利用數學模型打造中職數學高效課堂

周輝君

【摘 要】本文分析在中職數學教學中常見的幾種數學模型，并探究如何利用數學模型打造中職數學高效課堂的四種策略：引導學生自主探究、改編習題、鏈接生活、結合專業深入發展。

【關鍵詞】數學模型 中職數學 高效課堂

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0134-02

中職生群體具有一定的特殊性，他們中的大多數人的數學基礎較差，學習主動性也不高，因此中職數學的高效課堂一直難以實現。筆者在教學中發現，充分利用數學模型能夠有助于提高學生的解題效率，有效提高中職生的數學素養，增強學生的數學應用能力，高效課堂由此形成。

一、數學建模的思想概述

數學建模就是把實際問題通過數學語言抽象概括，從數學角度來反映實際問題，從而得出關于實際問題的數學描述。數學建模的形式多樣，可以是方程或方程組、不等式，也可以是函數、幾何圖形等。學會運用數學建模思想解決數學問題，對于學生學科素養的提升大有益處。下面介紹幾種數學模型及相關問題的歸類：

方程（組）一般涉及的問題有：工程、行程、質量分數、增長率（降低率）、利息、存貸、調配、面積等。

函數一般涉及的問題有：方案優化、風險估算、成本最低以及利潤最大。

不等式、統計、概率等模型一般涉及的問題有：最佳設計、租金預算、合理調配、人口、環保、投資估算等。

直角三角形模型一般涉及的問題有：測高量距、航海、氣象、圖形設計、土地測量、堤壩設計、房屋設計等。

線性規劃初步模型一般涉及的問題有：產品成本、銷售盈虧、投資獲利、城市規劃、產業預估、利潤分配、生產方案設計等。

二、利用數學模型打造高效課堂策略

（一）引導學生自主探究

由于中職生的自制力較差，缺乏毅力和鉆研精神，上課時習慣于“走馬觀花”，因此學習效率低下，即使教師剛講完某道題的解題方法，下次遇到同類問題時依然有不少學生還會做錯。因此筆者認為，教師在教學時應當引入數學模型，引導學生對問題進行深入探究，通過提煉數學模型，提高學生的解題效率。

如筆者在對《概率與統計初步》這一章節的內容進行教學時，提出了一道關于抽獎的探究性概率問題，以考查學生對這部分知識的理解與應用程度。

問題 1：在日常生活中有各種各樣的抽獎方式，其中有一種抽獎方式為抽簽，每個人選擇的順序不同，但獲獎的概率是否相同呢，這種抽獎方式是否公平呢？

問題提出后，學生展開了激烈討論，有的學生認為公平，有的學生認為不公平，但是大家都沒有通過精確的計算來證明自己的結論，而只是給了直覺上的答案。因此筆者讓學生通過計算來驗證自己的結論，并找出這一抽獎方式的概率模型。假設有 m 個人抽獎，共有 n 個不一樣的簽，而其中有獎的只有 k 個。一開始有學生回答：“隨著 m 個人的抽獎順序，概率依次為，每個人得獎的概率不同，所以不公平。”筆者進一步提示：這道題用這個模型來解答對不對？經過一段時間的深度思考，學生發現，每一個人抽獎的結果有兩種可能，所以要分情況考慮：當第一個人抽獎時，他的中獎概率為，第二個人抽獎時，若第一個人中獎，則他中獎概率為，若第一個人沒中獎，則第二個抽獎人的中獎概率為，所以綜合兩種情況來看，第二個人中獎的概率為，即每個人獲獎概率均為，所以這種抽獎的方式是公平。

在上述教學活動中，筆者通過引導學生對概率問題進行深入探究，使學生成功構建了抽獎的概率模型，既能培養學生的鉆研與自主探究的精神，還使課堂教學變得更高效。

（二）利用數學模型一題多改

數學模型是一種運用數理邏輯方法和數學語言建構的科學或工程模型。熟練應用數學模型，將有助于促進學生抓住問題的本質，從而提高解題效率。因此中職數學教師在教學的過程中要利用數學模型對數學問題進行變式，讓學生掌握數學模型，學會舉一反三，融會貫通，進而高效地完成教學目標。

比如筆者在對二次函數進行教學時，引導學生通過習題練習建立二次函數的模型及應用模型，學會解決用量最省、造價最低、利潤最大等問題。

問題 2：某酒店有 100 間客房，每間客房房租均為 80 元每天，每天客房住滿無剩余。現酒店管理員想提高房租價格，若每間房租提高 10 元，客房租數會減少 5 間。不考慮其他因素，若想要酒店的收入最高，房租應定價多少？

這道習題是考查二次函數的典型例題，可設總收入為 y，房租提高 x 個 10 元，那么 y=（80+10x）（300-5x），然后求此二次函數最大值及其對應的 x 值，則酒店收入最高時的房租即為80+10x。為了讓學生學會熟練構建二次函數的定價模型，筆者對該問題進行了改編：某雜志以每本 10 元價格出售，可售出 2 萬本，價格每提高 1 元則售出量減少 1000 本，為獲得最高收入，該雜志應定價為多少元一本。改編后的問題與之前問題為一類，可以通過原例題中構建出的數學模型順利求解，通過這樣變式練習，學生能夠進一步深入理解并掌握二次函數的定價模型。

在上述教學活動中，筆者通過進行習題改編，引導學生進行變式練習，使他們能夠自我挖掘并構建數學模型，很好的滲透了數學建模的思想。

（三）鏈接生活，強化應用

陶行知先生曾提出過“生活即教育”的教育理論，主張教學要與生活實踐相結合。教師授課時也應當從生活實踐出發，通過鏈接生活中的具體例子，將生活引入課堂。教師可以引導學生從生活原型中構建數學模型，實現理論與實際的統一，提高學生的數學素養，實現素質教育。

比如學習《函數》這一章節的內容時，為了讓學生體會到函數模型在生活中的巨大用處，筆者聯系生活設計問題，引導學生探究并構建數學模型。

筆者首先講到：“同學們應該都知道貸款這一借款方式吧，現在很多的車貸、房貸一族，都是通過向銀行貸款并分期按時償還本金及利息實現的，同學們就業后很可能也會去向銀行貸款，那你們想不想了解貸款呢？”這個與生活息息相關的話題成功引起了學生的興趣與求知欲，接下來筆者布置任務引導學生進行探究：

問題 3：小明準備購買一輛轎車，需向銀行貸款 8 萬元，按復利計息，已知年利率為 8%，貸款期為 10 年，小明每年穩定可有 9000 元的結余，若按年計息并還款，小明是否具有償還能力？

由于貸款+利息總額=還款總額，所以可以列方程為：8（1+8%）10=x（1+8%）9+x（1+8%）8+…+x=，最后解得 x=1.2，即每年結余 1.2 萬元時才具有足夠的償還能力，小明目前不具有償還能力。接下來筆者讓學生總結出這一貸款方式的數學模型，學生通過分析、思考與討論，最終得到了正確結論：a=（1+r）n=x（1+r）n-1+x（1+r）n-2+…+x，x=，其中 a為借款總額，r 為年利率，n 為償還期，x 為每年最低的結余。

在上述教學活動中，筆者通過聯系生活實際引導學生構建數學模型，實現了教學的生活化，激發了學生應用建模思想解決實際問題的意識，取得了很好的教學效果。

（四）結合專業，深化發展

教師在進行教學時應當善于以中職生的專業背景為基礎創設問題情境，通過結合專業課中的數學問題介紹建模方法，切實讓學生感受到數學的魅力與重要性，引發他們對數學的重視，深化其發展。

比如筆者在對機電專業、數控專業的學生進行教學時，非常注重培養學生作圖和用三角函數計算的能力。在《三角函數》這一章節的教學中，筆者要求這些專業的學生較旅游、漢語等專業的學生要更加深層次的掌握，這一章節的教學課時也會相應的加大。此外，筆者在教學時還會根據學生的專業課內容設計三角函數問題引導學生計算與練習，結合其專業滲透數學建模的思想。例如筆者在對機電專業進行三角函數教學時，設計如下練習：

問題 4：直徑為 20cm 的滑輪，每秒旋轉 45°，求滑輪上一點 5s 內轉過的弧長。

，5s 內轉過的弧度為：，弧長=弧度×半徑=，學生通常在弧度制與角度制的轉化上存在一定的困難，通過聯系學生專業知識設計習題，不僅進一步鞏固學生對知識的理解，而且能夠強化應用。

在上述教學活動中，筆者通過結合學生專業進行數學建模的教學，不僅向學生滲透了數學建模是思想，而且能夠為他們的專業知識打好基礎，通過靈活的教學方式，實現了高效的數學課堂。

綜上所述，教師在教學時，通過引導探究、習題改編、鏈接生活、結合專業這四種策略，能夠有效地在中職數學課堂中滲透數學建模的思想，引導學生學會通過構建數學模型求解問題，提高解決問題的能力，進而提高教學的質量，構建高效的中職數學課堂。

【參考文獻】

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[2]孫海平.中職數學教學中數學建模思想的應用實踐分析[J].職業，2016（11）

[3]文秋利，遲玉娟.淺談融入數學建模思想的中職數學教學[J].科技風，2012（22）

（責編 韋 力）