數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

翟克修

【內(nèi)容摘要】數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)解題中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文介紹了初中數(shù)學(xué)中數(shù)軸、有理數(shù)的計(jì)算、圖形與式的探究、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等多方面內(nèi)容中所蘊(yùn)藏著的數(shù)形結(jié)合思想，以及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的方法。從而發(fā)展學(xué)生的思維能力、空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 實(shí)踐性 探究性 創(chuàng)新意識(shí)

在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們往往的數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何兩部分知識(shí)。代數(shù)主要研究數(shù)與式的運(yùn)算而幾何主要研究圖形的轉(zhuǎn)換與性質(zhì)。這樣就把數(shù)與形區(qū)分開(kāi)來(lái)。殊不知如果把數(shù)與形結(jié)合在一起往往在解題中取得事半功倍的效果。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚就曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。可見(jiàn)數(shù)與形之間存在著十分密切的聯(lián)系。

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合的基本思想是數(shù)與形之間相互應(yīng)用，利用代數(shù)的方法來(lái)處理圖形問(wèn)題，也借助于幾何圖形來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題。

在初中數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一次聯(lián)姻是在數(shù)軸中。數(shù)軸使數(shù)與直線(xiàn)的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，提示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此在為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。數(shù)軸可以清楚明了的將相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義表示出來(lái)，從而利用它們來(lái)解決問(wèn)題。

例如，已知|m|<|n|，m>0，n<0，把m、n、-m、-n按順序由小到大排列起來(lái)。

對(duì)于這道題要比較四個(gè)數(shù)的大小，只需根據(jù)條件給養(yǎng)數(shù)軸上表示出來(lái)，就能確定它們的大小順序。如圖：

從而得到n<-m

我們也常常借助幾何圖形來(lái)推導(dǎo)理解代數(shù)中計(jì)算公式，尋找解題思路。例如我們完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2我們可以用正方形和矩形的面積來(lái)表示如圖：

通過(guò)這樣的幾何圖形可以直觀的反映出公式等號(hào)兩邊的關(guān)系，使老師便于講解，學(xué)生易于記憶，這充分展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的好處。

利用數(shù)形結(jié)合還可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，從而獲得簡(jiǎn)單易行的成功方案。

例如，求 的值。

這道題如果直接計(jì)算很難下手，但如果我們利用幾何圖形來(lái)解決就很容易得出結(jié)果。通過(guò)觀察圖形我們很快就能發(fā)現(xiàn)上式的值為1- 。這樣就避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。

在直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)P建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使函數(shù)與其圖象的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個(gè)函數(shù)可以用圖形來(lái)表示，而借助這個(gè)圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點(diǎn)。在一次函數(shù)中，k決定著直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）所經(jīng)過(guò)的象限和它的增減性；反過(guò)來(lái)，如果已知坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線(xiàn)及其它上面的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，我們就可以求出它的解析式。二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，a決定著拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)開(kāi)口向上，a<0時(shí)開(kāi)口向下。其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=- ，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）。我們還可以根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（- ， ）求二次函數(shù)的極值，從而解決實(shí)際問(wèn)題，這也是歷年來(lái)函數(shù)中必考的題型。另外，我們還可以利用函數(shù)圖象來(lái)求方程和不等式的解。這為函數(shù)的研究與應(yīng)用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

隨著多媒體技術(shù)在課堂教學(xué)中應(yīng)用，我們可以利用計(jì)算機(jī)制作教學(xué)課件，通過(guò)動(dòng)態(tài)的畫(huà)面將數(shù)與形完美的結(jié)合。例如，在講解圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，可以利用多媒體技術(shù)在電腦中制作兩個(gè)圓，通過(guò)移動(dòng)某一個(gè)圓探究?jī)蓤A的圓心距d，兩圓的半徑R、r之間的關(guān)系。學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)的畫(huà)面很容易就能發(fā)現(xiàn)當(dāng)d>R+r時(shí)，兩圓外離；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)R-r

在各類(lèi)的考試中，有關(guān)數(shù)形結(jié)合探究的試題也屢見(jiàn)不鮮。例如，

觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：

（1）請(qǐng)你在④和⑤后面的橫線(xiàn)上分別寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的等式：

① 4×0+1=4×1-3

② 4×1+1=4×2-3

③ 4×2+1=4×3-3

（2）通過(guò)猜想，寫(xiě)出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式。

本題通過(guò)已知的點(diǎn)與式的關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化。我們只需將點(diǎn)陣中不同圖形的點(diǎn)數(shù)運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，很容易就能得出結(jié)果④中填4×3+1=4×4-3，⑤中填4×4+1=4×5-3，最終結(jié)論為4×（n-1）+1=4n-3。

由此，我們?cè)诮虒W(xué)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野，提高自己分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（作者單位：山東省淄博市淄川區(qū)淄河中學(xué)）