應用數學處理物理問題能力培養的探究

肖秋芳

摘 要：根據《普通高等學校招生統一考試大綱》物理考察能力包括五個方面：理解能力；推理能力；分析綜合能力；應用數學處理物理問題能力；實驗能力。其中第四條特別提出了應用數學處理物理問題能力。物理學本身是一門精密科學，與數學有著密切的聯系。從物理學的發展史來看，物理學的發展是離不開數學的，數學不僅能促進物理學的發展，還能使物理規律以更加清楚、明了的方式表達出來。在日常的物理教學或者應用物理知識解決問題的過程中，或多或少的都要進行數學推導與數學計算。在今年高考物理試題中難度增加，在應用數學能力有比較高的要求。能夠巧妙應用數學知識來處理物理問題，就能把復雜的問題簡單化，難題迎刃而解達到事半功倍的效果。數學在物理中的應用很廣泛，在教學中如何引導學生充分應用數學知識如平面幾何、三角函數、代數、函數、函數圖像等來解決物理問題的能力成為關鍵。

關鍵詞：計算能力；函數圖像；三角函數；事半功倍

1 教學中要注重學生數學計算能力的培養

數學計算能力的培養，在日常教學中很容易被忽視，學生聽完了分析題目和解題思路后就不愛聽了，更不愛動手計算得出結論。因為學生覺得計算可以用計算器或者認為物理解題主要是應用物理知識分析題目一般是用英文符號，如果確實要計算也是比較簡單，不需要浪費時間在計算上。而高考考綱要求學生能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論。所以說計算能力在物理解題當中是十分重要的。

如2017全國卷理綜的第24題一質量為8.00×105kg的太空飛船從其飛行軌道返回地面。飛船在離地面高度1.60×105m處以7.50×103m/s的速度進入大氣層，逐漸減慢至速度為100 m/s時下落到地面。取地面為重力勢能零點，在飛船下落過程中，重力加速度可視為常量，大小取為9.8 m/s2。（結果保留2位有效數字）

（1）分別求出該飛船著地前瞬間的機械能和它進入大氣層時的機械能；

（2）求飛船從離地面高度600m處至著地前瞬間的過程中克服阻力所做的功，已知飛船在該處的速度大小是其進入大氣層時速度大小的2.0%。

計算在大氣層、著地時的機械能和在降落過程中阻力所做的功，題目問題看起來十分簡單，但是給出來的數據卻難以計算，在計算過程中g取9.8m/s2，速度需要平方，由于數字大，難算，導致學生因為怕算錯反復計算而導致時間的浪費，不僅是時間，而且大大消耗考生的精力。所以我們在平常的教學當中要結合教學內容，講究訓練形式多樣化，寓教于樂，使枯燥的計算教學富有生機，讓學生形成一種持久的計算興趣，養成良好的計算習慣，提高學生的計算能力，應當教導學生不能因為一看就會或太難算而放棄計算，適當提高學生的計算能力，并且貫徹一次就算對不反復計算的習慣。

2 利用函數和函數圖像來處理物理問題能力的培養

函數圖像在物理力學、電學上的運用相當廣泛，如力學中的位移s、速度v、加速度a與時間t的關系圖像；力與位移的關系圖像。利用這些圖像可以簡潔.直觀、形象的表達出研究對象的運動狀態，給物理解題帶來方便。在平常的教學當中就應當灌輸應用這些圖像的思想。利用好這些圖像就需要理解圖像的含義。首先在解題時要了解橫縱坐標表示什么，了解斜率和截距的在圖中含義是什么，常見的x-t圖像的斜率為v，v-t圖像為斜率為a，v-t所圍成的面積就是位移。

在物理實驗教學中，高考的十三個實驗，其中有七個實驗數據處理應用到函數和函數圖像。如電學實驗題中我們最常應用的就是函數及圖像。在已知電源路端電壓與電流關系圖像計算電源電壓與內阻時，就需要對列出表達式E=U+Ir由函數圖像的截距、斜率等函數性質得出E和r。如2017年全國卷Ⅰ實驗題23：某同學研究小燈泡的伏安特性，所使用的器材有：小燈泡L（額定電壓3.8 V，額定電流0.32A）；電壓表V（量程3V，內阻3kΩ）；電流表A（量程0.5A，內阻0.5Ω）；固定電阻R0（阻值1 000 Ω）；滑動變阻器R（阻值0～9.0Ω）；電源E（電動勢5V，內阻不計）；開關S；導線若干。

（1）用另一電源E0（電動勢4V，內阻1.00 Ω）和題給器材連接成圖2所示的電路，調節滑動變阻器R的阻值，可以改變小燈泡的實際功率。閉合開關S，在R的變化范圍內，小燈泡的最小功率為 W，最大功率為 W。（結果均保留2位小數）

圖1是小燈泡的伏安特性曲線，電阻隨著電壓的變化而變化著的。題目要求我們求出在不同電壓下小燈泡的實際功率。由于小燈泡的電阻會隨著溫度的升高而發生改變，所以我們無法直接用公式I=U/R得出小燈泡兩端的電壓、通過小燈泡的電流。這時我們所采用的方法就是利用數學方法在圖1中畫出電源的路端電壓與電流關系的圖像，利用這兩個函數圖像的交點就是通過小燈泡的電流與兩端的電壓。就可以求出最小功率，最大功率。

3 應用平面幾何和三角函數來處理物理問題能力的培養

在高中物理解題中也常用到平面幾何與三角函數來解題。常見如帶電粒子在磁場中的運動問題，力學中運動軌跡。帶電粒子在磁場中的運動問題是高中物理教學的難點。這類問題的難點不在物理知識上，而是難在數學知識的運用上。學生需要從已知條件中畫出運動軌跡，確定圓心角推導出粒子的射入的入射角、偏轉角、出射角、半徑等。在該類問題上平面幾何、三角函數的運用就體現出了重要性。如下面是運動軌跡應用平面幾何和三角函數解題。

在光滑的水平面內建立如圖3所示的直角坐標系，長為L的光滑細桿AB的兩個端點A、B分別被約束在x軸和y軸上，現讓桿的A端沿x軸正方向以速度v0勻速運動，已知P點為桿的中點，某一時刻桿AB與x軸的夾角為θ。關于P點的運動軌跡和P點的運動速度大小v的表達式，下列說法中正確的是

A.P點的運動軌跡是橢圓的一部分

B.P點的運動軌跡是圓的一部分

C.P點的速度大小為v=v0tanθ

D.P點的速度大小為v=v0/2sinθ

本題中用到數學方法就比較多了，在求P點運動軌跡時就需要用到數學中求動點軌跡方法中的轉換法。如圖4所示，設出動點P（xp，yp）、B（0，y）、A（x，0），由于桿是不會伸長的可以列出x2+y2=L2，再利用P為AB的中點xp=x/2，yp=y/2來代入就可以得到P點的軌跡方程。而對P點運動速度大小的計算就更加考察了學生的數學知識，由于P為直角三角形斜邊的中點，可以得到OP=PA 由此得到∠POA=θ，由于P的軌跡是以O為圓心的圓周運動，P點的速度的垂直于OP，再利用角度關系可以得到P點的速度v與該桿的夾角為90°-2θ。由于P沿延桿的方向上的速度和A在桿方向上的速度大小一樣，就可以得出P的速度。這題不僅僅用到的動點軌跡的求法，也用到了三角函數中的輔助角公式和二倍角公式。得出B、D正確。看似簡單的速度分解問題在數學方法的裝飾下變成了一題難題。從中受到啟示，我們要重視數學方法和思維在物理解題中的運用。

總之，高中物理教學重點在于培養學生掌握物理規律、分析問題的能力、解決問題的能力和創新思維的能力。要達到這目標，必須對學生進行實驗方法的訓練，科學推理、科學抽象法的訓練，應用數學工俱的訓練，而應用數學知識的訓練是諸多訓練中的一個重要方面，在教學過程中應有目的、有梯度的引導學生應用數學知識解決物理問題，但欲速則不達，貪多不消化，教師要根據教材的要求，采取有效的措施，嚴格要求，加強針對訓練，周而復始，打好基礎，這是培養學生運用數學解決物理問題能力的關鍵。