數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學教學中的應用

翟克修

【內(nèi)容摘要】數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學解題中一種重要的數(shù)學思想方法，它在數(shù)學領域有著廣泛的應用。本文介紹了初中數(shù)學中數(shù)軸、有理數(shù)的計算、圖形與式的探究、函數(shù)、統(tǒng)計等多方面內(nèi)容中所蘊藏著的數(shù)形結(jié)合思想，以及應用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的方法。從而發(fā)展學生的思維能力、空間觀念，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

【關鍵詞】數(shù)形結(jié)合 實踐性 探究性 創(chuàng)新意識

在初中的數(shù)學教學中，人們往往的數(shù)學分為代數(shù)和幾何兩部分知識。代數(shù)主要研究數(shù)與式的運算而幾何主要研究圖形的轉(zhuǎn)換與性質(zhì)。這樣就把數(shù)與形區(qū)分開來。殊不知如果把數(shù)與形結(jié)合在一起往往在解題中取得事半功倍的效果。我國著名數(shù)學家華羅庚就曾經(jīng)說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。可見數(shù)與形之間存在著十分密切的聯(lián)系。

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合的基本思想是數(shù)與形之間相互應用，利用代數(shù)的方法來處理圖形問題，也借助于幾何圖形來解決代數(shù)問題。

在初中數(shù)學中數(shù)與形的第一次聯(lián)姻是在數(shù)軸中。數(shù)軸使數(shù)與直線的點建立了對應關系，提示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此在為數(shù)形結(jié)合的基礎。數(shù)軸可以清楚明了的將相反數(shù)、絕對值的幾何意義表示出來，從而利用它們來解決問題。

例如，已知|m|<|n|，m>0，n<0，把m、n、-m、-n按順序由小到大排列起來。

對于這道題要比較四個數(shù)的大小，只需根據(jù)條件給養(yǎng)數(shù)軸上表示出來，就能確定它們的大小順序。如圖：

從而得到n<-m

我們也常常借助幾何圖形來推導理解代數(shù)中計算公式，尋找解題思路。例如我們完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2我們可以用正方形和矩形的面積來表示如圖：

通過這樣的幾何圖形可以直觀的反映出公式等號兩邊的關系，使老師便于講解，學生易于記憶，這充分展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的好處。

利用數(shù)形結(jié)合還可以將復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而獲得簡單易行的成功方案。

例如，求 的值。

這道題如果直接計算很難下手，但如果我們利用幾何圖形來解決就很容易得出結(jié)果。通過觀察圖形我們很快就能發(fā)現(xiàn)上式的值為1- 。這樣就避免復雜的計算與推理，簡化了解題過程。

在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）與坐標系內(nèi)的點P建立了一一對應的關系，使函數(shù)與其圖象的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個函數(shù)可以用圖形來表示，而借助這個圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點。在一次函數(shù)中，k決定著直線y=kx+b（k≠0）所經(jīng)過的象限和它的增減性；反過來，如果已知坐標系內(nèi)的一條直線及其它上面的兩個點的坐標，我們就可以求出它的解析式。二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，a決定著拋物線的開口方向，a>0時開口向上，a<0時開口向下。其圖象的對稱軸為直線x=- ，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）。我們還可以根據(jù)拋物線的頂點坐標（- ， ）求二次函數(shù)的極值，從而解決實際問題，這也是歷年來函數(shù)中必考的題型。另外，我們還可以利用函數(shù)圖象來求方程和不等式的解。這為函數(shù)的研究與應用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

隨著多媒體技術在課堂教學中應用，我們可以利用計算機制作教學課件，通過動態(tài)的畫面將數(shù)與形完美的結(jié)合。例如，在講解圓與圓的位置關系時，可以利用多媒體技術在電腦中制作兩個圓，通過移動某一個圓探究兩圓的圓心距d，兩圓的半徑R、r之間的關系。學生通過動態(tài)的畫面很容易就能發(fā)現(xiàn)當d>R+r時，兩圓外離；當d=R+r時，兩圓外切；當R-r

在各類的考試中，有關數(shù)形結(jié)合探究的試題也屢見不鮮。例如，

觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式，探究其中的規(guī)律：

（1）請你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應的等式：

① 4×0+1=4×1-3

② 4×1+1=4×2-3

③ 4×2+1=4×3-3

（2）通過猜想，寫出與第n個圖形相對應的等式。

本題通過已知的點與式的關系，將抽象的數(shù)學問題直觀化。我們只需將點陣中不同圖形的點數(shù)運用數(shù)形結(jié)思想，很容易就能得出結(jié)果④中填4×3+1=4×4-3，⑤中填4×4+1=4×5-3，最終結(jié)論為4×（n-1）+1=4n-3。

由此，我們在教學中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野，提高自己分析問題、解決問題的能力。

（作者單位：山東省淄博市淄川區(qū)淄河中學）