從一道課本例題看圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)

湖南省瀏陽市教育科學(xué)研究所 (410300)

朱保倉

湖南省瀏陽市第一中學(xué) (410300)

譚躍良

從一道課本例題看圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)

湖南省瀏陽市教育科學(xué)研究所 (410300)

朱保倉

湖南省瀏陽市第一中學(xué) (410300)

譚躍良

1.例題再現(xiàn)(人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1:2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) )

過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．

圖1

證明：如圖1，以拋物線的對(duì)稱軸為x軸，它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系．

2.問題的提出

橢圓、雙曲線和拋物線同屬于圓錐曲線，適合于拋物線的性質(zhì)結(jié)論是否也適合于橢圓與雙曲線呢？

3.問題研究

通過研究可以得出如下結(jié)論：

過橢圓焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，直線l是橢圓對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線，過F作FE⊥l，垂足為E，點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，直線AG與準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為D，則直線BD平行于橢圓的對(duì)稱軸．

證明：作BD′⊥l，垂足為D′，以下證明A,G,D′三點(diǎn)共線．

圖2

=0.∴點(diǎn)G在直線AD′上．∴點(diǎn)D′與點(diǎn)D重合．所以直線BD平行于對(duì)稱軸(x軸).

當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，結(jié)論顯然成立．同樣可以證明：對(duì)于雙曲線，也具有類似的結(jié)論：

過雙曲線焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，直線l是雙曲線對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線，過F作FE⊥l，垂足為E，點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，直線AG與準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為D，則直線BD平行于雙曲線的對(duì)稱軸．

至此，我們得了圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)：

圖3

如圖3，過圓錐曲線C的焦點(diǎn)F的直線交曲線C于A,B兩點(diǎn)，直線l是曲線C對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線，過F作FE⊥l，垂足為E，點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，直線AG與準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為D，則直線BD平行于曲線C的對(duì)稱軸．

4.結(jié)論推廣

與圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的某些性質(zhì)可以推廣到更為一般的情形，上述性質(zhì)是否也可以推廣呢？

通過研究，可以得出如下三個(gè)結(jié)論：

過定點(diǎn)F′(m,0)(m≠0)的直線交拋物線y2=2px于兩點(diǎn)A,B，過點(diǎn)F′作直線l′:x=-m的垂線，垂足為E，點(diǎn)G是線段EF′的中點(diǎn)，直線AG與直線l′的交點(diǎn)為D，則直線BD平行于x軸．

下面就雙曲線的情形給出證明．

圖4

證明：如圖4，作BD′⊥l，垂足為D′，以下證明A,G,D′三點(diǎn)共線．

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知可得

∴點(diǎn)G在直線AD′上．∴點(diǎn)D′與點(diǎn)D重合．所以直線BD平行于x軸．當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，結(jié)論顯然成立．對(duì)于拋物線和橢圓結(jié)論的證明過程類似，本文不再贅述．