POE策略下的數學教學實踐

☉江蘇省海門市四甲中學 夏 華

POE策略下的數學教學實踐

☉江蘇省海門市四甲中學 夏 華

皮亞杰早期提出過概念同化理論，其認為學習者在學習過程中歷經了認知平衡—認知沖突—重新平衡的過程，這在很長一段時間內被教育界認同.特別是像數學這樣的抽象學科，其頭腦中的知識是一步一步螺旋疊加的，要將新的知識與頭腦中固有的知識進行完美的銜接，需要接受新知、新方法對固有知識體系的沖擊，這種沖擊會帶來新的知識平衡，恰恰是皮亞杰研究的概念同化理論.

進一步來說，皮亞杰概念同化理論的發展說明了我們對知識理解的平衡性，在一個動態的、發展的過程中尋求平衡.那么怎么樣實現、獲得平衡的呢？學者Gunstone和White在研究概念同化理論的過程中，提出了知識學習過程中的POE策略，其建議首先采用了Prediction（預習感知），這種感知可以讓學習者具備一定的形象性；其次是Observation（思考分析），這恰恰是建議要實現這種同化需要做的思維過程；最后是Explanation（歸納小結），將新獲得的知識融入到自身現在的體系中，形成全新的知識體系，這樣的學習策略強化了同化理論.實踐表明，POE策略在數學學習的過程中，特別是抽象數學學習的過程中，形成了嚴密的學習步驟和過程.

一、POE策略在知識深化中的實踐

課程理念表明，數學的學習是螺旋式上升、循序漸進的.這一科學的學習理念讓我們認識到數學學習必須有一定的步驟性，以往教師一股腦兒將知識和技能全倒給學生的做法，是不被認可的.根據心理學研究發展理論來說，在知識全部獲取過程中，運用合理的策略將知識教學的深度進行充分挖掘，以便實現知識深化的過程.

教學案例1：線性區域的最值研究.

問題（Prediction）：已知點P（x，y）所在區域D滿足條件求z=2x+y的最值.

分析：z=2x+y?y=-2x+z，作可行域如圖1.

由圖可知，在點B（1，1）處，目標函數有最小值3；

圖1

在點C（5，2）處，目標函數有最小值12.

意圖：以學生熟練掌握的線性規劃基本問題入手，回顧思考目標函數的幾何意義，在圖形中尋求解決問題解決基本方式——幾何法.

變式1（Observation）：已知點P（x，y）所在區域D滿足條件求下列目標函數的取值范圍：

（1）z=|x+y-3|；（2）z=（x+2）2+y2；（3）z=

分析：（1）師：目標函數z=|x+y-3|體現了什么樣的幾何意義？

生：截距的絕對值？

師：這位同學所說的是它的代數意義，并不是幾何意義，幾何意義指的是圖形中的含義.

生：可以從點到直線的距離公式中思考.

師：好！思考非常到位，請具體說一說處理過程.

圖2

（2）師：有了前面問題的鋪墊，我們可以進一步思考不同目標函數的幾何意義理解和處理.這一目標函數z=（x+2）2+y2所體現的幾何意義是什么呢？

生：這個容易，應該表示P（x，y）到定點（-2，0）的距離的平方.

師：好！思考非常到位，請具體說一說處理過程.

圖3

生：這個和我們剛剛學過的兩點間的斜率公式有關.

師：好！思考非常到位，請具體說一說處理過程.

圖4

意圖：在基本的線性問題感知后，運用變式教學手段，加入了問題的思考，即POE學習策略中積極思考分析的過程，加深了知識的深度，理解和掌握了目標函數從感知到思考分析的過程，形成了目標函數在頭腦中一定的處理體現.

小結（Explanation）：將常見線性區域問題目標函數最值的處理，進行反思總結：

（1）z=ax+by+c幾何意義體現的是直線的截距；（2）z=|ax+by+c|幾何意義體現的是點到直線的距離；（3）z=（x-a）2+（y-b）2幾何意義體現的是點與點之間的距離；幾何意義體現的是兩點間連線的斜率.對進一步知識的深度思考，讓學習對線性區域下的目標函數最值有了更深度的思考和理解，讓目標函數的幾何意義有了深思和掌握.

變式2（再反思）：已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.

錯解：本題是學生初學不等式中教材的習題，學生普遍的錯誤率是如下求解單量：由已知可得

①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，

②×（-1），得-1≤y-x≤1.③

①+③，得0≤2y≤4.

故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.

這種單量研究的過程顯然大大擴大了解的過程，此時請學生進一步思考線性區域的目標函數處理，從而理解錯解產生的原因.

解：由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，不等式組的可行域可以輕松獲得，故而可得2≤f（2）≤10.

意圖：回歸教材基本問題，讓學生思考和理解了目標函數真正的應用價值，通過POE策略，感知基本到思考分析到鞏固小結，到問題的再反思，體現了知識的深度性，利用POE策略實現了教學的深層次.

二、POE策略在知識抽象中的實踐

高中數學具備了較強的抽象性，在較強的抽象性中獲得知識的理解和運用是困擾學習者的因素.比如學生對抽象函數的理解不如具體函數到位，對平面向量基本定理的理解往往側重正交分解下的坐標形態等等，這些都阻礙著學生進一步的思維發展，筆者認為用POE策略可以加強學生思維的層次性.

教學案例2：（1）函數f（x）的定義域為（1，2），求函數f（x+2）的定義域.

（2）函數f（x+1）的定義域為（-∞，1］∪［2，+∞），求函數f（x-1）的定義域.

運用POE教學策略研究：從抽象函數的問題來看，學生往往不理解和不掌握，這種困擾是其本身對函數概念的掌握程度不夠造成的.從筆者多年一線教學經驗來看，抽象函數部分的教學比較適宜的是給學生搭建足夠多的“感知腳手架”，有了這一工具，學生自然而然地獲得了更為充分的理解.

函數 具體感知類比抽象再現f（x+1）定義域為（-∞，1］∪［2，+∞）令f（x+1）=（x-1）（x-2）即f（x+1）中的x滿足x≤1orx≥2 f（x）定義域為（-∞，2］∪［3，+∞）則f（x）=（x-2）（x-3）即f（x）中的x滿足x≤2orx≥3 f（x-1）定義域為（-∞，3］∪［4，+∞）則f（x-1）=（x-3）（x-4）即f（x-1）中的x滿足x≤3orx≥4數學思想 解決抽象函數時，關注整體思想的運用，這里（x+1），x，（x-1）的范圍是一樣的

意圖：首先，抽象函數中最讓學生弄不清楚的是定義域到底表達的含義是什么？筆者以上述從形象到抽象的具體表格，將問題的理解和思考達到了較為清晰的層面，這里感知——思考融合得非常完美，加深了學生對于抽象函數中定義域的理解；其次，整體思想的運用，抽象函數中法則f（*）的理解，是學生并不到位的地方，只要在符號f（*）中，其所有的變量整體都是等價的，即表述的含義是能夠運用此法則的變量，因此POE策略在這樣的教學中讓教學變得無比樸實、易于理解.

教學案例3：（1）函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則函數y=f（x）的圖像關于_________對稱.

（2）函數y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數y=f（x）的圖像關于_________對稱.

運用POE教學策略研究：進一步研究與抽象函數的相關性質，我們不難發現這樣的性質學生理解有困難，在實際問題的解決中也常常弄錯，筆者提倡首先依舊是具體感知—思考分析—歸納小結，這樣的過程加快了學生對抽象函數相關表達式的理解.

函數性質 具體感知類比抽象再現f（a+x）=f（b-x）令f（x）=x2驗證直線x=a+b 2對稱f（a+x）+f（a-x）=2b令f（x）=x驗證點（a，b）對稱

有了上述具體模型，我們還可以這樣去引導學生理解：以f（a+x）=f（b-x）為例，令x1=a+x，x2=b-x，則f（x1）=f（x2），對任意的x進行變換，可知自變量中點為不變量x=，又函數值f（x1）=f（x2），因此隨著x進行變換，顯然f（x）關于.軸對稱成立.其余類似研究，不再贅述.

總之，POE是一種教學策略，主要是關乎形式化程度不高的中學生，其較為合適地將抽象和具象完美的融合策略，使得中學數學教學獲得了一個比較完整的步驟.在每一個知識點教學的背后，我們可以進行足夠的感知和思考，進而獲得歸納小結，這樣的知識學習過程符合課程理念的要求，形成了一套有效的學習模式.

1.任英杰.促進學生“迷思概念”轉變的POE策略及案例分析［J］.基礎教育研究，2013（2）.

2.顧江鴻.預測—觀察—解釋——一種基于現代教育研究的演示策略［J］.教育科學研究，2009（5）.

3.趙國敏.概念轉變教學中POE策略的探索和嘗試［J］.數學教學，2014（4）.