“直線與平面垂直”評優課的課例分析與思考

華書春++許興震

[摘 要] 目前基層相當比例的數學課堂依然沿襲著傳統的“重結論、輕過程”的現象，筆者參與的“問題引領，自主建構”數學教學模式以問題為載體貫穿整個教學過程，學生通過感受問題、探究問題、解決問題，實現意義建構，提高思維品質.

[關鍵詞] 問題；情境；啟發；建構；反思

筆者在無錫參加了江蘇省高中青年教師數學評優課活動，此次活動由全省各市選拔的二十多名青年教師參賽，活動包含了聽課、優秀課說課、評課及交流，筆者（以下稱A老師）以參賽的“直線與平面垂直”第一節課作素材，分析一些有益的經驗，提出“問題引領，自主建構”模式的一些教學建議供大家探討.

創設情境，推一扇大門

情境創設部分A老師提出了五個問題.

問題一：直線和平面有哪幾種位置關系？

問題二：研究了直線和平面平行哪些內容？

問題三：直線和平面相交中最特殊的一種情況是什么？

教學過程：A老師以連續三個問題和學生互動，引導學生參與思考，然后讓學生動手操作，去感知發現線面垂直是相交的一種特殊情況，得出線面垂直的初步構想，同時追問為什么命名為“垂直”？我們已經掌握了哪些垂直關系？

點評：通過對已有知識追問，為未來定義的建構埋下伏筆.

問題四：為什么先研究線面垂直？

點評：體現了研究新問題時常用的由特殊到一般、由簡單到復雜的思想.

問題五：為什么要研究線面垂直？

教學過程：讓學生舉出生活中的實例和幾何體中的實例.

點評：感受線面垂直的重要性.

總評：“問題引領，自主建構”的教學模式中，創設情境通常可以有以下幾個途徑：（1）以數學故事和數學史實創設趣味型問題；（2）以數學知識的產生、發展過程來創設知識性問題情境；（3）以數學知識的現實價值創設應用型問題情境；（4）以“數學懸念”創設“懸念型”問題情境；（5）以數學活動和數學實驗創設活動型問題情境；（6）以計算機為工具創設動畫型問題情境.A老師以數學知識的產生、發展過程來創設知識性問題情境，并且重視了知識的最近發展區原則，注重了學生的思維，增加了課堂的思維容量，在授課過程中表現親和，不斷地對學生予以鼓勵和肯定，營造了安全、和諧的課堂氛圍，課堂如同蕩漾著自由之波的一方池塘；同時，A老師以問題串的形式復習線面關系，通過不斷追問、反問，層層遞進，引發了學生的認知沖突，給學生留有了探索空間，調動了大多數學生的思維，同時也勾勒出了本節課的研究線路.本節課的情境創設很好地體現了該模式的特點.

啟發引導，造一方池塘

問題六：你認為應該研究直線和平面垂直的哪些內容？

點評：培養了學生的模仿類比能力.

問題七：圓錐的軸與底面的任意一條線是什么關系？

教學過程：通過幾何畫板動態展示圓錐的定義，讓學生觀察思考，探究發現.教師此處追問了三個小問題：（1）圓錐的底面是如何形成的？（2）圓錐的軸與底面是什么關系？為什么？（3）圓錐的軸與底面不過圓心O的直線m是什么關系？問什么？

點評：問題引領，逐層遞進，實踐與思考并重.

總評：A老師在啟發引導部分繼續通過二個主問題、三個支問題，讓學生展開積極的思維活動，很好地體現出了教師自己的啟發者、合作者、引導者和促進者的作用.“問題引領，自主建構”模式要求教師要具備強烈的問題意識和較強的提出問題的能力，還要懂得多種措施的引入，以促進學生的思維活動的開展，A老師此處幾何畫板的動態展示起到了錦上添花的作用. 尤為值得稱道的是，A老師始終努力構建著擁有創新之泉的一方池塘，給學生以主動，引導學生邊學邊思，想方設法讓學生經歷問題的發展和生成過程，重視學生數學思維的培養.

意義建構，敲一塊燧石

問題八：你能給直線與平面垂直下定義嗎？

點評：由于前面七個問題的鋪墊，定義的生成就顯得水到渠成.此處培養了學生的概括能力.

定義生成：如果一條直線a和平面α內的任意一條直線都垂直，則稱a和平面α互相垂直，記作a⊥α.

記為：任意l？奐αa⊥l？圯a⊥α.

圖1

教學過程：A老師在定義生成之后，讓所有學生在座位上思考并讓學生書寫了定義的符號語言，其中一位上黑板的學生在條件中多寫了l？埭α這一條件，A老師并沒有立即指出問題，而是提出問題并引導學生通過手中的紙和筆來推敲該條件的必要性，同時也肯定了該同學思考問題的嚴謹.

點評：此處培養了學生語言轉化能力.

詞語辨析：“任意”等價于“所有”嗎？等價于“無數”嗎？

反例辨析：圓錐的母線垂直于底面嗎？

點評：詞語辨析和反例辨析讓學生加深了對定義的理解.

例1：求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

教學過程：A老師讓學生在座位上完成，教師走動查看，適當點撥個別學生，最后通過實物展臺展示一位學生的證明過程.該學生的證明過程如下：

證明：

a⊥α任意m？奐α？圯a⊥ma平行于b？圯任意m？奐α任意m⊥b？圯b⊥α.

圖2

本段教學實錄：

師：說說你的思路！

生：先在平面內作一條直線.

師：m是吧？寫了嗎？

生（慚愧）：哦！沒寫！

師：然后呢？

生：然后它是任意一條平面內的直線，直線a⊥α，所以得到直線a垂直于平面內的任意一條直線m. 然后a∥b，所以能得到b垂直于任意一條直線m，然后任意直線m屬于α，所以b⊥α. （此處，學生表述有誤，應為包含于）

師：嗯！你覺得在解題過程中最大的體會是什么？不停地在用什么啊？

生：垂直！

師：嗯！垂直！也就是說不停地在用線線垂直和線面垂直的轉化. 好！你先請坐！

師總結：好，剛才第一個問題，是我發現的，作了一條直線m，但是沒有進行書寫.那么有沒有其他同學再來發表自己的看法. （停頓）這個書寫過程中，還有什么要完善的？誰發現的就站起來，主動一點，沒關系，不要低聲在下面說，來跟我們一起分享. 這位女生，你說說看.

生：我覺得應該不用寫任意.

師：不用寫任意，為什么？

生：在隨意畫直線的時候，在畫直線的時候就已經表示出來了.

師：哦！在這邊我們要強調一下. 只要在用條件時我們要保證它的充分性，一定要保證書寫的完整，這任意還是需要的. （強調）（停頓）好，我們來看這位同學的. 這就是剛才說不要寫任意的那位女生的，大家來觀察，她沒有寫任意，但和剛才的過程比較，她多了什么啊？

（實物展臺展示）？搖

已知：a∥b，a⊥α，證明：b⊥α.

（和第一位女生基本相同）

生（異口同聲）：已知，求證.

師：嗯！你們覺得有必要嗎？大家看，原來的題目當中，有沒有直線a、直線b和平面α，所以文字語言敘述的命題，為了證明時表述的方便，我們首先要用符號語言將它表示出來，并畫圖輔以證明，這樣才能夠表述準確.

師（總結，同時幻燈片展示）：好，通過這道題，我們一起來回顧一下. 在這道題當中，已知線面垂直，根據定義能得到（停頓，等學生回答）線線垂直. 那么要求證什么呢？線面垂直.可以由什么得到？（停頓，學生集體回答：線線垂直）這樣我們就用定義將這道題得到了圓滿的解決. 好，那么在實際應用中，工人要想用定義驗證旗桿是不是和地面垂直，那他就得來驗證旗桿與底面所有直線垂直，這顯然很難操作. 那有沒有更簡潔的方法呢？（提出問題九，引出判定定理，并由實際操作的困難，讓學生認識到判定定理產生的必要性）

問題九：判定直線與平面垂直有沒有簡便的方法？

教學過程：此處，A老師設計了實驗過程，讓學生動手使用課本，實驗把書立在桌面上，看如何使得書脊所在的直線與桌面垂直，通過設置實驗過程，讓學生歸納總結. 然后教師提出兩個問題：（1）這本書至少要有幾頁才能做到讓書脊與桌面垂直？（2）讓同學們拿出講義紙折疊，思考折痕滿足什么樣的條件時就可以使得折痕與桌面垂直？最后，A老師輔以了生活中的實例加以驗證，最終總結歸納出了直線和平面垂直的判定定理.

點評：讓所有學生參與活動，不同層面的學生均有所獲，體現了分層教學的思想.

判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

記為：a⊥ma⊥nm∩n=Am，n？奐αn？奐α？圯a⊥α.

圖3

總評：A老師調控課堂的能力比較強，整個課堂如同游弋著“快樂”之魚的“一方池塘”，通過實物展示，提問和追問，進一步暴露學生思維中的漏洞，對學生既有溫馨的提醒，又有恰到好處的肯定和總結，主導作用得到了很好的發揮. “問題引領，自主建構”教學模式要求教師要成為學生建構意義的幫助者，同時為了使得建構更有效，教師應在可能的條件下組織協作學習（開展討論交流），并對協作學習過程進行指導. 建構過程中要有適當的問題提出，要和學生在互動中將問題進一步深化，以加深學生對所學內容的理解.

操練拓展，點一束火焰

問題十：怎么檢驗旗桿和地面垂直呢？

點評：前后呼應，解決問題.

例2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：側棱BB1⊥平面ABCD.

點評：操練矯正.

教學過程：該處教師在處理時沒有做過多糾纏，主要是通過讓學生觀察思考，當堂回答，然后直接進入性質定理的生成部分.性質定理的生成部分又如同一個小循環，師生互動經歷了“提出問題→分析和解決問題→意義建構”.

A老師很有教學智慧，面對一位站起來回答問題的學生，提出：

問題十一：你和我都垂直于地面，那么把我們看成直線，會有什么關系？

點評：性質定理的證明是本節課的難點，教師通過教學智慧引出問題，很精彩.

問題十二：已知：a⊥α， b⊥α，證明：a∥b.

教學過程：A老師讓學生當堂練習，展示了三個學生的錯誤的證法，進行分析，最終提出證法.

點評：證明過程中，學生都知道在平面內找條線，但是在隨后的證明中，學生找不到正確的途徑推出線線平行，教師此時沒有急于求成，而是給學生時間思考錯誤原因，提出“兩條線在一個平面內嗎”，“能不能讓它們在一個平面內呢”，“不能實現在一個平面內，我們還有什么途徑證明呢”，最終引導學生聯系到反證法.

性質定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行. （圖形和符號語言略）

總評：此處內容是本節課的難點，反證法的出現比較突兀，教師讓學生親身經歷克服困難，循循善誘，突破了該難點，也做到了“授之以漁”，而不是“授之以魚”.

歸納反思，收一地金黃

問題十三：通過本節課的學習，你有哪些收獲？學了哪些知識？掌握了哪些方法？體會了哪些思想？

總評：“問題引領，自主建構”的教學模式需要教師重視學生反思習慣的培養，讓學生用自己的語言談心得體會，既要有知識的總結，又要有思想方法的總結，多層面揭示問題本質，充分貫徹落實三維教學目標，A老師做到了這一點.

后記

A老師在本節課實施上，由于充分尊重了學生的主動性，在意義建構部分多花了點時間，造成有些“前松后緊”的現象，在歸納反思部分實施時沒有足夠的時間讓學生闡述充分，但瑕不掩瑜.

1. 一處點睛之筆

提出反證法之后，A老師向學生介紹反證法的流程，但并沒有按照反證法原封不動的講解，主要原因源于學生在假設a與b不平行以后，直接說他們相交或異面，教師沒有生拉硬拽地將學生拉回到課本上的思路，而是在黑板上直接畫圖，提出如果相交，面內的那條線如何尋找；如果異面，又該怎樣處理異面直線的位置關系. 學生知道在直線上取點作平行線之后，又有了一些區別，有的學生說直接取b與平面的交點，有的說直接在b上取點，教師分別都予以了闡述. 這當中的課堂形式相對復雜，教師從學生的的思維中，努力尋找出學生思維的閃光點，予以肯定.

教育的價值在于幫助人以一切可能的方式成為實現他自己潛能的主人，筆者看到了教師的努力.

2. 一些教學建議

一堂好課需要教師始終關注學生的發展，遇到突發情況及時變通因勢引導，教學行為才會合理有效. “問題引領，自主建構”模式最重要的特點是強調問題為過程的載體，強調突出學生的主體地位和教師的主導作用，強調了學生的自主構建知識. 一節“問題引領，自主建構”的課堂是要把獨立思考、反思質疑、建構內化貫穿始終. 教師在課堂上最大的作用是搭建支架，引領學生發揮個人認知與群體交流的能動性，在師生、生生的互動、碰撞中，發現規律，掌握規律. 課堂教學中筆者提出以下六點供大家探討：情境設計要立足學情；教學過程要以問題為主線；意義建構要盡量自然生成；例題、堂練要層次化設計；問題解決要有化歸思路；教學方式要開放互動.