樂學(xué)課堂下基于數(shù)學(xué)問題解決的一類有效教學(xué)模式

摘 要：數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)課程的心臟，因而解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一。另一方面采用題海戰(zhàn)術(shù)，使量變達(dá)到質(zhì)變的教學(xué)模式是有悖新課改理念的。新課程的重要目的之一就是“減負(fù)”，只有對(duì)學(xué)生所遇到的現(xiàn)有問題進(jìn)行充分利用，要善于挖掘具體數(shù)學(xué)問題包含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，傳授數(shù)學(xué)知識(shí)體系及應(yīng)用的技能，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且能夠做到真正意義上快樂的學(xué)習(xí)，舉一反三，螺旋式上升，逐步形成對(duì)問題類數(shù)學(xué)問題的解題教學(xué)模式，這是我們的樂學(xué)課堂所遵循的理念。而數(shù)學(xué)的教學(xué)模式很多，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題解決后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，加工，以類比，或推廣，或延展，或變形，或抽象概況等諸多方式引發(fā)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式是有效的。

關(guān)鍵詞：有效教學(xué)；樂學(xué)；教學(xué)模式；數(shù)學(xué)解題；數(shù)學(xué)問題

一、引言

數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)課程的心臟，因而解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一。高中數(shù)學(xué)教師都會(huì)致力于探索數(shù)學(xué)問題的解題教學(xué)，并形成了一些行之有效的教學(xué)模式。如一般的習(xí)題課教學(xué)模式：教師引導(dǎo)、示范——學(xué)生依照、模仿——鞏固應(yīng)用、遷移——形成解題能力。再比如試卷分析課，也包含了數(shù)學(xué)問題的教學(xué)環(huán)節(jié)。同樣是問題教學(xué)兩者處理的模式卻大相徑庭，這不僅跟教學(xué)的目的有關(guān)，而且與所處的教學(xué)時(shí)段的背景有關(guān)。但無論是何時(shí)何地?cái)?shù)學(xué)問題教學(xué)都不僅僅為了解決具體的某個(gè)數(shù)學(xué)問題，和對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式、定理等的重復(fù)理解與應(yīng)用。如果僅局限于此，那么很難想象要通過多少的練習(xí)量才能使學(xué)生掌握知識(shí)及應(yīng)用的能力。這種采用題海戰(zhàn)術(shù)，使量變達(dá)到質(zhì)變的方式是有悖新課改理念的。新課程的重要目的之一就是“減負(fù)”，如何做到減負(fù)這一目的也是當(dāng)代一線教師和教育專家急需改進(jìn)和探索的重要道路。只有對(duì)學(xué)生所遇到的現(xiàn)有問題進(jìn)行充分利用，要善于挖掘具體數(shù)學(xué)問題包含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，傳授數(shù)學(xué)知識(shí)體系應(yīng)用的技能，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且能夠做到真正意義上快樂的學(xué)習(xí)，舉一反三，螺旋式上升，逐步形成對(duì)一類數(shù)學(xué)問題的解題模式，這是我們的樂學(xué)課堂所遵循的理念。為此如何更有效或高效地對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，并形成行之有效的教學(xué)模式是每個(gè)數(shù)學(xué)老師都要思考和探索的問題。

為使學(xué)生更有效地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題。本人多年來專注于對(duì)高中數(shù)學(xué)解題的摸索與探究，對(duì)高中數(shù)學(xué)問題的解決與問題教學(xué)有自己的一些獨(dú)到的看法，希望能與同僚產(chǎn)生一定的共鳴。

二、實(shí)例

（浙江2016年10月學(xué)考第7題）在空間中，下列命題正確的是（ ）。

A.經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。

B.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)和一條直線有且只有一個(gè)平面。

C.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一條直線平行的平面有且只有一個(gè)。

D.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)。

問題的解決本身并不難，A項(xiàng)沒有指出不共線的三點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；B項(xiàng)沒有說明直線外的一點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；C項(xiàng)符合條件的平面有0個(gè)或無數(shù)個(gè)，若點(diǎn)在直線上則為0個(gè)，若點(diǎn)在直線外，先過該點(diǎn)作出與已知直線平行的直線（唯一），過所作直線（不過已知直線）的任一平面均與已知直線平行。D選項(xiàng)正確。通過問題的解決發(fā)現(xiàn)很有必要對(duì)“經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題”進(jìn)行匯總，探究。于是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生改變命題“經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)”中的直線平面或垂直平行形成新的命題。教師可以先示范以下例子，并讓學(xué)生依照類比寫出相關(guān)命題，并對(duì)命題進(jìn)行辨析，使學(xué)生得到思維上的激發(fā)。

師：1.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一條直線垂直的直線有且只有一條；錯(cuò)誤，無數(shù)條。

2.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè)；錯(cuò)誤，無數(shù)個(gè)。

3.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一條直線平行的平面有且只有一個(gè)；錯(cuò)誤，0個(gè)或無數(shù)個(gè)。

生：4.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一條直線平行的直線有且只有一條；錯(cuò)誤，0條或1條。

5.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條；正確。

6.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；錯(cuò)誤，0個(gè)或1個(gè)。

7.經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與一個(gè)平面平行的直線有且只有一條；錯(cuò)誤，0條或無數(shù)條。

通過對(duì)上述的匯總分析，使學(xué)生形成知識(shí)的塊狀結(jié)構(gòu)，通過比較、知識(shí)的碰撞、知識(shí)概念的進(jìn)一步辨析，有助于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，激發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考，打開學(xué)生的思維之門，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用與遷移，體現(xiàn)了一種有效教學(xué)模式。之后再讓學(xué)生思考下面四個(gè)命題的真假，并說明理由，以此來檢測(cè)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的效率。

命題1：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與兩條異面直線都平行的直線有且只有一條。

命題2：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與兩條異面直線都平行的平面有且只有一個(gè)。

命題3：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條。

命題4：經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)且與兩條異面直線都垂直的平面有且只有一個(gè)。

題1：已知點(diǎn)[A（-1，2），B（3，1）]，點(diǎn)[P]為[x]軸上的動(dòng)點(diǎn)，則[PA+PB]的最小值為____。

題2：已知點(diǎn)[P]是雙曲線[C=x24-y25=1]右支上的點(diǎn)，[F]為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)[A（1，4）]，則[PA+PF]的最小值為____。

題3：已知點(diǎn)[P]是拋物線[y2=2x]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[P]到準(zhǔn)線的距離為[d]，且點(diǎn)[P]在[y]軸上的射影[M]，點(diǎn)[A（72，4）]，則[PA+PM]的最小值是____。

學(xué)生分析的大致情況為：（圖形如下）

題1：[A]關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)[A'（-1，-2）]，則有[PA+PB=PA'+PB≥A'B=5]，當(dāng)且僅當(dāng)[A'，P，B]三點(diǎn)在一直線上時(shí)，“=”成立。

題2：記雙曲線的右焦點(diǎn)為[F2（3，0）]，則[PA+PF=PA+PF2+2a≥AF2+4=25+4]，當(dāng)且僅當(dāng)[A，P，F(xiàn)2]三點(diǎn)在一直線上時(shí)，“=”成立。

題3：作[PN]垂直準(zhǔn)線于[N]，[F]為拋物線的焦點(diǎn)，則[PA+PM=PA+PN-12=PA+PF-12≥AF-12=92]，當(dāng)且僅當(dāng)APF三點(diǎn)在一直線上時(shí)，“=”成立。

師：請(qǐng)同學(xué)們思考，三個(gè)數(shù)學(xué)問題有什么共同的表現(xiàn)形式（條件，結(jié)論），它們的解答上有沒有共性（涉及的定理，公式，概念或法則）。請(qǐng)你改變一些條件或編寫一道類似的數(shù)學(xué)問題與同學(xué)分享。或進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝茝V變形。

通過學(xué)生的思考，分析，交流，評(píng)價(jià)總結(jié)，抽象，概括出數(shù)學(xué)問題類所包含的數(shù)學(xué)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)，處理此類問題的數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，并揭示數(shù)學(xué)問題所涵蓋的數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成相關(guān)數(shù)學(xué)問題的解題模式：已知平面內(nèi)有兩定點(diǎn)[A，B]，點(diǎn)[P]是某曲線上的動(dòng)點(diǎn)，

①[A，B]位于曲線兩側(cè)時(shí)，線段[AB]與曲線的交點(diǎn)[P]，使得[PA+PB]最小值為[AB]。

②當(dāng)[A，B]位于曲線同側(cè)時(shí)，直線[AB]與曲線的交點(diǎn)[P]，使得[PA-PB]最大值為[AB]。

并讓學(xué)生完成下列數(shù)學(xué)問題，以便檢測(cè)是否形成相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的解題能力。

1.[F]是拋物線[y2=2x]的焦點(diǎn)，[P]是拋物線上任一點(diǎn)，[A（3，1）]是定點(diǎn)，則[PA+PF]的最小值是____。

2.已知點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（3，2）]，[F]為拋物線[y2=2x]的焦點(diǎn)，若點(diǎn)[P]在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)[PA+PF]取得最小值時(shí)，則點(diǎn)[P]的坐標(biāo)是（ ）。

A.[（1，2）] B.[（2，2）] C.[（2，-2）] D.[（3，6）]

3.設(shè)[F1，F(xiàn)2]分別是橢圓[x225+y216=1]的左、右焦點(diǎn)，[P]為橢圓上任意點(diǎn)，點(diǎn)[M（6，4）]，則[PM+PF1]的最大值為（ ）。

A.12 B.13 C.14 D.15

4.在直線[l：3x-y-1=0]上求一點(diǎn)[P]，使得[P]到[A（4，1）]和[P（0，4）]的距離之差最大。

三、數(shù)學(xué)問題解決的有效教學(xué)模式

數(shù)學(xué)的教學(xué)模式很多，這種通過對(duì)數(shù)學(xué)問題解決后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，加工，以類比，或推廣，或延展，或變形，或抽象概況等諸多方式引發(fā)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式是有效的。至少體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

其一，教學(xué)模式的內(nèi)容很貼近學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)是有效的。內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)是學(xué)生剛剛思考過的數(shù)學(xué)問題，正所謂趁熱打鐵，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的內(nèi)容變式，很能形成知識(shí)沖突，對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)概念、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是行之有效的。內(nèi)容的表現(xiàn)形式具有全面性與完善性，有效促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想方法等數(shù)學(xué)能力。內(nèi)容的形成方式有助于能帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，由于問題之間較高的相似度，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決充滿好奇與信心，有效地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力。學(xué)會(huì)公式定理的應(yīng)用等是有效成果之一。

其二，教學(xué)模式的過程全面體現(xiàn)學(xué)生使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體是有效的。過程中學(xué)生先完成一個(gè)或幾個(gè)具體數(shù)學(xué)問題作為熱身，然后教師引導(dǎo)學(xué)生在原有的數(shù)學(xué)問題上加以適當(dāng)?shù)母淖儯驅(qū)讉€(gè)具體問題進(jìn)行抽象概況，以及知識(shí)方法上共性的探討。這些開放性的問題起點(diǎn)低，人人都可以參與，各抒己見，又能呈現(xiàn)發(fā)散性數(shù)學(xué)思維，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上是快樂的。過程中要求教師要組織學(xué)生活動(dòng)，提“好”問題，發(fā)揮教師主動(dòng)，將更多的時(shí)間空間交給學(xué)生自主思考，談?wù)摚U述，評(píng)價(jià)。學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行加工時(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解最好的見證，并對(duì)加工后的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決，也是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移最好的落實(shí)。各個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)注重學(xué)生參與，落實(shí)新課改教學(xué)理念，一定程度上展現(xiàn)樂學(xué)課堂教學(xué)過程的有效性。

其三，教學(xué)模式的結(jié)果能使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是有效的。結(jié)果解決的不僅是某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，而是一類或相關(guān)的問題類問題是有效成果之一。結(jié)果中不僅包含了問題類解決所含的數(shù)學(xué)知識(shí)體系和知識(shí)應(yīng)用遷移能力，而且還包含了知識(shí)體系及知識(shí)應(yīng)用習(xí)得的常用方式——舉一反三、抽象概況、歸納類比、轉(zhuǎn)化變形等學(xué)習(xí)能力。為終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)是又一有效成果。

在現(xiàn)有的高中學(xué)習(xí)規(guī)劃中，學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力甚大，不僅在量上面對(duì)繁多的課程，要求單位時(shí)間內(nèi)消化更多的知識(shí)與方法，而且在數(shù)學(xué)能力的要求上更甚，如計(jì)算能力、語言表述能力，抽象概況能力等思維方法。樂學(xué)課堂下基于數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)模式能讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，避免題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)減負(fù)目標(biāo)。實(shí)例證明這種教學(xué)模式很多程度上促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)；學(xué)生參與度高，課堂氣氛活躍，能激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生興趣，產(chǎn)生積極學(xué)習(xí)心理傾向，對(duì)增強(qiáng)有效教學(xué)具有重要作用。

四、感悟與反思

樂學(xué)課堂下基于數(shù)學(xué)問題解決的有效教學(xué)模式對(duì)教師的要求有以下幾點(diǎn)：

第一，教師要多做，學(xué)生才能少做。教師要多做題，并及時(shí)匯總、分類。不僅要提前知道數(shù)學(xué)問題所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)概念、公式、定理和數(shù)學(xué)思想方法，而且要善于從數(shù)學(xué)思想上進(jìn)行提煉和反思，思考如何使學(xué)生掌握形成數(shù)學(xué)能力。要給學(xué)生一杯水，教師自己先要擁有一桶水。只有如此教師才能抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行加工處理，凌駕于有效教學(xué)之上。也只有如此才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生是站在巨人的肩膀上，教師則要勇于做好這個(gè)巨人的一部分。也只有如此才能避免題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)新課改做到減負(fù)的目的。

第二，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用。有效教學(xué)模式關(guān)鍵在于教師精心設(shè)計(jì)問題或巧妙地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。培養(yǎng)能靈活運(yùn)用知識(shí)，敢于創(chuàng)新勇于探索的學(xué)生，而不是只能套用知識(shí)，受固有方法的框框約束的死板的人。讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長(zhǎng)進(jìn)。

總之，落實(shí)素質(zhì)教育、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，是時(shí)代發(fā)展的要求，減負(fù)是一個(gè)系統(tǒng)工程，不是一朝一夕就能完成的工作，但是如果我們的廣大教師在數(shù)學(xué)問題教學(xué)中多思考，多專研，注重有效教學(xué)，從學(xué)生的切實(shí)利益出發(fā)，多增設(shè)學(xué)生活動(dòng)的教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的教學(xué)，使得我們的樂學(xué)課堂真正意義上讓學(xué)生能夠快樂地學(xué)習(xí)，能夠感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。正所謂教無定法，教學(xué)的模式千萬種，無論采用哪一種，關(guān)鍵在于有效。

參考文獻(xiàn)：

[1]常新秋，如何進(jìn)行有效教學(xué)，http：//www.teacherclub.com.cn/tresearch/a/1018064666cid00001

[2]百度文庫，有效教學(xué).

[3]百度文庫，數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式.

[4]百度文庫，數(shù)學(xué)問題解題教學(xué).

作者簡(jiǎn)介：

林愛秀（1983.03—），女，浙江省溫州市蒼南人，中國(guó)共產(chǎn)黨員，畢業(yè)于浙江師范大學(xué)，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，本科生。