一道省質(zhì)檢試題的探究與推廣

福建省泉州市第七中學 (362000)

紀建靈 黃永生

一道省質(zhì)檢試題的探究與推廣

福建省泉州市第七中學 (362000)

紀建靈 黃永生

1 幾個引理

引理3 過拋物線C:y2=2px上一點P(x0,y0)的切線方程為yy0=p(x+x0).

證明：y2=2px兩邊對x求導，得2yy′=2p，得

2 試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)過點F2引PF2的垂線交直線l:x=2于點Q,試判斷直線PQ與C是否有其它公共點？說明理由.

3 試題分析與解答

試題考查橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，直接利用已知條件中的等量關(guān)系，便可解決(Ⅰ). 本題(Ⅱ)中，判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程根的個數(shù)問題.

(Ⅱ)除P以外，直線PQ與C無其它公共點.理由如下：

4 試題思考

注意到直線l:x=2恰好為橢圓的右準線，F(xiàn)2(1,0)為右焦點，引發(fā)下列思考：

(1)該試題的結(jié)論是否具有一般性？

(2)該試題結(jié)論的逆命題是否成立？

(2)其它的曲線(雙曲線、拋物線)是否有相應的結(jié)論成立？

5 試題探究與推廣

圖1

對于雙曲線、拋物線也有相似的結(jié)論：

結(jié)論3，4，5，6的證明方法與結(jié)論1，2類似，讀者可結(jié)合引理2，3證明，限于篇幅，此處從略.

[1]黃永生,楊丹.2015年高考福建文科數(shù)學卷第19題(Ⅱ)的探究與推廣[J].福建中學數(shù)學，2016(2):11-12.