淺淡初中幾何中一題多解

關(guān)樹毅

摘 要：一題多解問題能夠開闊學(xué)生的思路，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力。而數(shù)學(xué)中以幾何習(xí)題的一題多解最為常見。初中幾何教學(xué)中，學(xué)生的能力培養(yǎng)是教學(xué)中的首要任務(wù)之一。在能力培養(yǎng)工作中，“一題多解”能力，占據(jù)幾何教學(xué)能力培養(yǎng)的大部分比重?；诖吮疚呐e例說明了三個(gè)幾何問題的一題多解，就此談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

關(guān)鍵詞：初中；幾何問題；一題多解

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，要求使學(xué)生經(jīng)歷站在不同角度，探索分析和解決問題的方法這一重要過程。使學(xué)生能夠體驗(yàn)到解決問題的多樣性方式，能夠掌握分析及解決問題的基本技巧和方法。一道優(yōu)秀的幾何試題往往可以從不同的知識層面考査學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析并解決問題的能力。一題多解能夠從不同的角度啟發(fā)學(xué)生獲得解決問題的思路，當(dāng)然多解要立足知識的交匯點(diǎn)，思路的發(fā)生整合點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練、注意度的調(diào)控。

1幾何定理推導(dǎo)中的“一題多解”

應(yīng)用定理解決問題是數(shù)學(xué)解題中的重要組成部分，但往往學(xué)生只注重定理的結(jié)論，而忽略定理的推導(dǎo)證明。下面給出證明三角形中位線定理的多種證明推導(dǎo)方法。

例1.在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)。求證：DE//BC且DE=0.5BC

證法1：由條件易得AD/AB=AE/AC=0.5，而∠A=∠A

∴△ADE～△ABC

∴DE/BC=AD/AB=0.5 ∠ADE=∠ABC

∴DE=0.5BC DE//BC

原命題得證

評注：此證法簡單利用相似的方法，不作輔助線，證法簡潔。

證法2：如圖1-1，連結(jié)BE、CD交于點(diǎn)0

∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

∴點(diǎn)0是△ABC重心

∴OD/OC=OE/OB=0.5

∵∠EOD=∠BOC

∴△EOD～△BOC

∴DE/BC=OD/OC=0.5∠OED=∠OBC

∴DE=0.5BC DE//BC

原命題得證

評注：此法利用三角形重心性質(zhì)和相似的方法，證法簡練。

證法3：如圖1-1，連結(jié)BE、CD

∵D是AB中點(diǎn)

∴CD是△ABC的中線

∴S△BCD=0.5S△ABC

同理S△BCE=0.5S△ABC，S△ABE=0.5S△ABC，S△BDE=0.5S△ABE

∴S△BCD=S△BCE S△BDE=0.5S△BCE

∵△BCD和△BCE有相同底邊BC

∴△BCD和△BCE同底BC邊上的高相等

∴DE//BC

∴△BDE邊DE上的高和△BCE邊BC上的高相等

∵S△BDE=0.5S△BCE

∴DE=0.5BC

原命題得證

評注：此證法利用三角形面積的等量關(guān)系和平行線的性質(zhì)證明，證法簡約、別具一格。

當(dāng)然，三角形中位線定理的證明不拘于以上三種方法，也可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，利用斜率以及點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離等證明。以上三種證法簡潔而精煉，體現(xiàn)了學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的證精神，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也展示了學(xué)生的創(chuàng)新性和開拓力?！耙活}多解”對學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)具有顯著的提高效果。

2幾何計(jì)算中的“一題多解”

例2.如圖1，在△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，AD∶DC=1∶2，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，求BF∶FC的值。

2.1運(yùn)用平行線分線段成比例的性質(zhì)

解法1如圖2，過D作DM//AF交BC于M，由E是BD的中點(diǎn)，易證BF=FM，而CM∶FM=CD∶AD=2∶1，得到CM=2FM=2BF，于是得到BF∶FC=1∶3。

2.2添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)

解法2如圖3，由于AD∶DC=1∶2，且AD、DC又在同一直線上，從而考慮從點(diǎn)A或點(diǎn)D出發(fā)添加平行線構(gòu)造相似三角形，然后應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)求解。

過A作AG//BC交BD的延長線于G，則△AGD～△CBD，△AGE～△FBE，從而AG∶CB=AD∶DC=GD∶BD=1∶2，AG∶FB=GE∶BE=2∶1，推出AG=2BF，AG=1/2CB，從而求得BF∶CB=1∶4，于是求出BF∶FC=1：3。

2.3利用三角形的面積比求解

因?yàn)榈鹊椎雀叩膬蓚€(gè)三角形面積相等，同高的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比，同底的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。所以此題還可以從面積比入手，尋求解法。

解法3如圖4，連結(jié)CE，分別作BP⊥AF交于P，CQ⊥AF于Q，易證△BFP～△CFQ，于是BF∶FC=BP∶CQ，因?yàn)椤鰽BE與△ACE有同底AE，所以S△ADA∶S△ACE=BP∶CQ=BF∶FC，又因△ABE與△ADE等底同高，所以S△ABE=S△ADE，于是有S△ADE∶S△ACE=BF∶FC。又△ADE與△ACE同高，所以S△ADE∶S△ACE=AD∶AC=1∶3，于是得到BF∶FC=1∶3。

由于數(shù)學(xué)題往往存在著幾種不同的解法，所以在解題時(shí)，可以嘗試改換其它思路，尋找除了已有的解法以外，是否還有其它解法，并可以進(jìn)而比較這些解法的繁簡，從中選擇最佳解法，若能長期堅(jiān)持這樣做，必定會開闊思路，提高解題能力。

3結(jié)束語

幾何證明題千變?nèi)f化，因此在做題時(shí)要善于觀察、思考，從不同角度分析問題，力求靈活駕馭所學(xué)知識。遇到一個(gè)問題，通過多種途徑給出多種解法，稱為一題多解，這對提高自己對不同題目的分析、應(yīng)變能力很有幫助。

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