一道圓錐曲線試題的命制與分析

福建省泉州奕聰中學(xué) (362000)

吳 鵬

福建省泉州市第五中學(xué) (362000)

楊蒼洲

一道圓錐曲線試題的命制與分析

福建省泉州奕聰中學(xué) (362000)

吳 鵬

福建省泉州市第五中學(xué) (362000)

楊蒼洲

1 試題內(nèi)容

設(shè)圓F1：x2+y2+4x=0的圓心為F1，直線l過點(diǎn)F2(2,0)且不與x軸、y軸垂直，l交圓F1于C,D兩點(diǎn)，過F2作F1C的平行線交F1D于點(diǎn)E．

(1)證明||EF1|-|EF2||為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Γ，直線l交Γ于M,N兩點(diǎn)，過F2且與l垂直的直線與圓F1交于P,Q兩點(diǎn)，記△PQM，△PQN的面積分別為S1,S2，求S1+S2的取值范圍．

2 考查目標(biāo)

本題主要考查初中平面幾何知識(shí)(平行線性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)等)，直線的斜率，直線的方程，軌跡及軌跡方程，圓的方程及其幾何性質(zhì)，雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的最值問題等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．

3 命制過程

命題者構(gòu)造了兩個(gè)定點(diǎn)，即圓心F1(-2,0)和F2(2,0)，動(dòng)點(diǎn)E滿足||EF1|-|EF2||為定值，即E點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.母題可見于《人教A版選修2-1》第62頁(yè)A組第5題.于是命題者設(shè)置了問題(Ⅰ)：證明||EF1|-|EF2||為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程．

為進(jìn)一步突出解析幾何的基本思想方法，第二問中引入了直線、圓、雙曲線、直線與直線的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等大部分解析幾何的知識(shí)，以考查學(xué)生解析幾何的基本思想方法與運(yùn)算求解能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力等，因此設(shè)置了問題(Ⅱ)：設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Γ，直線l交Γ于M,N兩點(diǎn)，過F2且與l垂直的直線與圓F1交于P,Q兩點(diǎn)，記△PQM，△PQN的面積分別為S1,S2，求S1+S2的取值范圍．

4 解題思路

第(Ⅰ)步的求解：先用圓的幾何性質(zhì)求證

||EF1|-|EF2||為定值，再由定義得到雙曲線的軌跡方程．

第(Ⅱ)步的求解：設(shè)直線l:y=k(x-2)(k≠0)，然后再用弦長(zhǎng)公式分別求出直線與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)，直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)，從而求出△PQM，△PQN的面積，并利用函數(shù)求值域的方法求出S1+S2的取值范圍．

5 試題詳解

(Ⅰ)圓F1：(x+2)2+y2=4，圓心F1(-2,0)，半徑r=2，如圖1所示．

因?yàn)镕1C∥EF2，所以∠F1CD=∠EF2D.又因?yàn)镕1D=F1C，所以∠F1CD=∠F1DC，所以∠EF2D=∠EDF2，所以ED=EF2，故||EF1|-

|EF2||=||EF1|-|ED||=2<|F1F2|.

圖1

6 試題評(píng)價(jià)

本題主要檢測(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有：運(yùn)算求解能力，推理論證能力、數(shù)據(jù)圖像處理能力和知識(shí)應(yīng)用意識(shí).預(yù)計(jì)本題難度系數(shù)0.3，擬作為高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷的第20題.

命題者呈獻(xiàn)給考生的是一個(gè)圓錐曲線試題.試題與全國(guó)卷圓錐曲線題型風(fēng)格極其類似，適合作為參加全國(guó)卷考試的考生作為臨考的模擬考試.

(1)試題的表述簡(jiǎn)潔明了，設(shè)問方式干凈利落，有效減少了考生的閱讀負(fù)擔(dān).試題的母題可見于《人教A版選修2-1》第62頁(yè)A組第5題，背景熟悉，讓學(xué)生有一種似曾相識(shí)的感覺，這對(duì)身處考場(chǎng)的學(xué)生來說是很好的精神安慰，有利于學(xué)生水平的正常發(fā)揮.

(2)切入點(diǎn)多，第一問求定值可用初中平面幾何知識(shí)求解，也可用解析法；第二問求弦長(zhǎng)，也有較多的切入點(diǎn)，有助于學(xué)生各顯神通，給不同層次的學(xué)生都提供了機(jī)會(huì)，對(duì)水平高的學(xué)生來說可考察知識(shí)面的寬度、解題技巧的高明、思維的深度.

(3)試題第(Ⅱ)步，考察過定點(diǎn)的直線與雙曲線、圓相交所成的弦長(zhǎng)公式，通過轉(zhuǎn)化與化歸，函數(shù)的最值，重在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想.此步驟具有明顯的區(qū)分度，能有效地區(qū)分出優(yōu)等生與中等生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不同的掌握程度.

從試題及其解答可以看出本題符合考試大綱對(duì)高中畢業(yè)生的檢測(cè)要求，突出了解析幾何的基本思想方法，從試題的命題過程可以看出命題者有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).