淺淡初中幾何中一題多解

關樹毅

摘 要：一題多解問題能夠開闊學生的思路，提高學生綜合運用數學知識的能力。而數學中以幾何習題的一題多解最為常見。初中幾何教學中，學生的能力培養是教學中的首要任務之一。在能力培養工作中，“一題多解”能力，占據幾何教學能力培養的大部分比重。基于此本文舉例說明了三個幾何問題的一題多解，就此談談自己的看法。

關鍵詞：初中；幾何問題；一題多解

數學課程標準中，要求使學生經歷站在不同角度，探索分析和解決問題的方法這一重要過程。使學生能夠體驗到解決問題的多樣性方式，能夠掌握分析及解決問題的基本技巧和方法。一道優秀的幾何試題往往可以從不同的知識層面考査學生運用所學知識分析并解決問題的能力。一題多解能夠從不同的角度啟發學生獲得解決問題的思路，當然多解要立足知識的交匯點，思路的發生整合點進行訓練、注意度的調控。

1幾何定理推導中的“一題多解”

應用定理解決問題是數學解題中的重要組成部分，但往往學生只注重定理的結論，而忽略定理的推導證明。下面給出證明三角形中位線定理的多種證明推導方法。

例1.在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點。求證：DE//BC且DE=0.5BC

證法1：由條件易得AD/AB=AE/AC=0.5，而∠A=∠A

∴△ADE～△ABC

∴DE/BC=AD/AB=0.5 ∠ADE=∠ABC

∴DE=0.5BC DE//BC

原命題得證

評注：此證法簡單利用相似的方法，不作輔助線，證法簡潔。

證法2：如圖1-1，連結BE、CD交于點0

∵D、E分別是AB、AC的中點

∴點0是△ABC重心

∴OD/OC=OE/OB=0.5

∵∠EOD=∠BOC

∴△EOD～△BOC

∴DE/BC=OD/OC=0.5∠OED=∠OBC

∴DE=0.5BC DE//BC

原命題得證

評注：此法利用三角形重心性質和相似的方法，證法簡練。

證法3：如圖1-1，連結BE、CD

∵D是AB中點

∴CD是△ABC的中線

∴S△BCD=0.5S△ABC

同理S△BCE=0.5S△ABC，S△ABE=0.5S△ABC，S△BDE=0.5S△ABE

∴S△BCD=S△BCE S△BDE=0.5S△BCE

∵△BCD和△BCE有相同底邊BC

∴△BCD和△BCE同底BC邊上的高相等

∴DE//BC

∴△BDE邊DE上的高和△BCE邊BC上的高相等

∵S△BDE=0.5S△BCE

∴DE=0.5BC

原命題得證

評注：此證法利用三角形面積的等量關系和平行線的性質證明，證法簡約、別具一格。

當然，三角形中位線定理的證明不拘于以上三種方法，也可構建直角坐標系，利用斜率以及點與點之間的距離等證明。以上三種證法簡潔而精煉，體現了學生獨立思考、積極探索的證精神，激發了學生學習數學的興趣，同時也展示了學生的創新性和開拓力。“一題多解”對學生邏輯思維的培養具有顯著的提高效果。

2幾何計算中的“一題多解”

例2.如圖1，在△ABC中，D是AC邊上一點，AD∶DC=1∶2，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F，求BF∶FC的值。

2.1運用平行線分線段成比例的性質

解法1如圖2，過D作DM//AF交BC于M，由E是BD的中點，易證BF=FM，而CM∶FM=CD∶AD=2∶1，得到CM=2FM=2BF，于是得到BF∶FC=1∶3。

2.2添加輔助線，構造相似三角形，運用相似三角形的性質

解法2如圖3，由于AD∶DC=1∶2，且AD、DC又在同一直線上，從而考慮從點A或點D出發添加平行線構造相似三角形，然后應用相似三角形的性質求解。

過A作AG//BC交BD的延長線于G，則△AGD～△CBD，△AGE～△FBE，從而AG∶CB=AD∶DC=GD∶BD=1∶2，AG∶FB=GE∶BE=2∶1，推出AG=2BF，AG=1/2CB，從而求得BF∶CB=1∶4，于是求出BF∶FC=1：3。

2.3利用三角形的面積比求解

因為等底等高的兩個三角形面積相等，同高的兩個三角形面積的比等于底的比，同底的兩個三角形面積的比等于高的比。所以此題還可以從面積比入手，尋求解法。

解法3如圖4，連結CE，分別作BP⊥AF交于P，CQ⊥AF于Q，易證△BFP～△CFQ，于是BF∶FC=BP∶CQ，因為△ABE與△ACE有同底AE，所以S△ADA∶S△ACE=BP∶CQ=BF∶FC，又因△ABE與△ADE等底同高，所以S△ABE=S△ADE，于是有S△ADE∶S△ACE=BF∶FC。又△ADE與△ACE同高，所以S△ADE∶S△ACE=AD∶AC=1∶3，于是得到BF∶FC=1∶3。

由于數學題往往存在著幾種不同的解法，所以在解題時，可以嘗試改換其它思路，尋找除了已有的解法以外，是否還有其它解法，并可以進而比較這些解法的繁簡，從中選擇最佳解法，若能長期堅持這樣做，必定會開闊思路，提高解題能力。

3結束語

幾何證明題千變萬化，因此在做題時要善于觀察、思考，從不同角度分析問題，力求靈活駕馭所學知識。遇到一個問題，通過多種途徑給出多種解法，稱為一題多解，這對提高自己對不同題目的分析、應變能力很有幫助。

參考文獻：

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