深挖教材母題搭建思維腳手架提高復習效率

朱國暹

【摘要】美國著名數學家波利亞曾說：“一位專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”挖掘教材母題，搭建思維腳手架，使復習課在原有知識的基礎上進行“橫向”延伸和擴展，使復習具有針對性和時效性，從而提高中考數學復習的效率.

【關鍵詞】挖掘；教材母題；案例分析；中考復習

一、由教材母題出發，確定專題復習的內容

縱觀歷年中考試題，幾乎都可以在教材中找到母題，所以在專題復習時針對歷年中考試題挖掘教材母題，確定專題復習內容，對教材母題加以變式、引申，真正吃透教材母題.才會使復習更有針對性和有效性.

二、案例分析

圖1案例如圖1，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉，證明：無論正方形OMNP旋轉到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.（本題為華師大版八上P116第12題，略作改編）

選題說明定值問題是近幾年中考出現頻率比較高，同時難度又較大的類型.旋轉圖形中的定值問題難度更是大.

引申1將上例中的正方形改為邊長都等于4的菱形ABCD，∠B=60°.一個含60°角的三角尺的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉，與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F（如圖2）.

（1）在旋轉過程中，通過觀察或測量AE，AF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；

（2）在旋轉過程中四邊形AECF的周長是否發生變化？如果沒有變化，請說明理由；如果有變化，請求出周長的最小值；

（3）若將中三角尺的60°角的頂點P在AC上移動且與點A，C都不重合，三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F時（如圖3），那么PE，PF之間又有什么數量關系？并證明你的結論.

簡析三個小題難度逐級提高，學生由母題出發很容易用全等的方法解決不變量的問題，教材母題的解決起到了為學生搭建思維腳手架的很好作用.進而拋出引申2.

引申2△ABC和△DBE是繞點B旋轉的兩個相似三角形，其中∠ABC與∠DBE，∠A與∠D為對應角.

（1）如圖4，若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉到使點B，C，D在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段AD與線段EC的關系；

（2）若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形，且兩個三角形旋轉到如圖5的位置時，試確定線段AD與線段EC的關系，并說明理由；

圖6（3）若△ABC和△DBE為如圖6的兩個三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數是否改變？若不改變，直接用含α，β的式子表示夾角的度數；若改變，請說明理由.

簡析本題的解法不再局限于利用全等三角形解決問題，是對教材母題的進一步拓展，第（2）小題的解法用到了利用相似三角形從而得到AD與CE的關系.類似于第（2）小題，可得到在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數不改變，且∠AFE=（180-α-β）度.

中考專題復習應不局限于某種固定的方法，引申2在解決不變量問題中利用相似三角形也是其中的一種重要方法.

三、結語

中考專題復習課的教學對教師的備課提出了更深層次的要求，在備課中對教材母題進行深層次的挖掘、變式引申、拓展、再創造，為學生搭建思維腳手架，這樣既體現教師對教材內容的理解與闡釋；也有利于學生挖掘隱含問題的本質屬性，有利于學生將教材內容轉化為自己知識結構的組成部分，從而達到“做一題，通一類，會一片”的解題境界.

【參考文獻】

[1]徐小建.終結性復習課的總結技藝：“三多”與“三少”[J].中學數學教學參考：中旬，2014（6）：21-23.