系統優化 高效生成
——“函數的單調性”的教學設計

陳海珍

福建省邵武第一中學 (354000)

系統優化 高效生成
——“函數的單調性”的教學設計

陳海珍

福建省邵武第一中學 (354000)

1.教學設計的視角

設計或評議同樣一堂課，往往是各有各法、眾說紛紜，這是因為不同的人有其不同的教學認識和傾向．由于新課標的要求，“教壇新秀”的賽課常出現表面熱鬧，實質教學效果不佳的“作秀”，這是一種片面、膚淺地迎合新課改的現象．數學教學應該返璞歸真，追求實效，不要為形式而形式，為教改而教改，我們要能以自己的“實踐性智慧[1]”來真正實現新課標的要求．為提高教學效果，要注意從以下三個視角或要求來審視或設計數學教學．

(1)明確教學目標．確定好恰當的教學目標是提高教學效果的前提，離開教學目標空談教學效果是沒有意義的．課堂教學目標要能根據現實的學生情況以及教材特點和新課標要求來擬定，不能固定不變，千人一面．

(2)因“才”和“材”施教．因才施教是指教學要適應學生，以人為本，“適合的才是最好的”；因“材”施教是指要能對不同的教材采取相適應的教學方法，充分挖掘利用其教學價值．我們既要能因教材的價值而教學，又要能為實現教學目標而組織或設計教材，并在整體最優化的總目標指導下協調定位好各個教學子目標．

(3)系統優化，高效生成．“教學實踐表明：沒有效率的教學是走不遠的”[2]. 數學一個系統，數學教學也是個系統工程，要提高數學教學效率，就必須從系統的整合優化入手．設計一堂數學課，首先應該定位好這節課在這個教學單元或整個課程發展體系中的位置和作用，然后再優化整合好本節課的小系統．“削枝裁葉，突出主題”是優化整體，提高教學效率的基本策略．

2.函數單調性的教材和教法分析

基于高中數學教學的系統性，必修一中“函數的單調性”是高一新生第一次學習用抽象數學符號刻畫幾何直觀變化的過程．對抽象的數學符號語言的理解及推理過程是高中數學最難的地方，這是個挑戰，也是“因材施教”，培養學生能力的好機會．所以本節課在教學過程中要著眼于學生抽象的形式推理能力培養，幫助學生體會數學形式化定義和推理過程的意義，進一步發展學生的能力．

從本章節的整體性來看，函數的單調性要三個課時，第一課時重點在于對函數單調性的意義及其形式化定義的理解和初步應用，第二、三課時則側重于函數單調性的判斷和應用．由于是首次接觸這種形式化定義，學生缺乏經驗，要靠學生自己“主動構建”出這種定義是不可能的！但機械地灌輸和模仿訓練也是不可取的，這樣既不利于學生理解和掌握函數的單調性，也不利于學生正確的數學觀念的形成和抽象推理能力的發展．我們教師要能對教材進行“再創造”，通過精心設計的一系列問題，讓學生經歷“再創造”地學，從中理解函數單調性的意義和形式化定義．

課堂教學是“社會建構”，即“師生共建”性的高效率學習，所以一方面要在學生能力和時間允許范圍內盡量讓學生獨立思考解決問題，另一方面教師要對學生的疑難及時地給予啟發引導，或用“師生共做”的方式解決，甚至有些問題教師可以采取“設問自答”的方式，但至少要讓學生和教師共同經歷這些問題的思考過程．這樣既可以讓學生在問題思考的經歷中理解知識，了解思維探究方法，又可以把握好課堂教學的節奏，比較高效率地在課堂45分鐘內完成教學任務．

3.教學設計

教學目的：使學生經歷函數單調性定義的形成過程，從中理解單調性定義的意義．初步掌握函數單調性的判斷方法．體會數學化的思想和意義，感受數學的嚴謹性和理性精神．

教學重點：理解單調性的定義，掌握單調性的判斷方法．

難點：函數單調性形式化定義的理解和掌握．

教學過程：

環節1 創設情境，引入課題

教師在黑板上作曲線圖模擬股票上漲、下跌和股民心情的變化(盡量生動搞笑些)，最后裝腔作勢地發誓:“我是股民，我一定要弄明白股票啥時上漲，啥時下跌！”，這樣既活躍了課堂，又激發了學生學習函數單調性的興趣．接著說明圖像的上升、下降是函數的基本性質，稱之為“單調性”，并結合函數曲線提出函數在某區間上是增函數或減函數的概念，由此引出函數單調性(板書)．

通過直觀引入股票漲勢圖，引出主題．

環節2 問題引導，形成概念

(1)課題引入后，師質疑：如何分析函數f(x)=x2-2x+2的單調性？

用此問題說明對熟悉的函數可直接用“圖像判斷法”分析其單調性．

學生不知此函數的圖像，怎么辦呢？師引導學生回顧前遞增、遞減函數的圖像，發現y=f(x)在區間D遞增?x與y同增同減；y=f(x)在區間D遞減?x與y增減相反．顯然，x?y=，所以函數f(x)=在[0,+∞)是增函數．用幾何畫板作圖驗證，果真如此！我們可以把這種方法叫做“趨勢判斷法”．接著學生練習用此法分析函數f(x)=在(0,+∞)的單調性，f(x)=x+的單調性等．并舉個反例，說明這種借助了直覺的方法不是絕對可靠，只適合簡單問題的判斷，不可以作為嚴格的數學證明．

這下學生又傻眼了！再次的認知沖突激發了學生強烈的求知欲，師相機引導：看來我們還得深入探究函數單調性的代數本質！

師質疑:“x,y”與“對任意的x1,x2∈區間D，當x1

(4)反思總結：函數單調性的這三種判斷方法體現了逐漸代數化、精確化的過程，“趨勢判斷法”是通向嚴格的形式化定義的“腳手架”，第三種方法完全實現了代數化，最精確可靠，充分體現了數學化的作用和魅力，它也是函數單調性最深刻的代數本質的體現，所以我們就把它當作函數單調性嚴格的代數定義．

此環節以尋找判斷方法為主線，雖然后兩個問題更多地是依靠教師的引導分析，但這樣展現了由三個遞進的問題引發的探究性教學生成過程，既讓學生系統了解函數單調性的三種判斷方法，又讓學生體會到這種抽象的形式化定義產生的必要性和作用，經歷了數學化的過程；既突破了教學難點，又充分利用了此環節的教學價值，提高了教學效果．

總而言之，多元化教學方法在初中語文教學中的使用，不僅激發了學生對于語文學科的興趣，提高了他們的課堂參與度，還增強了學生學習的效果，促進了他們的全面發展。

環節3 說文解字，精確掌握

(1)闡述本質，系統建構．

師要強調上述關系結構的可逆性、等價性，順推是判斷，反推則成性質．“同增同減，同大同小”等口訣便于學生形象記憶和靈活應用，以克服抽象的形式定義的學習困難．此關系結構將是學生理解和應用函數單調性的有力抓手，有利于完善學生的認知結構，提高教學效果．

(2)反例思辨，精確掌握．下列判斷正確嗎？請說明理由．

①因為f(0)

②因為f(1)

以此強調定義中的“任意”、“都”關鍵詞不可或缺．光靠教師口頭強調關鍵詞，即使喊破喉嚨也效果一般．只有讓學生經歷錯誤，痛定思痛，才是防止學生出錯的最有效的辦法．

環節4 練習鞏固，形成技能

單調性的形式化定義比較難理解，也比較難掌握．在前三個環節的教學基礎上，學生對函數的單調性形成了初步認識，在此基礎上進行初步的應用訓練，有助于增進單調性這種操作性概念理解．

數學具有“算法性”，即為一系列的操作步驟，且要求規范、嚴謹．所以要注意整理出系列的操作步驟，以便于學生掌握，提高教學效果．

(2)鞏固性練習：證明函數f(x)=x2-2x在區間(1,+∞)是增函數．

這是第一次的模仿訓練，所以題目要簡單，這樣可以集中時間和精力學好這種推理形式和書寫規范(可安排兩個學生做對比性板演)．

在單調性的證明中，學生除形式的規范性外，還常出現的一個問題是在“定號”環節說理不明確，甚至“渾水摸魚”地隨意下結論．教師要能預見學生學習和作業過程中可能出現的疑難和錯誤，在課堂教學中提前讓學生試錯糾正，這樣有助于提高學習效果．

環節5 綜合思考，反思總結

這是本課的“收官”，是完善學生認知結構的“點睛之筆”，對提高教學效果有重要價值．

在綜合思考題的基礎上，結合前保留的重要板書，引導學生從單調性的判斷方法及其解答規范，數學化思想及其意義等方面對本課所學進行梳理總結，強調只有“定義法”才能作為嚴格的數學證明．

課堂教學中的例題和思考練習題要典型，目標明確，主題突出，系統有層次，避免隨意和雜亂，不要因其它問題沖淡了主題的學習，這樣才能提高主題的學習效果和效率．

本課的主線是單調性的判斷，第一環節是引子，通過第二、三、四環節闡述本節的核心和重點，在此基礎上通過第五環節的總結和提升，這五個環節層層遞進，相互配合，缺一不可，形成一個完整的教學系統．

[1]鄭毓信.數學教育改革十五誡[J].數學教育學報，2014，23(3)：1-7.

[2]張奠宙 于波.數學教育的“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.