濃度。

圖2光照強度與光合作用的關系人教版高中必修教材中有很多涉及曲線的模型都是函數模型，這些函數在生物學中往往由于生物因素或非生物因素影響其走向和趨勢，不能和數學中的函數完全一樣，也許沒有函數表達式，但這也恰巧符合模型的定義：對原型信息簡化和提取，得到一個可用來分析研究問題且結構特性相類似的替代物，用來反映原型的特征和屬性。在講某一現象時，將其與函數結合，可以使學生根據不同函數的性質和圖像來記憶相應的生物現象。例如：在物質的自由擴散和細菌在營養條件、生存空間不限的條件下的圖像都是隨著因變量的增加而增大，所以學生容易搞混兩個圖像。這時給學生提出指數函數和正比例函數的圖像性質后，學生更容易分清。

責任編輯：孫瑤