淺談數據解題中向量法的作用

胡礪邦+張汝波

【摘要】文章針對高中數學向量法在解題中的具體作用，通過不同案例對向量法的應用進行分析，最后通過研究與總結得出幾何向量在高中數學的融入，對解決平面、空間幾何問題有重要作用。

【關鍵詞】數據解題；向量法；作用

向量是高中數學中的重要概念，在平面幾何與空間幾何等問題中均有應用。幾何向量具有數與形雙重特性，可在不建立坐標系的情況下，將“形”的問題轉換成“量”的問題進行求解。此外，向量起點能自由移動；在平面中，任何一個幾何向量都能在不共線的向量上進行分解，決定了向量知識具備與斜坐標系與直角坐標系相同的作用。憑借這些特征，其在解決幾何問題上能夠發揮出十分重要的作用。

一、幾何向量

在高中數學中，向量是指具有方向與大小的量，用帶有箭頭的一條線段表示，其中箭頭表示向量方向，而線段的長度則表示其大小。高中數學教材中，通過對向量知識的引入，在已有解題方法的前提下產生了全新的概念與解題策略，尤其是為以往很難進行計算和證明的幾何問題提供了有效的解決方法。

二、向量法在數據解題中的作用

下面從三個不同案例入手，對向量法在解決幾何問題方面所具有的作用及特點進行分析。

（一）案例1

如圖1所示，線段AD、BE和CF分別是三條邊上的高，求證這三條邊相交在一點.

以往在解決此類問題時，往往會遇到沒有有效證明方法的障礙，即便能找出證明方法也很難對其進行細致闡述.而在學習向量知識后，僅需要利用其簡單的定義，就可以輕松地解決這一類問題.

證明：設H為BF和CF相交的點，，且，則有，，.由于和垂直，和垂直，所以，，可得，即為，二者垂直，AH和AD是重合關系，因此AD、BE和CF相交于一點.

（二）案例2

相比平面幾何，立體幾何問題更加抽象，而采用向量法解題則可發揮出更突出的作用。

圖2為邊長、對角線長均為a的空間四邊形.求：（1）AB、CD夾角；（2）AB、CD間距.

從圖2中可以看出，AB和CD是兩條異面直線，本題主要求解二者的夾角與間距.如果解題時采用學到的立體幾何知識，會遇到以下兩個問題：其一，異面直線夾角不確定；其二，異面直線公垂線不確定.而利用向量法則可輕松解決此類問題.

解：（1）設M為AB中點，由于邊長相等均為，則可知CM與AB垂直，DM與AB垂直，可得，，且.

即.

因此AM與CD垂直，AB、CD夾角為90°.

（2）根據以上結果，AB和平面DMC垂直，N為CD中點，MN和AB垂直，CD和MN垂直，所以MN為AB、CD公垂線.

（上述計算過程中，考慮到AB和CD的位置關系為垂直，即二者夾90°角，則BC與CN以及BC與MB所成角均為120°，并非60°）.

則AB、CD間距為.

（三）案例3

圖3中，是一個三棱錐，已知SA和平面ABC垂直，AB和BC垂直，DE是SC的垂直平分線，并且與AC、SC的交點分別為D與E，又有AB和SA相等，BC和SB相等，求：二面角大小.

此題為高考試題，解題方法多樣，既可以用到立體幾何包含的“線與線垂直”知識，也可用到“線與平面”知識，但這兩種方法都有計算量較大的特點，不僅容易出錯，而且需耗費很長時間。而采用向量法可在保證正確率的基礎上，減少時間，避免出錯.

解：以A為原點作空間直角坐標系，點S、C分別與Z軸、Y軸相交.

根據題目已知條件，即，BC與SB相等，可得SC和BE垂直，SC和DE垂直.

由于BE和DE相交于點E，所以SC和平面BDE垂直，SA和平面ABC垂直.

因此可將SA視作平面ABC法向量，SC視作平面BDE法向量.

設SA的長度為1，則AC為，可得，， ，則，.

設二面角B-ACDE為，則有，故為，可得二面角為.

由此可見，采用向量法求解以上問題直觀簡單，其最大的特點就在于可繞避抽象的找角與復雜繁瑣的計算。

三、總結

由案例1可知，幾何向量能在證明平面中直線位置關系中應用，具有判斷直線垂直與相交的作用。

由案例2可知，幾何向量能在證明空間中兩異面直線位置關系及求解距離中應用，解決了采用以往方法無法確定異面直線夾角與距離的難題。

由案例3可知，幾何向量能在空間幾何最復雜的求解二面角中應用，相比傳統解題方法，采用向量法不僅能省去抽象的空間推理和繁瑣的數學計算，還能更直觀、簡便地得出結果，同時保證解題的正確率。

幾何向量在高中數學的融入，為解決平面、空間幾何問題提供了有效、快捷、簡便的工具。

【參考文獻】

[1]沈彩霞.淺談向量法在解題中的應用[J].河池師范高等專科學校學報（自然科學版），2000（02）：61-63，70.

[2]王緒友.淺談向量在數學解題中的作用[J].岳陽職業技術學院學報，2004，19（04）：123-124.

[3]任海莉.淺談構造法在數學解題中的優點和作用[J].科技資訊，2011（33）：166.

[4]王錦琴.淺談數形結合法在解題中的作用[J].青海師范大學學報（自然科學版），1998（04）：64-65.endprint