應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力培養(yǎng)的探究

肖秋芳

摘 要：根據(jù)《普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱》物理考察能力包括五個(gè)方面：理解能力；推理能力；分析綜合能力；應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力；實(shí)驗(yàn)?zāi)芰ΑＦ渲械谒臈l特別提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力。物理學(xué)本身是一門精密科學(xué)，與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系。從物理學(xué)的發(fā)展史來(lái)看，物理學(xué)的發(fā)展是離不開數(shù)學(xué)的，數(shù)學(xué)不僅能促進(jìn)物理學(xué)的發(fā)展，還能使物理規(guī)律以更加清楚、明了的方式表達(dá)出來(lái)。在日常的物理教學(xué)或者應(yīng)用物理知識(shí)解決問題的過程中，或多或少的都要進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)與數(shù)學(xué)計(jì)算。在今年高考物理試題中難度增加，在應(yīng)用數(shù)學(xué)能力有比較高的要求。能夠巧妙應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)處理物理問題，就能把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，難題迎刃而解達(dá)到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用很廣泛，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生充分應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)如平面幾何、三角函數(shù)、代數(shù)、函數(shù)、函數(shù)圖像等來(lái)解決物理問題的能力成為關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：計(jì)算能力；函數(shù)圖像；三角函數(shù)；事半功倍

1 教學(xué)中要注重學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)，在日常教學(xué)中很容易被忽視，學(xué)生聽完了分析題目和解題思路后就不愛聽了，更不愛動(dòng)手計(jì)算得出結(jié)論。因?yàn)閷W(xué)生覺得計(jì)算可以用計(jì)算器或者認(rèn)為物理解題主要是應(yīng)用物理知識(shí)分析題目一般是用英文符號(hào)，如果確實(shí)要計(jì)算也是比較簡(jiǎn)單，不需要浪費(fèi)時(shí)間在計(jì)算上。而高考考綱要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論。所以說計(jì)算能力在物理解題當(dāng)中是十分重要的。

如2017全國(guó)卷理綜的第24題一質(zhì)量為8.00×105kg的太空飛船從其飛行軌道返回地面。飛船在離地面高度1.60×105m處以7.50×103m/s的速度進(jìn)入大氣層，逐漸減慢至速度為100 m/s時(shí)下落到地面。取地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，在飛船下落過程中，重力加速度可視為常量，大小取為9.8 m/s2。（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）

（1）分別求出該飛船著地前瞬間的機(jī)械能和它進(jìn)入大氣層時(shí)的機(jī)械能；

（2）求飛船從離地面高度600m處至著地前瞬間的過程中克服阻力所做的功，已知飛船在該處的速度大小是其進(jìn)入大氣層時(shí)速度大小的2.0%。

計(jì)算在大氣層、著地時(shí)的機(jī)械能和在降落過程中阻力所做的功，題目問題看起來(lái)十分簡(jiǎn)單，但是給出來(lái)的數(shù)據(jù)卻難以計(jì)算，在計(jì)算過程中g(shù)取9.8m/s2，速度需要平方，由于數(shù)字大，難算，導(dǎo)致學(xué)生因?yàn)榕滤沐e(cuò)反復(fù)計(jì)算而導(dǎo)致時(shí)間的浪費(fèi)，不僅是時(shí)間，而且大大消耗考生的精力。所以我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)當(dāng)中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，講究訓(xùn)練形式多樣化，寓教于樂，使枯燥的計(jì)算教學(xué)富有生機(jī)，讓學(xué)生形成一種持久的計(jì)算興趣，養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣，提高學(xué)生的計(jì)算能力，應(yīng)當(dāng)教導(dǎo)學(xué)生不能因?yàn)橐豢淳蜁?huì)或太難算而放棄計(jì)算，適當(dāng)提高學(xué)生的計(jì)算能力，并且貫徹一次就算對(duì)不反復(fù)計(jì)算的習(xí)慣。

2 利用函數(shù)和函數(shù)圖像來(lái)處理物理問題能力的培養(yǎng)

函數(shù)圖像在物理力學(xué)、電學(xué)上的運(yùn)用相當(dāng)廣泛，如力學(xué)中的位移s、速度v、加速度a與時(shí)間t的關(guān)系圖像；力與位移的關(guān)系圖像。利用這些圖像可以簡(jiǎn)潔.直觀、形象的表達(dá)出研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，給物理解題帶來(lái)方便。在平常的教學(xué)當(dāng)中就應(yīng)當(dāng)灌輸應(yīng)用這些圖像的思想。利用好這些圖像就需要理解圖像的含義。首先在解題時(shí)要了解橫縱坐標(biāo)表示什么，了解斜率和截距的在圖中含義是什么，常見的x-t圖像的斜率為v，v-t圖像為斜率為a，v-t所圍成的面積就是位移。

在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，高考的十三個(gè)實(shí)驗(yàn)，其中有七個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理應(yīng)用到函數(shù)和函數(shù)圖像。如電學(xué)實(shí)驗(yàn)題中我們最常應(yīng)用的就是函數(shù)及圖像。在已知電源路端電壓與電流關(guān)系圖像計(jì)算電源電壓與內(nèi)阻時(shí)，就需要對(duì)列出表達(dá)式E=U+Ir由函數(shù)圖像的截距、斜率等函數(shù)性質(zhì)得出E和r。如2017年全國(guó)卷Ⅰ實(shí)驗(yàn)題23：某同學(xué)研究小燈泡的伏安特性，所使用的器材有：小燈泡L（額定電壓3.8 V，額定電流0.32A）；電壓表V（量程3V，內(nèi)阻3kΩ）；電流表A（量程0.5A，內(nèi)阻0.5Ω）；固定電阻R0（阻值1 000 Ω）；滑動(dòng)變阻器R（阻值0～9.0Ω）；電源E（電動(dòng)勢(shì)5V，內(nèi)阻不計(jì)）；開關(guān)S；導(dǎo)線若干。

（1）用另一電源E0（電動(dòng)勢(shì)4V，內(nèi)阻1.00 Ω）和題給器材連接成圖2所示的電路，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R的阻值，可以改變小燈泡的實(shí)際功率。閉合開關(guān)S，在R的變化范圍內(nèi)，小燈泡的最小功率為 W，最大功率為 W。（結(jié)果均保留2位小數(shù)）

圖1是小燈泡的伏安特性曲線，電阻隨著電壓的變化而變化著的。題目要求我們求出在不同電壓下小燈泡的實(shí)際功率。由于小燈泡的電阻會(huì)隨著溫度的升高而發(fā)生改變，所以我們無(wú)法直接用公式I=U/R得出小燈泡兩端的電壓、通過小燈泡的電流。這時(shí)我們所采用的方法就是利用數(shù)學(xué)方法在圖1中畫出電源的路端電壓與電流關(guān)系的圖像，利用這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)就是通過小燈泡的電流與兩端的電壓。就可以求出最小功率，最大功率。

3 應(yīng)用平面幾何和三角函數(shù)來(lái)處理物理問題能力的培養(yǎng)

在高中物理解題中也常用到平面幾何與三角函數(shù)來(lái)解題。常見如帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，力學(xué)中運(yùn)動(dòng)軌跡。帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題是高中物理教學(xué)的難點(diǎn)。這類問題的難點(diǎn)不在物理知識(shí)上，而是難在數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上。學(xué)生需要從已知條件中畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心角推導(dǎo)出粒子的射入的入射角、偏轉(zhuǎn)角、出射角、半徑等。在該類問題上平面幾何、三角函數(shù)的運(yùn)用就體現(xiàn)出了重要性。如下面是運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)用平面幾何和三角函數(shù)解題。

在光滑的水平面內(nèi)建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑細(xì)桿AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別被約束在x軸和y軸上，現(xiàn)讓桿的A端沿x軸正方向以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，已知P點(diǎn)為桿的中點(diǎn)，某一時(shí)刻桿AB與x軸的夾角為θ。關(guān)于P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度大小v的表達(dá)式，下列說法中正確的是

A.P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓的一部分

B.P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓的一部分

C.P點(diǎn)的速度大小為v=v0tanθ

D.P點(diǎn)的速度大小為v=v0/2sinθ

本題中用到數(shù)學(xué)方法就比較多了，在求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)就需要用到數(shù)學(xué)中求動(dòng)點(diǎn)軌跡方法中的轉(zhuǎn)換法。如圖4所示，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P（xp，yp）、B（0，y）、A（x，0），由于桿是不會(huì)伸長(zhǎng)的可以列出x2+y2=L2，再利用P為AB的中點(diǎn)xp=x/2，yp=y/2來(lái)代入就可以得到P點(diǎn)的軌跡方程。而對(duì)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大小的計(jì)算就更加考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，由于P為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，可以得到OP=PA 由此得到∠POA=θ，由于P的軌跡是以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的速度的垂直于OP，再利用角度關(guān)系可以得到P點(diǎn)的速度v與該桿的夾角為90°-2θ。由于P沿延桿的方向上的速度和A在桿方向上的速度大小一樣，就可以得出P的速度。這題不僅僅用到的動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法，也用到了三角函數(shù)中的輔助角公式和二倍角公式。得出B、D正確。看似簡(jiǎn)單的速度分解問題在數(shù)學(xué)方法的裝飾下變成了一題難題。從中受到啟示，我們要重視數(shù)學(xué)方法和思維在物理解題中的運(yùn)用。

總之，高中物理教學(xué)重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生掌握物理規(guī)律、分析問題的能力、解決問題的能力和創(chuàng)新思維的能力。要達(dá)到這目標(biāo)，必須對(duì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)方法的訓(xùn)練，科學(xué)推理、科學(xué)抽象法的訓(xùn)練，應(yīng)用數(shù)學(xué)工俱的訓(xùn)練，而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的訓(xùn)練是諸多訓(xùn)練中的一個(gè)重要方面，在教學(xué)過程中應(yīng)有目的、有梯度的引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題，但欲速則不達(dá)，貪多不消化，教師要根據(jù)教材的要求，采取有效的措施，嚴(yán)格要求，加強(qiáng)針對(duì)訓(xùn)練，周而復(fù)始，打好基礎(chǔ)，這是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題能力的關(guān)鍵。